《2020屆高中數(shù)學(xué)《垂直關(guān)系的性質(zhì)》導(dǎo)學(xué)案 北師大版必修2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020屆高中數(shù)學(xué)《垂直關(guān)系的性質(zhì)》導(dǎo)學(xué)案 北師大版必修2（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第11課時　垂直關(guān)系的性質(zhì) 1.理解直線與平面垂直、平面與平面垂直的性質(zhì)定理,能用圖形語言和符號語言表述這些定理,并能加以證明. 2.能運用直線與平面垂直、平面與平面垂直的性質(zhì)定理證明一些空間位置關(guān)系的簡單問題. 裝修工人在安裝門窗時,經(jīng)常使用鉛垂線對比門窗,測量門窗是否安裝得豎直,這是應(yīng)用了什么原理?裝修工人判斷的依據(jù)是什么? 問題1:(1)上述情境中,裝修工人應(yīng)用了直線與平面垂直的性質(zhì)定理,因為鉛垂線受重力影響始終是與地面　垂直　的,當(dāng)裝修工人把鉛垂線與門的邊線靠近時,觀察上下鉛垂線與門線間的間隔是否一致,當(dāng)線上間隔不同時,說明門線與鉛垂線　不平行　,也

2、就說明門安裝得　不豎直　.? (2)直線與平面垂直的性質(zhì)定理及表示: 垂直于同一個平面的兩條直線平行. 符號表示:　 a⊥α,b⊥α?a∥b　.? 問題2:敘述平面與平面垂直的性質(zhì)定理,并根據(jù)圖形用符號語言寫出這個定理. 性質(zhì)定理:如果兩個平面垂直,那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線與另一個平面垂直. 符號表示:　α⊥β,α∩β=l,AB?β,且AB⊥l于B?AB⊥α　.? 問題3:空間中垂直關(guān)系是如何轉(zhuǎn)化的? 由線面垂直和面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理可知,線線垂直、線面垂直及面面垂直的轉(zhuǎn)化關(guān)系可用下圖表示: 由上圖可以看出,幾種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化就是線面和面面垂直的判

3、定定理和性質(zhì)定理的反復(fù)交替運用的結(jié)果. 在線線垂直和線面垂直的轉(zhuǎn)化中,平面在其中起到了至關(guān)重要的作用,應(yīng)考慮線和線所在平面的特征,以找出需要證明的轉(zhuǎn)化.如證線線垂直,可先證線面垂直,進而由性質(zhì)定理得到線線垂直.因此,　線面垂直　關(guān)系是線線垂直、面面垂直關(guān)系的樞紐.? 問題4:關(guān)于線面垂直、面面垂直,還有其他重要結(jié)論嗎? 直線和平面垂直的兩個重要結(jié)論: ①過一點有且　只有一個　平面和已知直線垂直.? ②過一點有且　只有一條　直線和已知平面垂直.? 平面和平面垂直的兩個重要結(jié)論: ①若兩個平面垂直,則過第一個平面內(nèi)的點作第二個平面的垂線必在　第一個　平面內(nèi).? ②兩個相交平面同時垂

4、直第三個平面,則它們的交線　垂直　于第三個平面.? 1.已知a、b為異面直線,b與c垂直,則(　　). A.a⊥c　　　　 B.b∥c C.b與c相交 D.不確定 2.下列說法中正確的個數(shù)為(　　). ①如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線,那么這條直線和這個平面垂直;②過空間一點有且只有一條直線與已知平面垂直;③一條直線和一個平面不垂直,那么這條直線和平面內(nèi)的所有直線都不垂直;④垂直于同一平面的兩條直線平行. A.1　　　　 B.2　　　　 C.3　　　　 D.4 3.已知l,m是直線,α,β,γ是平面,給出下列說法: ①若α⊥β,且β⊥γ,則α∥γ;②若α∩β=l,且

5、l⊥γ,則α⊥γ且β⊥γ;③若l⊥α,α⊥β,則l∥β.其中正確的是　　　　.? 4.如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,直線SC⊥平面ABCD,E是SA的中點,求證:平面EDB⊥平面ABCD. 線面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用 如圖,已知正方體ABCD—A1B1C1D1中,EF與異面直線AC、A1D都垂直相交,求證:EF∥BD1. 線面垂直的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用 如圖,已知α∩β=AB,EC⊥平面α,C為垂足,ED⊥平面β,D為垂足.求證:CD⊥AB. 面面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用 如圖所示,△ABC為正三角形,EC⊥平

