《【創(chuàng)新方案】2020年高考數(shù)學一輪復習 第八篇 立體幾何 第6講　空間向量及其運算教案 理 新人教版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《【創(chuàng)新方案】2020年高考數(shù)學一輪復習 第八篇 立體幾何 第6講　空間向量及其運算教案 理 新人教版（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第6講　空間向量及其運算 【2020年高考會這樣考】 1．考查空間向量的線性運算及其數(shù)量積． 2．利用向量的數(shù)量積判斷向量的關(guān)系與垂直． 3．考查空間向量基本定理及其意義． 【復習指導】 空間向量的運算類似于平面向量的運算，復習時又對比論證，重點掌握空間向量共線與垂直的條件，及空間向量基本定理的應(yīng)用． 基礎(chǔ)梳理 1．空間向量的有關(guān)概念 (1)空間向量：在空間中，具有大小和方向的量叫做空間向量． (2)相等向量：方向相同且模相等的向量． (3)共線向量：表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量． (4)共面向量：平行于同一個平面的向量． 2．空間向量的線

2、性運算及運算律 (1)定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運算，如下：＝＋＝a＋b；＝－＝a－b；＝λa(λ∈R)． (2)運算律：(1)加法交換律：a＋b＝b＋a. (3)加法結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． (4)數(shù)乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb. 3．空間向量的數(shù)量積及運算律 (1)數(shù)量積及相關(guān)概念 ①兩向量的夾角 已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作＝a，＝b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角，記作〈a，b〉，其范圍是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，則稱a與b互相垂直，記作a⊥b. ②兩向量的數(shù)量積 已知空間兩個非零向量a，

3、b則|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的數(shù)量積，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空間向量數(shù)量積的運算律 ①結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交換律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 4．基本定理 (1)共線向量定理：空間任意兩個向量a、b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使a＝λb. (2)共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，p與向量a，b共面的充要條件是存在實數(shù)x，y使p＝xa＋yb. (3)空間向量基本定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使p＝xa

4、＋yb＋zc. 一種方法 用空間向量解決幾何問題的一般方法步驟是： (1)適當?shù)倪x取基底{a，b，c}； (2)用a，b，c表示相關(guān)向量； (3)通過運算完成證明或計算問題． 兩個理解 (1)共線向量定理還可以有以下幾種形式： ①a＝λb?a∥b； ②空間任意兩個向量，共線的充要條件是存在λ，μ∈R使λa＝μb. ③若，不共線，則P，A，B三點共線的充要條件是＝λ＋μ且λ＋μ＝1. (2)對于共面向量定理和空間向量基本定理可對比共線向量定理進行學習理解．空間向量基本定理是適當選取基底的依據(jù)，共線向量定理和共面向量定理是證明三點共線、線線平行、四點共面、線面平行的工具

5、，三個定理保證了由向量作為橋梁由實數(shù)運算方法完成幾何證明問題的完美“嫁接”． 四種運算 空間向量的四種運算與平面向量的四種運算加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積從形式到內(nèi)容完全 一致可類比學習．學生要特別注意共面向量的概念．而對于四種運算的運算律，要類比實數(shù)加、減、乘的運算律進行學習． 雙基自測 1．已知向量a∥平面β，向量a所在直線為a，則(　　)． A．a(chǎn)∥β B．a(chǎn)?β C．a(chǎn)交β于一點 D．a(chǎn)∥β或a?β 答案　D 2．(人教A版教材習題改編)下列命題： ①若A、B、C、D是空間任意四點，則有＋＋＋＝0； ②|a|－|b|＝|a＋b|是a、b共線的充要條件； ③若

