2、sB，則此三角形的外心位于它的( )
A．內(nèi)部 B．外部
C．一邊上 D．以上都有可能
答案 B
解析 sinAsinB0，∴cos(A＋B)>0
∴A＋B為銳角，∴C為鈍角
∴△ABC為鈍角三角形，外心位于它的外部．
4．在△ABC中，三內(nèi)角A、B、C分別對三邊a、b、c，tanC＝，c＝8，則△ABC外接圓半徑R為( )
A．10 B．8
C．6 D．5
答案 D
解析 本題考查解三角形．由題可知應(yīng)用正弦定理，
由tanC＝?sinC＝，
則2R＝＝＝10，故外接圓半徑為5.
5．(
3、2020·太原模擬)△ABC中，a，b，c分別為∠A、∠B、∠C的對邊，如果a，b，c成等差數(shù)列，∠B＝30°，△ABC的面積為0.5，那么b為( )
A．1＋ B．3＋
C. D．2＋
答案 C
解析 2b＝a＋c，ac·＝?ac＝2，
a2＋c2＝4b2－4，
b2＝a2＋c2－2ac·?b2＝?b＝.
6．在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，則△ABC的面積為( )
A. B.
C.或 D.或
答案 D
解析 如圖，由正弦定理得
sinC＝＝，而c>b，
∴C＝60°或C＝120°，
∴A＝90°或A＝30°，
∴S△ABC＝
4、bcsinA＝或.
7．(2020·天津卷)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c.若a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，則A＝( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
答案 A
解析 由sinC＝2sinB可得c＝2b，由余弦定理得cosA＝＝＝，于是A＝30°，因此選A.
8．在△ABC中，若(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab且sinC＝2sinAcosB，則△ABC是( )
A．等邊三角形
B．等腰三角形，但不是等邊三角形
C．等腰直角三角形
D．直角三角形，但不是等腰三角形
答案 A
解析 ∵(a＋b＋c)(a＋b
5、－c)＝3ab，
即a2＋b2－c2＝ab，
∴cosC＝＝，∴C＝60°.
又sinC＝2sinAcosB，
由sinC＝2sinA·cosB得c＝2a·，
∴a2＝b2，∴a＝b.∴△ABC為等邊三角形．
二、填空題
9．已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C，B＝且AB＝1，BC＝4，則邊BC上的中線AD的長為________．
答案
解析 在△ABD中，B＝，BD＝2，AB＝1，
則AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos＝3.
所以AD＝.
10．(2020·廣東卷)已知a，b，c分別是ΔABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，則sin
6、 A＝________.
答案
解析 由A＋C＝2B，且A＋B＋C＝180°，得B＝60°，由正弦定理得＝，∴sin A＝.
11．(2020·山東卷)在ΔABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若a＝，b＝2，sin B＋cos B＝，則角A的大小為________．
答案
解析 由sin B＋cos B＝sin(B＋)＝得sin(B＋)＝1，所以B＝.由正弦定理＝得sin A＝＝＝，所以A＝或(舍去)．
三、解答題
12．(2020·全國卷Ⅱ)ΔABC中，D為邊BC上的一點，BD＝33，sin B＝，cos ∠ADC＝，求AD.
解析 由cos ∠ADC＝>0知
7、B<.
由已知得cos B＝，sin∠ADC＝.
從而sin∠BAD＝sin(∠ADC－B)
＝×－×＝.
由正弦定理得＝.
所以AD＝＝＝25.
13．已知△ABC中，∠B＝45°，AC＝，cosC＝.
(1)求BC邊的長；
(2)記AB的中點為D，求中線CD的長．
解析 (1)由cosC＝得sinC＝，
sinA＝sin(180°－45°－C)
＝(cosC＋sinC)＝.
由正弦定理知
BC＝·sinA＝·＝3.
(2)AB＝·sinC＝·＝2.
BD＝AB＝1.由余弦定理知
CD＝
＝＝.
講評 解斜三角形的關(guān)鍵在于靈活地運(yùn)用正弦定理和余弦定理，熟練
8、掌握用正弦定理和余弦定理解決問題，要注意由正弦定理＝求B時，應(yīng)對解的個數(shù)進(jìn)行討論；已知a，b，A，求c時，除用正弦定理＝外，也可用余弦定理a2＝b2＋c2－2abcosA求解．
14．在△ABC中，已知內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，向量m＝(2sinB，－)，n＝(cos2B,2cos2－1)，且m∥n.
(Ⅰ)求銳角B的大??；
(Ⅱ)如果b＝2，求△ABC的面積S△ABC的最大值．
解析 (Ⅰ)m∥n?2sinB(2cos2－1)＝－cos2B?2sinBcosB＝－cos2B?tan2B＝－.
∵0<2B<π，∴2B＝，∴B＝.
(Ⅱ)已知b＝2，由余弦定理，得：
9、4＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac(當(dāng)且僅當(dāng)a＝c＝2時等號成立)．
∵△ABC的面積S△ABC＝acsinB＝ac≤，
∴△ABC的面積S△ABC的最大值為.
15．(2020·陜西卷)如圖，A，B是海面上位于東西方向相距5(3＋)海里的兩個觀測點．現(xiàn)位于A點北偏東45°，B點北偏西60°的D點有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點南偏西60°且與B點相距20海里的C點的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/小時，該救援船到達(dá)D點需要多長時間？
答案 救援船到達(dá)D點需要1小時．
解析 由題意知AB＝5(3＋)海里，
∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，
∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，
在△DAB中，由正弦定理得＝，
∴DB＝＝＝＝＝10(海里)，
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20(海里)，
在△DBC中，由余弦定理得
CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC
＝300＋1200－2×10×20×＝900，
∴CD＝30(海里)，則需要的時間t＝＝1(小時)．
答：救援船到達(dá)D點需要1小時．
注：如果認(rèn)定△DBC為直角三角形，根據(jù)勾股定理正確求得CD，同樣給分．
2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 5-7課時作業(yè)
