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2020屆高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 函數(shù)圖象與性質(zhì)

上傳人:艷*** 文檔編號:110239241 上傳時間:2022-06-17 格式:DOC 頁數(shù):9 大?。?46.50KB
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1、2020屆高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 函數(shù)圖象與性質(zhì) 【教學(xué)內(nèi)容】 函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、反函數(shù)、指數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。 【教學(xué)目標(biāo)】 1、要正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義。由定義可知函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件是:定義域關(guān)于原點對稱,函數(shù)奇偶性的定義是制定函數(shù)奇偶然性的依據(jù),但有時為了便于判斷,需將函數(shù)進行變形,化簡或利用定義的等價形式: f(-x)=-f(x)f(-x)+f(x)=0=-1 (f(x)≠0) f(-x)=f(x)f(-x)-f(x)=0=-1 (f(x)≠0) 另外,奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱,偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱,反之亦成立,因此也可以利用函數(shù)圖象去

2、制定函數(shù)的奇偶性。 2、函數(shù)的單調(diào)性區(qū)間是其定義域的子集,因此討論函數(shù)單調(diào)性時應(yīng)先確定函數(shù)的定義域。利用定義證明函數(shù)的增減性時,要注意證題過程的書寫要嚴(yán)密,先設(shè)x1

3、x)的單調(diào)性相反。 3、反函數(shù)的定義域和值域分別是原函數(shù)的值域和定義域,因此求反函數(shù)時它的定義域不能由解析式直接得到,而要由原函數(shù)的值域求得。求y=f(x)的反函數(shù)通常分三個步驟來進行1°確定原函數(shù)的值域,它就是反函數(shù)的定義域。2°由y=f(x)反解x得x=f-1(y),3°交換x、y的位置求得反函數(shù)y=f-1(x)。若y=f(x)是分段函數(shù),也應(yīng)分段來求反函數(shù),最后仍然寫成分段函數(shù)的形式。 4、指數(shù)和對數(shù)函數(shù)是基本的初等函數(shù),我們應(yīng)熟練掌握這些函數(shù)的定義域、值域及單調(diào)性并能運用這些知識來解決問題。 【知識講解】 例1、已知函數(shù)f(x)=(m-n)2x3-(m2-n2)x2+(

4、m3n3)x-(m+n)2 (1) 當(dāng)m、n滿足什么條件時,f(x)是奇函數(shù)。 (2) 當(dāng)m、n滿足什么條件時,f(x)是偶函數(shù)。 解:(1)若f(x)是奇函數(shù),則f(-x)+f(x)=0 ∴(m2-n2)x2+( m+n)2=0對一切x恒成立 ∴ m2-n2=0 (m+n)2=0 ∴m+n=0 即當(dāng)m+n=0時,f(x)為奇函數(shù) (2)同理可得當(dāng)m=n時,f(x)為偶函數(shù) 說明:設(shè)f(x)=anxn+an-1xn-1+ ……+a1x+a0,若f(x)為奇函數(shù),則f(x)表達式中不 含x的偶次項,即含x的偶次冪(包含常數(shù)項)的系數(shù)均為零;若f(x)為偶函數(shù)

5、,則f(x)表達式中不含x的奇次項。 例2、已知y=f(x)是奇函數(shù),且x≥0時,f(x)=x2-2x,求f(x)的解析式。 解:設(shè)x<0,則-x>0,由題意可知 f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x,又y=f(x)是奇函數(shù),則f(-x)=-f(x),所以當(dāng)x<0時, f(x)=-f(-x)=-x2-2x,∴ f(x)= x2-2x x≥0 -x2-2x x<0 例3、用定義判定下列函數(shù)的奇偶性。 (1)f(x)=x (n∈N, x≠0) (2)f(x)=log2(x+), x∈R (3) f

6、(x)=lgx2+lg (x≠0) (4) f(x)=()·tanx (5) f(x)= 解:(1) ∵n∈N, ∴2n是偶函數(shù),2n+1是奇數(shù),∴f(-x)=(-x)=x=f(x), ∴f(x)是偶函數(shù)。 (2)f(-x)=log2(-x+)=log2=-log2(x+)=-f(x), ∴f(x)是奇函數(shù)。 (3)f(x)=lgx2+lg=0,則f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x),∴f(x)既是奇函數(shù),又 是偶函數(shù)。 (4)f(x)的定義域是{x|x∈R且x≠ k∈Z}關(guān)于原點對稱,又 f(-x)=()

