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1、第二十九講 等比數(shù)列
班級(jí)________ 姓名________ 考號(hào)________ 日期________ 得分________
一、選擇題：(本大題共6小題，每小題6分，共36分，將正確答案的代號(hào)填在題后的括號(hào)內(nèi)．)
1．在等比數(shù)列{an}中，a7·a11＝6，a4＋a14＝5，則＝( )
A. B.
C.或 D．－或－
解析：在等比數(shù)列{an}中，a7·a11＝a4·a14＝6①
又a4＋a14＝5②
由①、②組成方程組解得或
∴＝＝或.
答案：C
2．在等比數(shù)列{an}中a1＝2，前n項(xiàng)和為Sn，若數(shù)列{an＋1}也是等比數(shù)列，則S
2、n等于( )
A．2n＋1－2 B．3n
C．2n D．3n－1
解析：要{an}是等比數(shù)列，{an＋1}也是等比數(shù)列，則只有{an}為常數(shù)列，故Sn＝na1＝2n.
答案：C
評(píng)析：本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)及對(duì)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，抓住只有常數(shù)列有此性質(zhì)是本題的關(guān)鍵，也是技巧；否則逐一驗(yàn)證，問題運(yùn)算量就較大．
3．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S6S3＝12，則S9S3等于( )
A．12 B．23
C．34 D．13
解析：解法一：∵S6S3＝12，
∴{an}的公比q≠1.
由÷＝，
得q3＝－，
∴＝＝.
解法二：因
3、為{an}是等比數(shù)列，所以S3，S6－S3，S9－S6也成等比數(shù)列，
即(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)，將S6＝S3代入得＝，故選C.
答案：C
4．已知等比數(shù)列{an}中，an>0，a10a11＝e，則lna1＋lna2＋…＋lna20的值為( )
A．12 B．10
C．8 D．e
解析：lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]＝lne10＝10，故選B.
答案：B
5．若數(shù)列{an}滿足a1＝5，an＋1＝＋(n∈N*)，則其前10項(xiàng)和是( )
A．200 B．150
C．100 D．
4、50
解析：由已知得(an＋1－an)2＝0，
∴an＋1＝an＝5，
∴S10＝50.故選D.
答案：D
6.在等比數(shù)列{an}中，a1＋a2＋…＋an＝2n－1(n∈N*)，則a＋a＋…＋a等于( )
A．(2n－1)2 B.(2n－1)2
C．4n－1 D.(4n－1)
解析：若a1＋a2＋…＋an＝2n－1，則an＝2n－1，a1＝1，q＝2，所以a＋a＋…＋a＝(4n－1)，故選D.
答案：D
二、填空題：(本大題共4小題，每小題6分，共24分，把正確答案填在題后的橫線上．)
7．?dāng)?shù)列{an}中，設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S9＝________.
5、
解析：S9＝(1＋22＋24＋26＋28)＋(3＋7＋11＋15)＝377.
答案：377
8．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)之和為Sn，Sn＝1－an，則an＝________.
解析：n＝1時(shí)，a1＝S1＝1－a1，得a1＝，
n≥2時(shí)，Sn＝1－an，Sn－1＝1－an－1.
兩式相減得an＝an－1－an，
即an＝an－1，＝，
所以{an}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為a1＝，公比為，
所以an＝·n－1.
答案：·n－1
9．{an}是等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，S2＝7，S6＝91，則S4＝________.
解析：設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，
∵S2＝7，S6＝91.
∴
6、
∴
∴q4＋q2－12＝0，∴q2＝3.
∴S4＝＝a1(1＋q)(1＋q2)＝(a1＋a1q)(1＋q2)＝28.