6、面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD=4,M是AE的中點. 求證:平面BDM⊥平面ECA. 已知a、b為異面直線,AB與a、b都垂直相交,若a⊥α,b⊥β,且α∩β=c.求證:AB∥c. 已知底面為正方形的四棱錐P—ABCD的側(cè)棱PA⊥底面ABCD,過點A在側(cè)面PAB內(nèi)作AE⊥PB于E,過E作EF⊥PC于F.那么圖中AF與PC的位置關(guān)系如何? 如圖,在△ABC中,∠BAC=60°,線段AD⊥平面ABC,E為CD上一點,且平面ABE⊥平面DBC.求證:點A在平面DBC內(nèi)的射影不可能是△BCD的垂心.

7、 1.設(shè)a,b是兩條異面直線,下列說法中正確的是(　　). A.有一平面與a,b都垂直 B.有且僅有一條直線與a,b都垂直 C.過直線a有且僅有一平面與b平行 D.過空間中任一點必可以作一直線與a,b都相交 2.已知直線l⊥平面α:①若直線m⊥l,則m∥α;②若m⊥α,則m∥l;③若m∥α,則m⊥l;④若m∥l,則m⊥α,上述判斷正確的是(　　). A.①②③　　　 B.②③④ C.①③④ D.②④ 3.把Rt△ABC斜邊上的高CD折成直二面角A-CD-B后,互相垂直的面有　　　　對.? 4.三棱錐P—ABC中,PB=PC,AB=AC,點D為BC中點,AH

8、⊥PD于點H,連接BH,求證:平面ABH⊥平面PBC. (2020年·天津卷改編)如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,側(cè)棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E為棱AA1的中點. 證明:B1C1⊥CE. 　　考題變式(我來改編): 第11課時　垂直關(guān)系的性質(zhì) 知識體系梳理 問題1:(1)垂直　不平行　不豎直 (2) a⊥α,b⊥α?a∥b 問題2:α⊥β,α∩β=l, AB?β,且AB⊥l于B?AB⊥α 問題3:線面垂直 問題4:①只有一

9、個?、谥挥幸粭l?、俚谝粋€?、诖怪? 基礎(chǔ)學(xué)習(xí)交流 1.D　因為b與c垂直,故b與c可能相交,也可能異面,于是,a與c的關(guān)系不確定. 2.B?、馘e誤,無數(shù)條直線可能是平行直線,不能判斷直線和平面垂直;②正確;③錯誤,與該直線在平面內(nèi)的正投影垂直的所有直線,都與該直線垂直;④正確. 3.②?、馘e誤,反例是墻角處三個平面兩兩垂直. ②正確,因為如果一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線,那么這兩個平面互相垂直. ③錯誤,還可能l?β. 4.解:連接AC交BD于點O,連接EO, 因為四邊形ABCD是平行四邊形, 所以O(shè)是AC的中點,且E是SA的中點, 所以EO∥SC. 因為SC⊥平面ABCD

10、, 所以EO⊥平面ABCD,且EO?平面EDB, 所以平面EDB⊥平面ABCD. 重點難點探究 探究一:【解析】連接AB1,B1C,BD, ∵DD1⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,∴DD1⊥AC. 又∵AC⊥BD,∴AC⊥平面BDD1B1,∴AC⊥BD1. 同理BD1⊥B1C,∴BD1⊥平面AB1C. ∵EF⊥A1D,且A1D ∥B1C,∴EF⊥B1C. 又∵EF⊥AC,∴EF⊥平面AB1C, ∴EF∥BD1. 【小結(jié)】當(dāng)題目所給的條件垂直關(guān)系較多,但又需要證明平行關(guān)系時,往往要考慮垂直的性質(zhì)定理,從而完成由垂直關(guān)系向平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化. 　　探究二:【解析】∵EC⊥α

