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1、專題二　高考三角函數與平面向量命題動向 高考命題分析 縱觀近年各省的高考數學試題，出現了一些富有時代氣息的三角函數與平面向量考題，它們形式獨特、背景鮮明、結構新穎，主要考查學生分析問題、解決問題的能力和處理交匯性問題的能力．在新課標高考試卷中一般有2～4題，分值約占全卷的14%～20%，因此，加強這些試題的命題動向研究，對指導高考復習無疑有十分重要的意義．現聚焦高考三角函數與平面向量試題，揭秘三角函數與平面向量高考命題動向，挖掘三角函數與平面向量常見的考點及其求解策略，希望能給考生帶來幫助和啟示． 高考命題特點 新課標高考涉及三角函數與平面向量的考題可以說是精彩紛呈，奇花斗艷，其特點如

2、下： (1)考小題，重基礎：有關三角函數的小題其考查重點在于基礎知識：解析式；圖象與圖象變換；兩域(定義域、值域)；四性(單調性、奇偶性、對稱性、周期性)；簡單的三角變換(求值、化簡及比較大小)．有關向量的考查主要是向量的線性運算以及向量的數量積等知識． (2)考大題，難度明顯降低：有關三角函數的大題即解答題，通過公式變形轉換來考查思維能力的題目已經很少，而著重考查基礎知識和基本技能與方法的題目卻在增加．大題中的向量，主要是作為工具來考查的，多與三角、圓錐曲線相結合． (3)考應用，融入三角形與解析幾何之中：既能考查解三角形、圓錐曲線的知識與方法，又能考查運用三角公式進行恒等變換的技能，

3、深受命題者的青睞．主要解法是充分利用三角形內角和定理、正、余弦定理、面積公式、向量夾角公式、向量平行與垂直的充要條件，向量的數量積等． (4)考綜合，體現三角的工具作用：由于近幾年高考試題突出能力立意，加強對知識性和應用性的考查，故常常在知識交匯點處命題，而三角知識是基礎中的基礎，故考查與立體幾何、解析幾何、導數等綜合性問題時突出三角與向量的工具性作用． 高考動向透視 考查三角函數的概念及同角三角函數的 　　　 基本關系 高考對本部分內容的考查主要以小題的形式出現，即利用三角函數的定義、誘導公式及同角三角函數的關系進行求值、變形，或是利用三角函數的圖象及其性質進

4、行求值、求參數的值、求值域、求單調區(qū)間及圖象判斷等，而大題常常在綜合性問題中涉及三角函數的定義、圖象、誘導公式及同角三角函數的關系的應用等，在這類問題的求解中，常常使用的方法技巧是“平方法”，“齊次化切”等． 【示例1】?(2020·福建)若α∈，且sin2α＋cos 2α＝，則tan α的值等于 (　　)． A. B. C. D. 解析　由二倍角公式可得sin2α＋1－2sin2α＝，即－sin2α＝－，sin2α＝，又因為α∈，所以sin α＝，即α＝，所以tan α＝tan ＝，故選D. 答案　D 本題考查了三角恒等變換中二倍角公式的靈活運用．

5、 考查三角函數的圖象及其性質 三角函數的圖象與性質主要包括：正弦(型)函數、余弦(型)函數、正切(型)函數的單調性、奇偶性、周期性、最值、圖象的變換等五大塊內容，在近年全國各地的高考試卷中都有考查三角函數的圖象與性質的試題，而且對三角函數的圖象與性質的考查不但有客觀題，還有主觀題，客觀題常以選擇題的形式出現，往往結合集合、函數與導數考查圖象的相關性質；解答題主要在與三角恒等變換、不等式等知識點的交匯處命題，難度中等偏下． 【示例2】?(2020·浙江) 已知函數f(x)＝Asin，x∈R，A＞0,0＜φ＜，y＝f(x)的部分圖象如圖所示，P，Q分別為該圖象的最高點和最低點，點P的坐標

