《2020年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)48離散型隨機(jī)變量及其分布列、離散型隨機(jī)變量的均值與方差》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)48離散型隨機(jī)變量及其分布列、離散型隨機(jī)變量的均值與方差（14頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、考點(diǎn)48 離散型隨機(jī)變量及其分布列、 離散型隨機(jī)變量的均值與方差 一、填空題 1.（2020·浙江高考理科·Ｔ15）某畢業(yè)生參加人才招聘會(huì)，分別向甲、乙、丙三個(gè)公司投遞了個(gè)人簡歷，假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為，得到乙、丙兩公司面試的概率均為，且三個(gè)公司是否讓其面試是相互獨(dú)立的.記X為該畢業(yè)生得到面試的公司個(gè)數(shù)。若，則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望 【思路點(diǎn)撥】先由相互獨(dú)立的事件同時(shí)發(fā)生的概率求出,進(jìn)而求出其它情況的概率,再求出. 【精講精析】由可得, 從而, , . 所以. 二、解答題 2．（2020·安徽高考理科·Ｔ20）工作人員需進(jìn)入核電站完成某項(xiàng)具有高輻射危

2、險(xiǎn)的任務(wù)，每次只派一個(gè)人進(jìn)去，且每個(gè)人只派一次，工作時(shí)間不超過10分鐘.如果前一個(gè)人10分鐘內(nèi)不能完成任務(wù)則撤出，再派下一個(gè)人.現(xiàn)在一共只有甲、乙、丙三個(gè)人可派，他們各自能完成任務(wù)的概率分別為p1，p2，p3,假設(shè)p1，p2，p3互不相等，且假定各人能否完成任務(wù)的事件相互獨(dú)立. （Ⅰ）如果按甲最先、乙次之、丙最后的順序派人，求任務(wù)能被完成的概率.若改變?nèi)齻€(gè)人被派出的先后順序，任務(wù)能被完成的概率是否發(fā)生變化？ （Ⅱ）若按某指定順序派人，這三個(gè)人各自能完成任務(wù)的概率依次為q1,q2,q3，其中q1,q2,q3是p1，p2，p3的一個(gè)排列，求所需要派出人員數(shù)目X的分布列和均值（數(shù)學(xué)期望）EX；

3、 （Ⅲ）假定l＞p1＞p2＞p3，試分析以怎樣的先后順序派出人員，可使所需派出的人員數(shù)目的均值（數(shù)學(xué)期望）達(dá)到最小. 【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）利用間接法可以比較容易得出結(jié)論；（Ⅱ）直接利用相互獨(dú)立事件及分布列知識(shí)解決；（Ⅲ）先分析抽象概括得出結(jié)論，再證明. 【精講精析】解：（I）無論以怎樣的順序派出人員，任務(wù)不能被完成的概率都是，所以任務(wù)能被完成的概率與三個(gè)人被派出去的先后順序無關(guān)，并等于1-= （II）當(dāng)依次派出去的三個(gè)人各自完成任務(wù)的概率分別為q1,q2,q3，隨機(jī)變量X的分布列為 X 1 2 3 P q1 所需派出的人員數(shù)目的均值（數(shù)學(xué)期望）EX是 = （

4、III）由（II）得結(jié)論可知，當(dāng)以甲最先，乙次之，丙最后的順序派人時(shí)， 根據(jù)常理，優(yōu)先派出完成任務(wù)概率大的人，可減少所需派出的人員數(shù)目的均值. 下面證明：對(duì)于 p1，p2，p3的任意排列q1,q2,q3，都有 事實(shí)上，（） 即 3.（2020·福建卷理科·Ｔ19）某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成8個(gè)等級(jí)，等級(jí)系數(shù)X依次為1,2，……，8，其中X≥5為標(biāo)準(zhǔn)A，X≥為標(biāo)準(zhǔn)B，已知甲廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)A生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價(jià)為6元/件；乙廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)B生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零