7、·tan(-x)=-()tanx=()tanx=f(x) ∴f(x)為偶函數(shù) (5)對于三角形1+sinx+cosx,當(dāng)x=時,其值為2,當(dāng)x=-時,其值為零,由此1可知原函數(shù)f(x)=的定義域中包含x=,但是不包含x=-,所以定義域不關(guān)于原點對稱,所以f(x)是非奇偶的函數(shù)。 例4、證明函數(shù)f(x)=x+在[0,1]上是減函數(shù)。 證明:當(dāng)01 ∴<0 ∴f(x1)-f(x2)>

8、0,即f(x1)-f(x2)>0 ∴f(x)=x+在(0,1]上是減函數(shù)。 例5、判斷函數(shù)y=在(0,+∞)內(nèi)的增減性。 證明:設(shè)0

9、、x2∈R,那么f(x2)-f(x1)=(-x23+1)-(-x13+1)=x13-x23=(x1-x2)(x12+x1x2+x22) ∵x10, 則x12+x1x2+x22>0 如果x1x2=0,由于x1≠x2 故x12+x1x2+x22>0 如果x1·x2<0,則x12+x1x2+x22=(x1+x2)2-x1x2>0 總之,只要x1≠x2,則都有x12+x1x2+x22>0 ② ∴(x1-x2)(x12+x1x2+x22)<0,即f(x2)

10、二:設(shè)-∞0 ③ 由①和③知f(x)22|x1x2|≥|x1x2|≥-x1x2 ∴x12+x1x2+x22>0 以下同

11、解法一。 例7、求函數(shù)y =的單調(diào)區(qū)間。 分析:注意函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)為函數(shù)定義域的子集,因此求單調(diào)區(qū)間必須首先求該函數(shù)的定義域,由-x2-2x+3≥0知-3≤x≤1,而u=-x2-2x+3=-(x+1)2+4在[-3,-1]上遞增,在[-1,1]上遞減,又y=單調(diào)遞增,所以原函數(shù)的增區(qū)間為[-3,-1],減區(qū)間為[-1,1]。 例8、已知f(x)=x2+c,且f[f(x)]=f(x2+1)。 (1) 設(shè)g(x)=f[f(x)],求g(x)的解析式。 (2) 設(shè)(x)=g(x)-λ·f(x),試問:是否存在實數(shù)λ使(x)在(-∞,-1)上 是減函數(shù),并且在(-1,0)上是增函數(shù)。

12、解:(1)由已知得f[f(x)]=f(x2+c)=(x2+c)2+c,f(x2+1)=(x2+1)2+c ∴ (x2+c)2+c=(x2+1)2+c 故c=1 ∴g(x)=(x2+1)2+1=x4+2x2+2 (2)∵(x)=g(x)-λ·f(x)=x4+(2-λ)x2+(2-λ) ∴(x2)- (x1)=(x24-x14)+(2-λ)(x22-x12) =(x1+x2)(x2-x1)[x12+x22+(2-λ)] 設(shè)-∞1+1+2-λ=4-

13、λ ② 由①與② 當(dāng)4-λ≥0 即λ≤4時,(x)在(-∞,-1)上是減函數(shù) 同理,當(dāng)λ≥4時,(x)在(-1,0)上是增函數(shù)。 綜上可知,當(dāng)λ=4時,(x)在(-∞,-1)上是減函數(shù),并且在(-1,0)上是增 函數(shù)。 例9、已知f(x)= ,x∈R,求f-1()的值。 解:根據(jù)函數(shù)y=f(x)與反函數(shù)與反函數(shù)y=f-1(x)之間的關(guān)系,求f-1()的值,就是求f(x)=時的x的值,于是有=,則2x=,即2x+1=1 ∴x=-1 即f-1()=-1 說明:此解法必須建立在對函數(shù)f(x)與其反函數(shù)f-1(x)之間的關(guān)系有深刻的理解的基礎(chǔ)之上,把求f-1(

14、a)的問題等價轉(zhuǎn)化為求指數(shù)方程f(x)=a的解的問題,觀點高,解法也簡便,省去了先求f(x)的反函數(shù)的這一較繁瑣的過程。 例10、已知函數(shù)f(x)=()x,(x>0)和定義在R上的奇函數(shù)g(x);當(dāng)x>0時有g(shù)(x)=f(x),試求g(x)的反函數(shù)。 解:∵g(x)為奇函數(shù),∴g(0)=0,又∵x>0時,g(x)=f(x)=()x,且x>0時, ∵()x∈(0,1) 設(shè)x<0,則-x>0,又g(x)為奇函數(shù)。 ∴g(x)=-f(-x)=-()_x=-2x 且x<0時,-2?x∈(-1,0) ∴ ()x x>0 g(x)= 0 x=0