6、為(1，A)． (1)求f(x)的最小正周期及φ的值； (2)若點R的坐標為(1,0)，∠PRQ＝，求A的值． 解　(1)由題意得，T＝＝6. 因為P(1，A)在y＝Asin的圖象上， 所以sin＝1. 又因為0＜φ＜， 所以φ＝. (2)設點Q的坐標為(x0，－A)， 由題意可知x0＋＝，得x0＝4，所以Q(4，－A)，如圖，連接PQ，在△PRQ中，∠PRQ＝，由余弦定理得cos∠PRQ＝＝＝－，解得A2＝3.又A＞0，所以A＝. 本題主要考查三角函數的圖象與性質、三角運算等基礎知識． 高考對三角函數的單調性考查，常以小題形

7、式呈現，有時也會出現在大題的某一小問中，屬中檔題．對于形如y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))，Aω≠0的單調區(qū)間的求法是：先考慮A，ω的符號，再將ωx＋φ視為一個整體，利用y＝sin x的單調區(qū)間，整體運算，解出x的范圍即可． 【示例3】?(2020·安徽)已知函數f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ為實數，若f(x)≤對x∈R恒成立，且f＞f(π)，則f(x)的單調遞增區(qū)間是(　　)． A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 解析　因為當x∈R時，f(x)≤恒成立，所以f＝sin＝±1，可得φ＝2kπ＋或φ＝2kπ－.因為f＝sin(π

8、＋φ)＝－sin φ＞f(π)＝sin(2π＋φ)＝sin φ，故sin φ＜0，所以φ＝2kπ－，所以f(x)＝sin，所以由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ得，函數的單調遞增區(qū)間為(k∈Z)． 答案　C 本題的亮點是引入參數φ與不等式恒成立問題，求解此類問題的關鍵是：利用隱蔽條件“正弦函數的有界性”，把不等式恒成立問題轉化為含參數φ的方程，求出參數φ的值，注意利用已知條件剔除增根；求出函數的解析式即可求其單調遞增區(qū)間，熟悉正弦函數的單調性可加快求解此類問題的速度． 【訓練】 (2020·新課標全國)設函數f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)的最小正周期為π，且f(－x)＝f

9、(x)，則(　　)． A．f(x)在單調遞減 B．f(x)在單調遞減 C．f(x)在單調遞增 D．f(x)在單調遞增 解析　f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝sin，由最小正周期為π得ω＝2，又由f(－x)＝f(x)可知f(x)為偶函數，|φ|＜可得φ＝，所以f(x)＝cos 2x在單調遞減． 答案　A 高考對三角函數最值的考查，常以小題形式呈現，屬中檔題．有時也在大題中的某一步呈現，屬中檔偏難題，高考?？疾橐韵聝煞N類型：①化成y＝Asin(ωx＋φ)的形式后利用正弦函數的單調性求其最值；②化成二次函數形式后利用配方法求其最

10、值． 【示例4】?(2020·重慶)設a∈R，f(x)＝cos x(asin x－cos x)＋cos2滿足f＝f(0)，求函數f(x)在上的最大值和最小值． 解　f(x)＝asin xcos x－cos2x＋sin2 x＝sin 2x－cos 2x. 由f＝f(0)得－·＋＝－1，解得a＝2. 因此f(x)＝sin 2x－cos 2x＝2sin. 當x∈時，2x－∈，f(x)為增函數， 當x∈時，2x－∈，f(x)為減函數， 所以f(x)在上的最大值為f＝2. 又因為f＝，f＝， 故f(x)在上的最小值為f＝. 本小題主要考查基本三角函數公式，以及運用三角函數公式對相關

11、函數的解析式進行化簡的能力，同時考查數形結合思想． 【訓練】 (2020·上海)函數y＝2sin x－cos x的最大值為________． 解析　注意到y(tǒng)＝＝sin(x－θ)．其中cos θ＝，sin θ＝，因此函數y＝2sin x－cos x的最大值是. 答案　 三角恒等變換是研究三角函數的圖象與性質，解三角形的基礎，在前幾年的高考中單獨命題的情況很少，但在今年的高考中加強了對三角恒等變換的考查，大多是結合三角函數的圖象與性質，解三角形進行命題，但有的省份對三角恒等變換進行了單獨命題，由此可見，高考加大了對三角恒等變換的考查力度，高考命題考查的重點性質