5、售價(jià)為4元/件，假定甲、乙兩廠得產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn) （I）已知甲廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)X1的概率分布列如下所示： 5 6 7 8 p 0.4 a b 0.1 且X1的數(shù)字期望EX1=6，求a，b的值； （II）為分析乙廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)X2，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取30件，相應(yīng)的等級(jí)系數(shù)組成一個(gè)樣本，數(shù)據(jù)如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7 用這個(gè)樣本的頻率分布估

6、計(jì)總體分布，將頻率視為概率，求等級(jí)系數(shù)X2的數(shù)學(xué)期望. （Ⅲ）在（I）、（II）的條件下，若以“性價(jià)比”為判斷標(biāo)準(zhǔn)，則哪個(gè)工廠的產(chǎn)品更具可購買性？說明理由. 注：（1）產(chǎn)品的“性價(jià)比”=； （2）“性價(jià)比”大的產(chǎn)品更具可購買性. 【思路點(diǎn)撥】（I）利用期望公式和以及分布列中的所有概率和為1，聯(lián)立關(guān)于的方程組，解方程組求得的值； （II）根據(jù)題中提供的數(shù)據(jù)，列等級(jí)系數(shù)的數(shù)學(xué)期望，再利用期望公式求期望； （Ⅲ）根據(jù)“性價(jià)比”公式求兩工廠的產(chǎn)品的性價(jià)比，“性價(jià)比”大的產(chǎn)品更具可購買性. 【精講精析】（I）因?yàn)椋?,所以即， 又由的概率分布列得即. 由，解得. （II）由已知得，樣

7、本的頻率分布表如下： 3 4 5 6 7 8 P 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 用這個(gè)樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率，可得等級(jí)系數(shù)的概率分布列如下： 3 4 5 6 7 8 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 所以， 即乙廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于4.8. （Ⅲ）乙廠的產(chǎn)品更具有可購買性，理由如下： 因?yàn)榧讖S產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于6,價(jià)格為6元/件，所以其性價(jià)比為. 因?yàn)橐覐S產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于4.8,價(jià)格為4元/件，所以其性價(jià)比

8、為所以乙廠的產(chǎn)品更具可購買性. 4. （2020·新課標(biāo)全國高考理科·Ｔ19）某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好，且質(zhì)量指標(biāo)值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品，現(xiàn)用兩種新配方（分別稱為A配方和B配方）做試驗(yàn)，各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得到下面試驗(yàn)結(jié)果： A配方的頻數(shù)分布表 指標(biāo)值分組 頻數(shù) B配方的頻數(shù)分布表 指標(biāo)值分組 頻數(shù) （Ⅰ）分別估計(jì)用A配方，B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率； （Ⅱ）已知用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤y(單位：元)與其質(zhì)量指標(biāo)

9、值t的關(guān)系式為 從用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，其利潤記為X（單位：元），求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.（以試驗(yàn)結(jié)果中質(zhì)量指標(biāo)值落入各組的頻率作為一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值落入相應(yīng)組的概率） 【思路點(diǎn)撥】第（Ⅰ）問分別用配方、配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率來估計(jì)概率，第（Ⅱ）問分別求出質(zhì)量指標(biāo)落在，，上的頻率作為概率，明確的對(duì)應(yīng)取值，列分布列，用期望公式求期望即可. 【精講精析】（Ⅰ）由試驗(yàn)結(jié)果知，用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)的平率為，所以用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值為0.3. 由試驗(yàn)結(jié)果知，用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為，所以用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值為0.42 （Ⅱ）用B

10、配方生產(chǎn)的100件產(chǎn)品中，其質(zhì)量指標(biāo)值落入?yún)^(qū)間的頻率分別為0.04，,054,0.42，因此X的可能值為-2,2,4 P(X=-2)=0.04, P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42, X -2 2 4 P 0.04 0.54 0.42 即X的分布列為 X的數(shù)學(xué)期望值EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68 5．（2020·遼寧高考文科·Ｔ19）某農(nóng)場計(jì)劃種植某種新作物，為此對(duì)這種作物的兩個(gè)品種（分別稱為品種甲和品種乙）進(jìn)行田間試驗(yàn)．選取兩大塊地，每大塊地分成n小塊地，在總共2n小塊地中，隨機(jī)選n小塊地種植品

