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1、 第六部分：平面解析幾何（1） (限時：時間45分鐘，滿分100分) 一、選擇題 1．已知雙曲線的離心率為2，焦點是(－4,0)，(4,0)，則雙曲線方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 【解析】　由已知得， ∴a＝2，c＝4，∴b2＝16－4＝12， ∴雙曲線方程為－＝1. 【答案】　A 2．若k∈R，則“k＞3”是“方程－＝1表示雙曲線”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【解析】　若方程表示雙曲線，則(k－3)(k＋3)＞0， ∴k＜－3或k＞3， 故k＞3是方程

2、表示雙曲線的充分不必要條件． 【答案】　A 3．設(shè)F1、F2分別是雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，如圖，若雙曲線上存在點A，使∠F1AF2＝90°且|AF1|＝3|AF2|，則雙曲線的離心率為(　　) A. B. C. D. 【解析】　由已知得 ∴|AF1|＝3a，|AF2|＝a， ∴4c2＝a2＋9a2＝10a2， ∴＝，∴e＝＝. 【答案】　B 4．(2020年海南模擬)雙曲線x2＋ky2＝1的一條漸近線的斜率是2，則k的值為(　　) A．4 B. C．－4 D．－ 【解析】　∵方程x2＋ky2＝1表示雙曲線，∴k＜0，∵雙曲線x2＋k

3、y2＝1的漸近線方程為x±y＝0，又已知一條漸近線的斜率是2. ∴＝，∴k＝－. 【答案】　D 5．(2020年湖南模擬)焦點為(0,6)，且與雙曲線－y2＝1有相同的漸近線的雙曲線方程是(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 【解析】　設(shè)雙曲線方程為－y2＝λ(λ＜0)， 即－＝1(λ＜0)， ∴a2＝－λ，b2＝－2λ.∴c2＝－3λ. 又焦點為(0,6)，∴c＝6， ∴－3λ＝36，λ＝－12， ∴雙曲線方程為－y2＝－12，即－＝1. 【答案】　B 二、填空題 6．(2020年安徽考前訓(xùn)練)已知雙曲線－＝1的離心率為，則n＝______

4、__. 【解析】　∵n(12－n)＞0，∴0＜n＜12，∴＝，∴n＝4. 【答案】　4 7．已知雙曲線的焦點在坐標(biāo)軸上，且一個焦點在直線5x－2y＋20＝0上，兩焦點關(guān)于原點對稱，且＝，則雙曲線的方程為________． 【解析】　直線5x－2y＋20＝0與兩坐標(biāo)軸交點為(－4,0)和(0,10)， 若(－4,0)為焦點，則c＝4，而＝， ∴a＝.∴b2＝16－＝， ∴雙曲線方程為：－＝1， 若(0,10)為焦點，則c＝10， ∴a＝6，∴b2＝100－36＝64， ∴雙曲線方程為－＝1. 【答案】?。?或－＝1. 8．過雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左焦點且垂直于

5、x軸的直線與雙曲線相交于M、N兩點，以MN為直徑的圓恰好過雙曲線的右頂點，則雙曲線的離心率等于________． 【解析】　令x＝－c，得y2＝， ∴|MN|＝， 由題意得a＋c＝， 即a2＋ac＝c2－a2，∴()2－－2＝0， ∴＝2. 【答案】　2 三、解答題 9．如圖所示，雙曲線的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，F(xiàn)1、F2分別為左、右焦點，雙曲線的左支上有一點P，∠F1PF2＝，且△PF1F2的面積為2，又雙曲線的離心率為2，求該雙曲線方程． 【解析】　設(shè)雙曲線方程為：－＝1(a＞0，b＞0)， F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，P(x0，y0)． 在△PF1F

6、2中，由余弦定理，得： |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos ＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|. 即4c2＝4a2＋|PF1|·|PF2|. 又∵S△PF1F2＝2. ∴|PF1|·|PF2|·sin＝2. ∴|PF1|·|PF2|＝8.∴4c2＝4a2＋8，即b2＝2. 又∵e＝＝2，∴a2＝. ∴雙曲線的方程為：－＝1. 10．設(shè)雙曲線C：－y2＝1(a＞0)與直線l：x＋y＝1相交于兩個不同的點A、B. (1)求雙曲線C的離心率e的取值范圍； (2)設(shè)直線l與y軸的交點為P，且＝，求a的值． 【解析】　(1)將y＝1－x代入雙曲線－y2＝1中得 (1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0① 所以， 解得0＜a＜，且a≠1，又雙曲線的離心率 e＝＝，0＜a＜且a≠1， ∴e＞且e≠. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)． ∵＝，∴(x1，y1－1)＝(x2，y2－1)． 由此得x1＝x2，由于x1，x2都是方程①的兩根， 且1－a2≠0，∴x2＝，x22＝－. 消去x2，得－＝，∴a2＝，∴a＝±. 由a＞0，得a＝.