15、 -2x x<0 ∴ logx 0

16、。 由于y=f(x)的圖象與y=f-1(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱,所以函數(shù)y= (x∈R且x≠)的圖象關(guān)于直線y=x成軸對稱圖形。 例12、設(shè)0

17、解:y=(2x+2-x)2-2a(2x+2+-x)-2 令t=2x+2-x≥2,則y=t2-2at-2 1°若a≥2,則當(dāng)t=a時,ymin=-a2-2,此時2x+2-x=a,x=log2·(a±)-1 2°若a<2,則當(dāng)t=2時,ymin=2-4a,此時2x+2-x=2,即 (2x-1)2=0 ∴2x-1=0,x=0 【每周一練】 一、 選擇題: 1、 函數(shù)f(x)的定義域為R,x∈R時,|f(x)|=|f(-x)|,則函數(shù)f(x)( ) A、必是奇函數(shù) B、必是偶函數(shù) C、或為奇函數(shù)或為偶函數(shù) D、

18、不一定是奇函數(shù)也不一定是偶函數(shù) 2、 定義在R上的偶函數(shù)f(x)以2為周期,已知當(dāng)x∈[2,3]時,f(x)=x,那么x ∈[-2,0]時,f(x)的解析式是( ) A、f(x)=x+4 B、f(x)=2-x C、f(x)=3-|x+1| D、f(x)=2+|x+1| 3、 若0y>1,則ax、ay、xa、ya中最大的數(shù)是( ) A、ax B、xa C、ay D、ya 4、 若函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)=

19、()x的圖象關(guān)于直線y=x對稱,則f(2x-x2) 的單調(diào)區(qū)間是( ) A、[1,+∞) B、(0,1] C、[1,2) D、(-∞,1] 5、 已知f(x)=3+log2x (x≥1),則f-1(x)的定義域是( ) A、x∈R B、x≥1 C、0

20、 D、除y軸外無對稱軸 二、 填空題: 7、 下列四個命題:(1)f(x)=()2是偶函數(shù);(2)f(x)=()3是奇函數(shù);(3) f(x)=lg(-x)是非奇非偶的函數(shù);(4)f(x)=+是偶函數(shù),其中正確命題的序號是________。 8、 若函數(shù)y=(2k+1)x+b在(-∞,+∞)上是減函數(shù),則k的取值范圍是______。 9、 函數(shù)y=()的單調(diào)減區(qū)間是____________。 10、已知函數(shù)f(x)=(x∈R,x≠)的反函數(shù)是______。 11、函數(shù)y=的增區(qū)間為__________。 12、已知0

21、____。 三、解答題: 13、討論函數(shù)y=x+在區(qū)間(0,2)及(2,+∞)上的單調(diào)性。 14、判斷函數(shù)f(x)= x+1 x∈[-1, )0的奇偶性。 x-1 x∈(0,1] 15、設(shè)x∈(-1,1)f(x)為偶函數(shù),g(x)為奇函數(shù),且f(x)+g(x)=-2lg(1+x),求 10g(x)。 16、討論下列函數(shù)的單調(diào)性。 (1)y= (2)y=lg(x2-2x-3) 17、求下列函數(shù)的反函數(shù)。 (1)y = - (2)y = x<0

22、 1 + x≥0 18、已知f(x)=x2-ax x∈[1,+∞) (1) 求f(x)的最小組m(a); (2) 求函數(shù)f(a)=m(a)-a2的最大值。 19、設(shè)f(x)是定義在(-∞,+∞)上以2為周期的周期函數(shù),且f(x)為偶函數(shù), 在區(qū)間[2,3]上,有f(x)=-2(x-3)2+4,(1)求x∈[1,2]時,f(x)的解析式;(2)若矩形ABCD的兩個頂點A、B在x軸上,C、D在函數(shù)y=f(x) (0≤x≤2)的圖象上,求這個矩形面積的最大值。 [參考答案] 一、 選擇題 1、D 2、C 3、B 4、B

23、5、D 6、B 二、 填空題: 7、(4) 8、(-∞,-2) 9、[2,+∞) 10、y= (x∈R且x≠) 11、[-3,-1] 12、31時,x∈(-∞,],y遞減,x∈[,+∞)遞增。 0

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