11、種甲，另外n小塊地種植品種乙． （I）假設(shè)n=2，求第一大塊地都種植品種甲的概率； （II）試驗(yàn)時(shí)每大塊地分成8小塊地，即n=8，試驗(yàn)結(jié)束后得到品種甲和品種乙在各小塊地上的每公頃產(chǎn)量（單位：kg/hm2）如下表： 分別求品種甲和品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差；根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果，你認(rèn)為應(yīng)該種植哪種品種？ 附：樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xa的樣本方差，其中為樣本平均數(shù)． 【思路點(diǎn)撥】（I）先編號(hào)，再逐一列出所有的基本事件，最后根據(jù)古典概型求解；（II）先求平均數(shù)，再求方差，最后下結(jié)論． 【精講精析】（I）設(shè)第一大塊地中的兩小塊地編號(hào)為1，2，第二大塊地中的兩小塊地編號(hào)為3，

12、4．令事件A=“第一大塊地都種品種甲”． 從4小塊地中任選2小塊地種植品種甲的基本事件共6個(gè)： （1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）． 而事件A包含1個(gè)基本事件：（1，2）． 所以． （II）品種甲的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為： ， 品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為： 由以上結(jié)果可以看出，品種乙的樣本平均數(shù)大于品種甲的樣本平均數(shù)，且兩品種的樣本方差差異不大，故應(yīng)該選擇種植品種乙． 6.（2020· 廣東高考文科·Ｔ17）在某次測驗(yàn)中，有6位同學(xué)的平均成績?yōu)?5分.用xn表示編號(hào)為n(n=1,

13、2,…,6)的同學(xué)所得成績，且前5位同學(xué)的成績?nèi)缦拢? 編號(hào)n 1 2 3 4 5 成績xn 70 76 72 70 72 （1）求第6位同學(xué)的成績x6，及這6位同學(xué)成績的標(biāo)準(zhǔn)差s; （2）從前5位同學(xué)中，隨機(jī)地選2位同學(xué)，求恰有1位同學(xué)成績?cè)趨^(qū)間（68，75）中的概率. 【思路點(diǎn)撥】(1)由平均數(shù)的計(jì)算公式列出關(guān)于的方程，求出，由標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式求標(biāo)準(zhǔn)差； （2）由古典概型概率計(jì)算公式直接求解. 【精講精析】（1）由題意，即，解得； 標(biāo)準(zhǔn)差s= （2）從前5位同學(xué)的成績中隨機(jī)地選2位同學(xué)的成績，有10種，分別是（70，76），（70，72），（70，70）

14、， （70，72），（76，72），（76，70），（76，72），（72，70），（72，72），（70，72）. 恰有一位同學(xué)成績?cè)趨^(qū)間（68，75）中，有4種，分別是（70，76），（76，72），（76，70），（76，72）. 設(shè)事件A=“恰有1位同學(xué)成績?cè)趨^(qū)間（68，75）中”，則P(A). 答：恰有1位同學(xué)成績?cè)趨^(qū)間（68，75）中的概率是. 7.（2020·廣東高考理科·Ｔ17）為了解甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量，采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別抽取14件和5件，測量產(chǎn)品中微量元素x，y的含量（單位：毫克）.下表是乙廠的5件產(chǎn)品的測量數(shù)據(jù)： 編號(hào) 1 2