11、,AB?α,∴EC⊥AB,同理ED⊥AB, 即AB⊥EC,AB⊥ED, 又EC∩ED=E,∴AB⊥面ECD, 而CD?面ECD,∴AB⊥CD. 【小結(jié)】本題是線線垂直、線面垂直的循環(huán).證明線線垂直、則要先證明線面垂直,關(guān)鍵就是面的選擇,選擇過哪條直線的平面與另一條直線垂直. 　　探究三: 【解析】(1)取AC的中點F,連接MF、BF,則MF∥CE且MF=CE. 又∵BD∥CE,BD=CE,∴MF∥BD,MF=BD, ∴四邊形MFBD是平行四邊形,∴DM∥BF. ∵EC⊥平面ABC,EC?平面ACE,∴平面ACE⊥平面ABC. 又∵BF⊥AC,∴BF⊥平面ACE. 又∵

12、DM∥BF,∴DM⊥平面ACE. 又∵DM?平面BDM,∴平面BDM⊥平面ECA. 【小結(jié)】證明面面垂直的關(guān)鍵點和難點,就是在一個平面內(nèi)確定另一個平面的垂線,一旦找錯垂線,將給問題的解決帶來很大麻煩,也是不可證明的.確定這條垂線的基本方法就是根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì),要著眼于平面內(nèi)交線的垂線,若圖形中沒有現(xiàn)成的垂線,需要根據(jù)條件作出交線的垂線,再證明此直線垂直于另一個平面. 思維拓展應(yīng)用 應(yīng)用一: 如圖,過點B作BB1⊥α,則BB1∥a, ∴AB⊥BB1.又∵AB⊥b, ∴AB垂直于由b和BB1確定的平面. ∵b⊥β,∴b⊥c,同理,BB1⊥c, ∴c也垂直于由b和BB1

13、確定的平面, ∴AB∥c. 　　應(yīng)用二:∵F∈PC,∴AF與PC相交,只要進一步考察是否垂直. 如果有AF⊥PC,由已知EF⊥PC,EF∩AF=F,得PC⊥面AEF,∴PC⊥AE. 又已知AE⊥PB,PC∩PB=P,得AE⊥面PBC, ∴AE⊥BC. 而由PA⊥BC,AB⊥BC,知BC⊥面PAB, 可知BC⊥AE成立. ∴AF⊥PC成立.于是,圖中AF與PC垂直相交. 　　應(yīng)用三: 過點A作AH⊥BE,H為垂足. ∵平面ABE⊥平面DBC,AH?平面ABE,平面ABE∩平面DBC=BE, ∴AH⊥平面DBC,∴點H即為點A在平面DBC內(nèi)的射影. 假設(shè)H是△BCD的

14、垂心,則BE⊥CD. ∵AH⊥平面BCD,DC?平面DBC, ∴AH⊥DC. 又∵AH∩BE=H, ∴CD⊥平面ABE. 又∵AB?平面ABE,∴CD⊥AB. ∵AD⊥平面ABC,AB?平面ABC,∴AD⊥AB, 又∵AD∩CD=D,∴AB⊥平面ACD,∴AB⊥AC, 這與已知中∠BAC=60°相矛盾, ∴假設(shè)不成立, ∴點A在平面DBC內(nèi)的射影不可能是△BCD的垂心. 基礎(chǔ)智能檢測 1.C　A中若有一平面與a,b都垂直,則a∥b,矛盾;B中將a,b平移到一個平面內(nèi),則與該平面垂直的直線與a,b都垂直;C正確;D中設(shè)過直線a且與b平行的平面為α,則在平面α內(nèi)過直線a之外

15、的點,不可能作一直線與a,b都相交. 2.B　 ①錯,還有可能m?α;②正確;③正確;④正確. 3.3　平面BCD⊥平面ACD,平面ADB⊥平面BCD,平面ABD⊥平面ADC. 4.解:∵PB=PC,AB=AC,BD=DC, ∴BC⊥PD且BC⊥AD, ∴BC⊥面PAD, ∴面PAD⊥面PBC. ∵AH⊥PD,面PAD∩面PBC=PD, ∴AH⊥面PBC. 又AH?面ABH, 于是面AHB⊥面PBC. 全新視角拓展 因為側(cè)棱CC1⊥底面A1B1C1D1,B1C1?平面A1B1C1D1,所以CC1⊥B1C1.經(jīng)計算可得B1E=,B1C1=,EC1=,從而B1E2=B1+E,所以在△B1EC1中,B1C1⊥C1E,又CC1,C1E?平面CC1E,CC1∩C1E=C1,所以B1C1⊥平面CC1E,又CE?平面CC1E,故B1C1⊥CE. 思維導(dǎo)圖構(gòu)建 　　α∥β　b⊥α　l⊥β