12、是公式，同角三角函數基本關系，兩角和與差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式． 【示例5】?(2020·天津)已知函數f(x)＝tan. (1)求f(x)的定義域與最小正周期； (2)設α∈，若f＝2cos 2α，求α的大?。? 解　(1)由2x＋≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，所以f(x)的定義域為，f(x)的最小正周期為. (2)由f＝2cos 2α，得tan＝2cos 2α， ＝2(cos2α－sin2α)， 整理得＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)． 因為α∈，所以sin α＋cos α≠0. 因此(cos α－sin α)2＝，即sin 2α

13、＝. 由α∈，得2α∈.所以2α＝，即α＝. 本小題主要考查兩角和的正弦、余弦、正切公式，同角三角函數的基本關系，二倍角的正弦、余弦公式，正切函數的性質等基礎知識，考查基本運算能力． 【訓練】 (2020·浙江)若0＜α＜，－＜β＜0，cos＝，cos＝，則cos＝(　　)． A. B．－ C. D．－ 解析　對于cos＝cos＝coscos＋sinsin，而∈，∈. 因此sin＝，sin＝， 則cos＝×＋×＝.故選C. 答案　C 三角函數的綜合應用是歷年來高考考查的重點、熱點問題，新課標高考更加注重對知識點的綜合應用意識的考查，而

14、且新課標高考在考查的內容以及形式上不斷推陳出新，三角函數不僅可以與集合、函數與方程、不等式等結合命題，而且還可以結合線性規(guī)劃知識命題，給今后的命題提出了新的挑戰(zhàn)． 【示例6】?設函數f(θ)＝sin θ＋cos θ，其中，角θ的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸非負半軸重合，終邊經過點P(x，y)，且0≤θ≤π. (1)若點P的坐標為，求f(θ)的值； (2)若點P(x，y)為平面區(qū)域Ω上的一個動點，試確定角θ的取值范圍，并求函數f(θ)的最小值和最大值． 解　(1)由點P的坐標和三角函數的定義可得 于是f(θ)＝sin θ＋cos θ＝×＋＝2. (2)作出平面區(qū)域Ω(即三角區(qū)域

15、ABC)如圖所示，其中A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)． 于是0≤θ≤. 又f(θ)＝sin θ＋cos θ＝2sin，且≤θ＋≤， 故當θ＋＝，即θ＝時， f(θ)取得最大值，且最大值等于2； 當θ＋＝，即θ＝0時，f(θ)取得最小值，且最小值等于1. 本小題主要考查三角函數、不等式等基礎知識，考查運算求解能力． 新課標高考對解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的綜合運用為主，在解題時，要分析清楚題目條件，利用正弦定理、余弦定理轉化為三角形中各邊之間的關系或各角之間的關系，并結合三角形的內角和為180°，誘導公式，同角三角函數基本關系，兩

16、角和與差的正弦、余弦、正切公式進行化簡求值．在近幾年的高考中，對解三角形的考查力度有所加強，而且更加注重知識點的綜合運用，沒有怪題、偏題．下面我們就高考試題研究一下解三角形的問題． 【示例7】?(2020·江蘇)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c. (1)若sin＝2cos A，求A的值； (2)若cos A＝，b＝3c，求sin C的值． 解　(1)由題設知sin Acos＋cos Asin＝2cos A．從而sin A＝cos A，所以cos A≠0，tan A＝.因為0＜A＜π，所以A＝. (2)由cos A＝，b＝3c及a2＝b2＋c2－2bccos A， 得

17、a2＝b2－c2. 故△ABC是直角三角形，且B＝. 所以sin C＝cos A＝. 本小題主要考查三角函數的基本關系式、兩角和的正弦公式、解三角形，考查運算求解能力． 【訓練】 (2020·天津)在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知B＝C,2b＝a. (1)求cos A的值； (2)求cos的值． 解　(1)由B＝C,2b＝a，可得c＝b＝a. 所以cos A＝＝＝. (2)因為cos A＝，A∈(0，π)，所以sin A＝＝，cos 2A＝2cos2A－1＝－. 故sin 2A＝2sin Acos A＝. 所以cos＝cos 2Acos －sin