15、 3 4 5 169 178 166 175 180 75 80 77 70 81 （1）已知甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共98件，求乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量； （2）當(dāng)產(chǎn)品中的微量元素x，y滿足x≥175且y≥75時(shí)，該產(chǎn)品為優(yōu)等品，用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量； （3）從乙廠抽出的上述5件產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取2件，求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)的分布列及其均值（即數(shù)學(xué)期望）. 【思路點(diǎn)撥】（1）由已知求出抽取比例，從而求得乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量； （2）由表格中數(shù)據(jù)估計(jì)乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品率，然后估計(jì)乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量； （3）先確定的所有取值，逐個(gè)算其概率，列出分

16、布列，再由期望值. 【精講精析】（1）由題意，抽取比例為，則乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量為； （2）由表格知乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品為2號(hào)和5號(hào)，所占比例為.由此估計(jì)乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量為； （3）由（2）知2號(hào)和5號(hào)產(chǎn)品為優(yōu)等品，其余3件為非優(yōu)等品.的取值為0，1，2. P(=0)=, P(=1)=, P(=2)=. 從而分布列為 0 1 2 P 數(shù)學(xué)期望E()=. 8.（2020·山東高考理科·Ｔ18）紅隊(duì)隊(duì)員甲、乙、丙與藍(lán)隊(duì)隊(duì)員A、B、C進(jìn)行圍棋比賽，甲對(duì)A，乙對(duì)B，丙對(duì)C各一盤.已知甲勝A、乙勝B、丙勝C的概率分別為0.6,0.5,0.5，假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立

17、. （Ⅰ）求紅隊(duì)至少兩名隊(duì)員獲勝的概率； （Ⅱ）用表示紅隊(duì)隊(duì)員獲勝的總盤數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望. 【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）本題考查的是相互獨(dú)立的事件發(fā)生的概率，紅隊(duì)至少兩人獲勝的概率等于紅隊(duì)只有兩人獲勝的概率和紅隊(duì)有三人獲勝的概率之和. （Ⅱ）本題考查的是隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望，先列出的所有值，并求出每個(gè)值所對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，然后根據(jù)公式求出數(shù)學(xué)期望. 【精講精析】（Ⅰ）記甲對(duì)A、乙對(duì)B、丙對(duì)C各一盤中甲勝A、乙勝B、丙勝C分別為事件,則甲不勝A、乙不勝B、丙不勝C分別為事件，根據(jù)各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立可得 紅隊(duì)至少兩名隊(duì)員獲勝的概率為 . （Ⅱ）依題意可知， ； ;

18、 ; .故的分布列為 0 1 2 3 P 0.1 0.35 0.4 0.15 故. 9.（2020·遼寧高考理科·Ｔ19）某農(nóng)場計(jì)劃種植某種新作物，為此對(duì)這種作物的兩個(gè)品種（分別稱為品種甲和品種乙）進(jìn)行田間試驗(yàn)．選取兩大塊地，每大塊地分成n小塊地，在總共2n小塊地中，隨機(jī)選n小塊地種植品種甲，另外n小塊地種植品種乙． （I）假設(shè)n=4，在第一大塊地中，種植品種甲的小塊地的數(shù)目記為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望； （II）試驗(yàn)時(shí)每大塊地分成8小塊，即n=8，試驗(yàn)結(jié)束后得到品種甲和品種乙在各小塊地上的每公頃產(chǎn)量（單位：kg/hm2）如下表： 分別求品種甲和品種乙

19、的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差；根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果，你認(rèn)為應(yīng)該種植哪一品種？ 附：樣本數(shù)據(jù)的樣本方差，其中為樣本平均數(shù)． 【思路點(diǎn)撥】（I）先根據(jù)古典概型結(jié)合排列組合的知識(shí)求分布列，再利用公式求數(shù)學(xué)期 望；（II）先求平均數(shù)，再求方差，最后下結(jié)論． 【精講精析】(Ⅰ)可能的取值為且 ， ， ， ， . 即的分布列為 0 1 2 3 4 的數(shù)學(xué)期望為 + (Ⅱ)品種甲的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差分別

