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1、第五部分：立體幾何（8） (限時：時間45分鐘，滿分100分) 一、選擇題 1．如圖所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是AB1、BC1的中點，則以下結(jié)論中不成立的是(　　) A．EF與BB1垂直 B．EF與BD垂直 C．EF與CD異面 D．EF與A1C1異面 【解析】　由題意，連接B1C， 則F∈B1C，且F為B1C中點． 連接AC，∴EF為△B1AC的中位線， ∴EF∥AC.∵AC⊥BB1，AC⊥BD，AC∥A1C1， ∴A、B皆成立，D不成立． EF?面B1AC，DC?面B1AC，且C?EF， ∴EF

2、與DC是異面直線，C成立． 【答案】　D 2．下列命題中正確的是(　　) A．經(jīng)過不同的三點有且只有一個平面 B．分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線一定是異面直線 C．垂直于同一平面的兩直線是平行直線 D．垂直于同一平面的兩平面是平行平面 【解析】　A中當三點共線時，有無數(shù)個平面； B中只有當不在任何一個平面內(nèi)時，兩直線才是異面直線； D中兩平面也可能相交． 【答案】　C 3．如果兩條異面直線稱為“一對”，那么在正方體的十二條棱中共有異面直線(　　) A．12對 B．24對 C．36對 D．48對 【解析】　如圖，與A

3、B異面的直線有B1C1，CC1，A1D1，DD1四條， 因為各棱具有相同的位置且正方體共有12條棱，排除兩棱的重復(fù)計算，共有異面直線=24對． 【答案】　B 4．(2020年曲靖二模)如圖是正方體或四面體，P、Q、R、S分別是所在棱的中點，這四個點不共面的一個圖是(　　) 【解析】　在A圖中分別連接PS、QR， 易證PS∥QR，∴P、S、R、Q共面； 在C圖中分別連接PQ、RS， 易證PQ∥RS，∴P、Q、R、S共面． 如圖，在B圖中過P、Q、R、S可作一正六邊形，故四點共面，D圖中PS與RQ為異面直線，∴四點不共面，故選D. 【答案】　D 5．正四面體PA

4、BC中，M為棱AB的中點，則PA與CM所成角的余弦值為(　　) A. B. C. D. 【解析】　如圖，取PB中點N， 連接CM、CN、MN. ∠CMN為PA與CM所成的角(或所成角的補角)， 設(shè)PA=2，則CM= ，MN=1， CN= ， ∴cos∠CMN= .故選C. 【答案】　C 二、填空題 6．在圖中，G、H、M、N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH、MN是異面直線的圖形有________．(填上所有正確答案的序號) 【解析】　如題干圖(1)中，直線GH∥MN；

5、圖(2)中，G、H、N三點共面，但M?面GHN，因此直線GH與MN異面； 圖(3)中，連接MG，GM∥HN， 因此GH與MN共面； 圖(4)中，G、M、N共面，但H?面GMN， ∴GH與MN異面． 所以圖(2)、(4)中GH與MN異面． 【答案】　(2)、(4) 7．(2020年云南模擬)如圖所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AC的中點，AA1∶AB＝∶1，則異面直線AB1與BD所成的角為________． 【解析】　在平面ABC內(nèi)，過A作DB的平行線AE，過B作BH⊥AE于H， 連接B1H，則在Rt△AHB1中， ∠B1AH為AB1與BD所成角， 設(shè)AB＝

6、1，則A1A＝， ∴B1A＝，AH＝BD＝， ∴cos∠B1AH＝＝， ∴∠B1AH＝60°. 【答案】　60° 8．空間四邊形ABCD中，各邊長均為1，若BD＝1，則AC的取值范圍是________． 【解析】　如圖①所示，△ABD與△BCD均為邊長為1的正三角形，當△ABD與△CBD重合時，AC＝0，將△ABD以BD為軸轉(zhuǎn)動，到A，B，C，D四點再共面時，AC＝，如圖②，故AC的取值范圍是0

7、 【證明】　如圖所示，在DD1上取一點G，使D1G=A1E，則易知A1E D1G， ∴四邊形A1EGD1為平行四邊形， ∴EGA1D1. 又∵A1D1B1C1， B1C1BC， ∴EGBC(公理4)， ∴四邊形GEBC是平行四邊形，∴EBGC. 又∵D1GFC， ∴四邊形D1GCF是平行四邊形， ∴GCD1F，∴EBD1F(公理4)， ∴四邊形EBFD1是平行四邊形． 10．已知：a，b，c，d是不共點且兩兩相交的四條直線，求證：a，b，c，d共面． 【解析】　弄清楚四條直線不共點且兩兩相交的含義：四條直線不共點，包括有三條直線共點的情況；兩兩相交是指任何兩條直線都相交． (1)當四條直線中有三條相交于一點時，不妨設(shè)a，b，c相交于一點A， ∴直線d和A確定一個平面α. (如右圖) 又設(shè)直線d與a，b，c分別相交于E，F(xiàn)，G，則A，E，F(xiàn)，G∈α. ∵A，E∈α，A，E∈a，∴a?α.同理可證b?α，c?α， ∴a，b，c，d在同一平面α內(nèi)． (2)當四條直線中任何三條都不共點時，如右圖． ∵這四條直線兩兩相交， 則設(shè)相交直線a，b確定一個平面α. 設(shè)直線c與a，b分別交于點H，K，則H，K∈α. 又∵H，K∈c，∴c?α.同理可證d?α. ∴a，b，c，d在同一平面α內(nèi)．