答案：28
10．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn(n∈N＋)，關(guān)于數(shù)列{an}有下列四個(gè)命題：
①若{an}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則an＝an＋1(n∈N＋)
②若Sn＝an2＋bn(a，b∈R)，則{an}是等差數(shù)列
③若Sn＝1－(－1)n，則{an}是等比數(shù)列
④若{an}是等比數(shù)列，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m(m∈N＋)也成等比數(shù)列．
其中正確的命題是__________．(填上正確命題的序號(hào))
解析：①若{an}既是等差數(shù)列又是等
7、比數(shù)列，{an}為非零常數(shù)列，故an＝an＋1(n∈N＋)；②若{an}是等差數(shù)列，Sn＝n2＋n為an2＋bn(a，b∈R)的形式；③若Sn＝1－(－1)n，則n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝1－(－1)n－1＋(－1)n－1＝(－1)n－1－(－1)n，而a1＝2，適合上述通項(xiàng)公式，所以an＝(－1)n－1－(－1)n是等比數(shù)列；④若{an}是等比數(shù)列，當(dāng)公比q＝－1且m為偶數(shù)時(shí)，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m不成等比數(shù)列．
答案：①②③
三、解答題：(本大題共3小題，11、12題13分，13題14分，寫出證明過程或推演步驟．)
11．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，前n項(xiàng)和為Sn
8、，對(duì)任意的自然數(shù)n≥2，an是3Sn－4與2－Sn－1的等差中項(xiàng)．
(1)求{an}的通項(xiàng)公式；
(2)求Sn.
解：(1)由已知，當(dāng)n≥2時(shí)，
2an＝(3Sn－4)＋(2－Sn－1)，①
又an＝Sn－Sn－1，②
由①②得an＝3Sn－4(n≥2)③
an＋1＝3Sn＋1－4④
③④兩式相減得an＋1－an＝3an＋1
∴＝－.
∴a2，a3，…，an，…成等比數(shù)列，其中
a2＝3S2－4＝3(1＋a2)－4，
即a2＝，q＝－，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，
an＝a2qn－2＝n－2＝－n－1.
即
(2)解法一：當(dāng)n≥2時(shí)
Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a1＋(a
9、2＋…＋an)
＝1＋
＝1＋
＝－n－1，
當(dāng)n＝1時(shí)S1＝1
＝－0
也符合上述公式．
∴Sn＝－n－1.
解法二：由(1)知n≥2時(shí)，an＝3Sn－4，
即Sn＝(an＋4)，
∴n≥2時(shí)，Sn＝(an＋4)＝－n－1＋.
又n＝1時(shí)，S1＝a1＝1亦適合上式．
∴Sn＝－n－1.
12．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且(3－m)Sn＋2man＝m＋3(n∈N*)，其中m為常數(shù)，且m≠－3.
(1)求證：{an}是等比數(shù)列；
(2)若數(shù)列{an}的公比q＝f(m)，數(shù)列{bn}滿足b1＝a1，bn＝f(bn－1)(n∈N*，n≥2)，求證：{}為等差數(shù)列，
10、并求bn.
解：(1)證明：由(3－m)Sn＋2man＝m＋3，
得(3－m)Sn＋1＋2man＋1＝m＋3，
兩式相減，得(3＋m)an＋1＝2man，
m≠－3，
∴＝(n≥1)．
∴{an}是等比數(shù)列．
(2)由(3－m)S1＋2ma1＝m＋3，
解出a1＝1，∴b1＝1.
又∵{an}的公比為，
∴q＝f(m)＝，
n≥2時(shí)，bn＝f(bn－1)＝·，
∴bnbn－1＋3bn＝3bn－1，推出－＝.
∴{}是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
∴＝1＋＝，
又＝1符合上式，
∴bn＝.
13．已知{an}是首項(xiàng)為a1，公比q(q≠1)為正數(shù)的等比數(shù)列，其前
11、n項(xiàng)和為Sn，且有5S2＝4S4，設(shè)bn＝q＋Sn.
(1)求q的值；
(2)數(shù)列{bn}能否是等比數(shù)列？若是，請(qǐng)求出a1的值；若不是，請(qǐng)說明理由．
解：(1)由題意知5S2＝4S4，
S2＝，S4＝，
∴5(1－q2)＝4(1－q4)，得q2＋1＝.
又q>0，∴q＝.
(2)解法一：∵Sn＝＝2a1－a1n－1，
于是bn＝q＋Sn＝＋2a1－a1n－1，
若{bn}是等比數(shù)列，則＋2a1＝0，即a1＝－，
此時(shí)，bn＝n＋1，
∵＝＝，∴數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，
所以存在實(shí)數(shù)a1＝－，使數(shù)列{bn}為等比數(shù)列．
解法二：由于bn＝＋2a1－a1n－1，
所以b1＝＋a1，b2＝＋a1，b3＝＋a1，
若數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，則b＝b1·b3，
即2＝，
整理得4a＋a1＝0，解得a1＝－或a1＝0(舍去)，
此時(shí)bn＝n＋1.
故存在實(shí)數(shù)a1＝－，使數(shù)列{bn}為等比數(shù)列．
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