20、為： ， 品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為： ， . 由以上結(jié)果可以看出，品種乙的樣本平均數(shù)大于品種甲的樣本平均數(shù)，且兩品種的樣本方差差異不大，故應(yīng)該選擇種植品種乙. 10.（2020·北京高考理科·T17）以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學(xué)的植樹棵數(shù).乙組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無法確認(rèn)，在圖中以X表示. 甲組 乙組 9 9 0 X 8 9 1 1 1 0 （Ⅰ）如果X=8，求乙組同學(xué)植樹棵數(shù)的平均數(shù)和方差； （Ⅱ）如果X=9，分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一

21、名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)Y的分布列和數(shù)學(xué)期望. （注：方差，其中為的平均數(shù)） 【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）代入平均數(shù)、方差公式進(jìn)行計(jì)算；（Ⅱ）先求出Y的所有可能取值，再分別求出概率，最后計(jì)算數(shù)學(xué)期望. 【精講精析】（Ⅰ）當(dāng)X=8時(shí)，由莖葉圖可知，乙組同學(xué)的棵數(shù)是8，8，9，10，所以平均數(shù)為； 方差為 （Ⅱ）當(dāng)X=9時(shí)，由莖葉圖可知，甲組同學(xué)的植樹棵數(shù)是：9，9，11，11；乙組同學(xué)的植樹棵數(shù)是9，8，9，10.分別從甲、乙兩組中隨機(jī)抽取一名同學(xué)，共有種可能的結(jié)果，這兩名同學(xué)不植樹總棵數(shù)Y的可能取值為17，18，19，20，21.事件“Y=17”等價(jià)于“甲組選出的同學(xué)植樹9棵，乙組選出

22、的同學(xué)植樹8棵”，所以該事件有2種可能的結(jié)果，因此P(Y=17)=, 同理可得 .所以隨機(jī)變量Y的分布列為： Y 17 18 19 20 21 P =19. 11．（2020·湖南高考理科·T18）某商店試銷某種商品20天，獲得如下數(shù)據(jù)： 日銷售量（件） 0 1 2 3 頻數(shù) 1 5 9 5 試銷結(jié)束后（假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變），設(shè)某天開始營業(yè)時(shí)有該商品3件，當(dāng)天營業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存貨少于2件，則當(dāng)天進(jìn)貨補(bǔ)充至3件，否則不進(jìn)貨，將頻率視為概率. （Ⅰ）求當(dāng)天商店不進(jìn)貨的概率； （Ⅱ）記X為第二天

23、開始營業(yè)時(shí)該商品的件數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望. 【思路點(diǎn)撥】本題主要考查互斥事件、獨(dú)立事件、對(duì)立事件、分布列、數(shù)學(xué)期望等知識(shí)，考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.解決此類問題要注意根據(jù)事件的性質(zhì)識(shí)別概率模型，而能否正確列出分布列則將直接影響數(shù)學(xué)期望的求解.它的解題步驟是：一想試驗(yàn)和試驗(yàn)的基本事件.二設(shè)，設(shè)試驗(yàn)的基本事件和要解決的復(fù)合事件.三建，建立目標(biāo)事件和基本事件的關(guān)系.四計(jì)算，算概率，算的依據(jù)是對(duì)立事件、互斥事件和獨(dú)立事件.五答. 【精講精析】（I）P（“當(dāng)天商店不進(jìn)貨”）=P（“當(dāng)天商品銷售量為0件”）+P（“當(dāng)天商品銷售量1件”）=。 （II）由題意知，的可能取值為2，3.

