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1、2020年高三數(shù)學一輪復習 選修4-5第1課時知能演練輕松闖關(guān) 新人教版
一、填空題
1.||<3的解集是________.
解析:∵||<3,∴|2x-1|<3|x|,
兩邊平方得4x2-4x+1<9x2,
∴5x2+4x-1>0.
∴所求不等式的解集為{x|x<-1或x>}.
答案:(-∞,-1)∪(,+∞)
2.不等式|x+1|(2x-1)≥0的解集為________.
解析:當x+1=0即x=-1時,
|x+1|(2x-1)≥0成立;
當x+1≠0時,|x+1|>0,
∴2x-1≥0,即x≥.
綜上可知,原不等式的解集為.
答案:{x|x=-1或x≥}
3
2、.(2020·高考陜西卷)不等式|x+3|-|x-2|≥3的解集為________.
解析:當x≥2時,原不等式化為x+3-(x-2)≥3,解得x≥2;當-3
3、答案:(-∞,3]
5.若不等式>|a-2|+1對于一切非零實數(shù)x均成立,則實數(shù)a的取值范圍是________.
解析:∵≥2,∴|a-2|+1<2,
即|a-2|<1,解得10的解集.
4、解:本題可去絕對值將已知不等式轉(zhuǎn)化為等價的不等式組,即或,
分別解之然后取并集即得不等式的解集為
∪.
9.(2020·高考遼寧卷)已知函數(shù)f(x)=|x-2|-|x-5|.
(1)證明:-3≤f(x)≤3;
(2)求不等式f(x)≥x2-8x+15的解集.
解:(1)證明:f(x)=|x-2|-|x-5|=
當2
5、≤x≤6}.
綜上,不等式f(x)≥x2-8x+15的解集為{x|5-≤x≤6}.
10.(2020·洛陽質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)=|x-4|-|x-2|.
(1)作出函數(shù)y=f(x)的圖象;
(2)解不等式|x-4|-|x-2|>1.
解:(1)依題意可知
f(x)=
則函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示.
(2)由函數(shù)y=f(x)的圖象容易求得原不等式的解集為.
11.如圖,O為數(shù)軸的原點,A、B、M為數(shù)軸上三點,C為線段OM上的一動點.設x表示C與原點的距離,y表示C到A距離的4倍與C到B距離的6倍的和.
(1)將y表示為x的函數(shù);
(2)要使y的值不超過70,x
6、應該在什么范圍內(nèi)取值?
解:(1)y=4|x-10|+6|x-20|,0≤x≤30.
(2)依題意,x滿足
解不等式組,其解集為[9,23].
所以要使y值不超過70,x的取值范圍應為[9,23].
12.(2020·開封質(zhì)檢)設不等式|2x-5|≤5的解集為A.
(1)求A;
(2)證明:當x∈A時,|x|+|x-4|≤6.
解:(1)由|2x-5|≤5得:-5≤2x-5≤5,
0≤2x≤10,0≤x≤5,
∴解集A={x|0≤x≤5}.
(2)證明:法一:|x|+|x-4|
=|x|+|(x-5)+1|≤|x|+|x-5|+1,
∵0≤x≤5,
∴|x|+|x-
7、5|+1=x+(5-x)+1=6.
∴|x|+|x-4|≤6.
法二:當0≤x≤4時,
左邊=x+(4-x)=4<6
當4
8、f(x)-g(x)=|x-3|+|x+1|-6,
因為x∈R,由絕對值三角不等式得
f(x)-g(x)=|x-3|+|x+1|-6=|3-x|+|x+1|-6≥|(3-x)+(x+1)|-6=4-6=-2,
于是有m+1≤-2,得m≤-3,
即m的取值范圍是(-∞,-3].
14.已知函數(shù)f(x)=|x-2|,g(x)=-|x+3|+m.
(1)解關(guān)于x的不等式f(x)+a-1>0(a∈R);
(2)若函數(shù)f(x)的圖象恒在函數(shù)g(x)圖象的上方,求m的取值范圍.
解:(1)不等式f(x)+a-1>0,即|x-2|+a-1>0.
當a=1時,不等式的解集是(-∞,2)∪(2,
9、+∞);
當a>1時,不等式的解集是R;
當a<1時,即|x-2|>1-a,即x-21-a,即x3-a,解集為(-∞,1+a)∪(3-a,+∞).
(2)函數(shù)f(x)的圖象恒在函數(shù)g(x)圖象的上方,
即|x-2|>-|x+3|+m對任意實數(shù)x恒成立,
即|x-2|+|x+3|>m對任意實數(shù)x恒成立.
由于|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5,故只要m<5.
所以m的取值范圍是(-∞,5).
15.已知a,b,c是實數(shù),函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,當-1≤x≤1時,|f(x)|≤1.
(1)證明:|c|
10、≤1;
(2)證明:當-1≤x≤1時,|g(x)|≤2;
(3)設a>0,當-1≤x≤1時,g(x)的最大值為2,求f(x).
解:(1)證明:∵當-1≤x≤1時,|f(x)|≤1,
∴取x=0有|c|=|f(0)|≤1,即|c|≤1.
(2)證明:∵g(x)=ax+b的圖象是一條直線,
∴只需證明|g(-1)|≤2,且|g(l)|≤2.
由已知|f(-1)|≤1,|f(l)|≤1,又由(1)知|c|≤1,
∴|g(-1)|=|-a+b|=|-f(-1)+c|≤|f(-1)|+|c|≤1+1=2.
∴|g(-1)|≤2,且|g(1)|≤2.
∴當-1≤x≤1時,|g(x)|≤2.
(3)∵a>0,∴g(x)在(-1,1)上是增函數(shù).
又∵當-1≤x≤1時,g(x)的最大值為2,
∴g(1)=2.
∴a+b=f(1)-c=2.
∵-1≤c=f(l)-2≤1-2=-1,
∴c=f(0)=-1.
∵當-1≤x≤1時,f(x)≥-1,
即f(x)≥f(0),
∴由二次函數(shù)的性質(zhì)得直線x=0為二次函數(shù)f(x)的圖象的對稱軸.
∴-=0,即b=0.∴a=2.
∴f(x)=2x2-1.