18、 2Asin ＝×－×＝－. 高考對平面向量共線與垂直的考查，常以小題形式出現，屬中檔題，有時也在大題的條件中出現，屬中檔偏難題．平面向量的坐標表示可使平面向量運算完全代數化，從而使得我們可以利用“方程的思想”破解向量共線與垂直的問題． 【示例8】?(2020·江蘇)已知e1，e2是夾角為的兩個單位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，則實數k的值為________． 解析　由題意知：a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0，即ke＋e1e2－2ke1e2－2e＝0，即k＋cos －2kcos－2＝0，化簡可求得k＝. 答案　

19、 本題從向量數量積為0入手，轉化為關于兩單位向量數量積的關系式，再利用兩向量數量積定義，轉化為含k的方程，即可求出k的值． 【訓練】 (2020·廣東)若向量a，b，c滿足a∥b且a⊥c，則c·(a＋2b)＝(　　)． A．4 B．3 C．2 D．0 解析　由a∥b及a⊥c，得b⊥c，則c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0.故選D. 答案　D 高考對平面向量夾角的考查，常以小題形式出現，屬中檔題．有時也在大題中出現，屬中檔題．兩向量夾角公式其實是平面向量數量積公式的變形和應用、有關兩向量夾角問題的考查，常見類型：①依條件等式，運算求夾角，此類問

20、題求解過程中應關注夾角取值范圍；②依已知圖形求兩向量夾角，此類題求解過程應抓住“兩向量共起點”，便可避開陷阱，順利求解． 【示例9】?(2020·新課標全國)已知a與b均為單位向量，其夾角為θ，有下列四個命題： p1：|a＋b|＞1?θ∈； p2：|a＋b|＞1?θ∈； p3：|a－b|＞1?θ∈； p4：|a－b|＞1?θ∈. 其中的真命題是(　　)． A．p1，p4 B．p1，p3 C．p2，p3 D．p2，p4 解析　由|a＋b|＝＝＞1， 得2＋2cos θ＞1，∴cos θ＞－，∴0≤θ＜. 由|a－b|＝＝＞1， 得2－2cos θ＞1，∴cos θ＜，

21、∴＜θ＜π.∴p1，p4正確． 答案　A 此題考查向量的運算、向量的模及向量的夾角． 高考對平面向量的模的考查，常以小題形式出現，屬中檔題，?？疾轭愋停孩侔严蛄糠旁谶m當的坐標系中，給有關向量賦予具體坐標求向量的模，如向量a＝(x，y)，求向量a的模只需利用公式|a|＝即可求解．②不把向量放在坐標系中研究，求解此類問題的通常做法是利用向量運算法則及其幾何意義或應用向量的數量積公式，關鍵是會把向量a的模進行如下轉化：|a|＝. 【示例10】?(2020·遼寧)若a，b，c均為單位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，則|a＋b－c|的最

22、大值為(　　)． A.－1 B．1 C. D．2 解析　由已知條件，向量a，b，c都是單位向量可以求出，a2＝1，b2＝1，c2＝1，由a·b＝0，及(a－c)·(b－c)≤0，可以知道，(a＋b)·c≥c2＝1，因為|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c，所以有|a＋b－c|2＝3－2(a·c＋b·c)≤1，故|a＋b－c|≤1.故選B. 答案　B 本小題主要考查了平面向量數量積的運算及應用它解決向量模的問題． 【訓練】 (2020·全國)設向量a，b滿足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，則|a＋2b|＝(　　)． A. B. C. D. 解

23、析　依題意得(a＋2b)2＝a2＋4b2＋4a·b＝5＋4×＝3，則|a＋2b|＝，故選B. 答案　B 近年的新課標高考，對于平面向量的應用的考查不僅體現在力學中，還滲透到中學學科的各個分支，但不論題型如何變化，都是把向量作為工具進行考查的，解題的關鍵是把這些以向量形式出現的條件還其本來面目． 【示例11】?(2020·湖北)已知向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，則2a＋b與a－b的夾角等于(　　)． A．－ B. C. D. 解析　2a＋b＝(3,3)，a－b＝(0,3)，則cos〈2a＋b，a－b〉＝＝＝，故夾角為，選C. 答案　C 本題主要考查了向量的坐標運算及數量積運算．