24、； 故的分布列為 2 3 的數(shù)學(xué)期望為。 12．（2020·江西高考理科·Ｔ16）某飲料公司招聘了一名員工，現(xiàn)對(duì)其進(jìn)行一項(xiàng)測試，以便確定工資級(jí)別.公司準(zhǔn)備了兩種不同的飲料共8杯，其顏色完全相同，并且其中4杯為A飲料，另外4杯為B飲料，公司要求此員工一一品嘗后，從8杯飲料中選出4杯A飲料.若4杯都選對(duì)，則月工資定為3500元；若4杯選對(duì)3杯，則月工資定為2800元，否則月工資定為2100元，令X表示此人選對(duì)A飲料的杯數(shù)，假設(shè)此人對(duì)A和B兩種飲料沒有鑒別能力. （1）求X的分布列； （2）求此員工月工資的期望. 【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)超幾何分布的概率模型，易

25、得X的分布列.（2）結(jié)合第一問月工資為3500的概率對(duì)應(yīng)X=4的概率，2800對(duì)應(yīng)X=3的概率,2100對(duì)應(yīng)X2的概率，易得月工資的期望. 【精講精析】 X的分布列為： X 0 1 2 3 4 P 13．（2020·陜西高考理科·T20）如圖，A地到火車站共有兩條路徑和，據(jù)統(tǒng)計(jì)，通過兩條路徑所用的時(shí)間互不影響，所用時(shí)間落在各時(shí)間段內(nèi)的頻率如下表： 時(shí)間（分鐘） 1020 2030 3040 4050 5060 的頻率 的頻率 0 現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時(shí)間用于趕往火車站．

26、 （Ⅰ）為了盡最大可能在各自允許的時(shí)間內(nèi)趕到火車站，甲和乙應(yīng)如何選擇各自的路徑？ （Ⅱ）用X表示甲、乙兩人中在允許的時(shí)間內(nèi)能趕到火車站的人數(shù)，針對(duì)（Ⅰ）的選擇方案，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望 . 【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）會(huì)用頻率估計(jì)概率，然后把問題轉(zhuǎn)化為互斥事件的概率；（Ⅱ）首先確定X的取值，然后確定有關(guān)概率，注意運(yùn)用對(duì)立事件、相互獨(dú)立事件的概率公式進(jìn)行計(jì)算，列出分布列后即可計(jì)算數(shù)學(xué)期望． 【精講精析】（Ⅰ）表示事件“甲選擇路徑時(shí)，40分鐘內(nèi)趕到火車站”， 表示事件“甲選擇路徑時(shí)，50分鐘內(nèi)趕到火車站”，，． 用頻率估計(jì)相應(yīng)的概率，則有： ，； ∵，∴甲應(yīng)選擇路徑； ，； ∵，∴乙應(yīng)選

27、擇路徑． （Ⅱ）用A，B分別表示針對(duì)（1）的選擇方案，甲、乙在各自允許的時(shí)間內(nèi)趕到火車站， 由（Ⅰ）知，，又事件A，B相互獨(dú)立，的取值是0，1，2， ∴， ， ∴X的分布列為 0 1 2 P 0.04 0.42 0.54 ∴． 14.（2020.天津高考理科.T16）學(xué)校游園活動(dòng)有這樣一個(gè)游戲項(xiàng)目：甲箱子里裝有3個(gè)白球、2個(gè)黑球，乙箱子里裝有1個(gè)白球、2個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個(gè)箱子里各隨機(jī)摸出2個(gè)球，若摸出的白球不少于2個(gè)，則獲獎(jiǎng)．（每次游戲結(jié)束后將球放回原箱） （Ⅰ）求在1次游戲中， （i）摸出3個(gè)白球的概率； （ii）獲獎(jiǎng)的概率； （Ⅱ）求在2次游戲中獲獎(jiǎng)次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望。 【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）根據(jù)古典概率、互斥事件的概率公式求解； （Ⅱ）先求出獨(dú)立事件的概率、再求數(shù)學(xué)期望. 【精講精析】 （I）（i）【解析】設(shè)“在1次游戲中摸出i個(gè)白球”為事件則 （ii）【解析】設(shè)“在1次游戲中獲獎(jiǎng)”為事件B，則，又 且A2，A3互斥，所以 （II）【解析】由題意可知X的所有可能取值為0，1，2. 所以X的分布列是 X 0 1 2 P X的數(shù)學(xué)期望