6、a、b共線，則a與b所在直線平行； ④對空間任意一點O與不共線的三點A、B、C，若＝x＋y＋z(其中x、y、z∈R)，則P、A、B、C四點共面．其中不正確命題的個數(shù)是(　　)． A．1 B．2 C．3 D．4 解析　①中四點恰好圍成一封閉圖形，正確； ②中當a、b同向時，應(yīng)有|a|＋|b|＝|a＋b|； ③中a、b所在直線可能重合； ④中需滿足x＋y＋z＝1，才有P、A、B、C四點共面． 答案　C 3．(2020·福州質(zhì)檢)a＝λb(λ是實數(shù))是a與b共線的(　　)． A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析　a＝λb

7、?a∥b 但則a∥b，a≠λb. 答案　A 4．(2020·舟山月考)平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，向量、、兩兩的夾角均為60°，且||＝1，||＝2，||＝3，則||等于(　　)． A．5 B．6 C．4 D．8 解析　設(shè)＝a，＝b，＝c，則＝a＋b＋c， 2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝25， 因此||＝5. 答案　A 5．在四面體O-ABC中，＝a，＝b，＝c，D為BC的中點，E為AD的中點，則＝________(用a，b，c表示)． 解析　如圖，＝＋＝＋＋＝a＋b＋c. 答案　a＋b＋c　　 考向一

8、　空間向量的線性運算 【例1】?如圖，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中G為△A1BD的重心，設(shè)＝a，＝b，＝c，試用a，b，c表示，. [審題視點] 正確運用空間向量的加法運算用已知向量表示出未知向量． 解　＝＋＋ ＝＋＋ ＝a＋b＋c. ＝＋ ＝＋(＋) ＝＋(－)＋(－) ＝＋＋ ＝a＋b＋c. (1)通過以上表示可以看出＝3即證明：A、G、C1三點共線．G為AC1的三分之一分點． (2)解決幾何問題的難點是作輔助線，而利用向量解決幾何問題恰好回避了這一難點問題，把證明轉(zhuǎn)化為運算． 【訓練1】 如右圖，已知M、N分別為四面

9、體ABCD的面BCD與面ACD的重心，且G為AM上一點，且GM∶GA＝1∶3.設(shè)＝a，＝b，＝c，試用a，b，c表示，. 解?。剑剑? ＝－a＋(a＋b＋c)＝－a＋b＋c， ＝＋＝＋(＋)＝－a＋b＋c. 說明　此問題事實上解決了B、G、N三點共線問題，同學們可以通過此題想象正四面體外接球和內(nèi)切球的球心位置． 考向二　共線共面定理的應(yīng)用 【例2】?如右圖，已知平行六面體ABCD-A′B′C′D′，E、F、G、H分別是棱A′D′、D′C′、C′C和AB的中點，求證E、F、G、H四點共面． [審題視點] 四點共點，考慮構(gòu)造有關(guān)向量，然后利用共面向量定理證明． 證明　取＝a、＝

10、b、＝c，則＝＋＋＝＋2＋ ＝b－a＋2a＋(＋＋)＝b＋a＋(b－a－c－a)＝b－c，∴H與b、c共面．即E、F、G、H四點共面． 證明E、F、G、H四點共線，只須證明＝λ＋μ即可，即證、、三個向量共面．此種方法也是證明直線與平面平行的方法． 【訓練2】 如圖在三棱柱ABC-A1B1C1中，D為BC邊上的中點， 試證A1B∥平面AC1D. 證明　設(shè)＝a，＝c，＝b， 則?。剑? ＝＋＝a＋c， ＝＋＝＋＝－a＋b， ＝＋＝－＋＝b－a＋c， ＝－2，∵AB?平面AC1D， 因此A1B∥平面AC1D. 考向三　空間向量數(shù)量積的應(yīng)用 【例3】?如圖，在四面體

11、S-ABC中，若SA⊥BC，SB⊥AC，試證SC⊥AB. [審題視點] 可通過證明兩直線的方向向量的數(shù)量積為0來證明兩直線垂直． 證明　?。絘，＝b，＝c，由已知SA⊥BC，SB⊥AC， 即 ②－①得c·(b－a)＝0， 則SC⊥AB. 利用空間向量的基本定理適當?shù)倪x取基底，將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為已知求證c·(b－a)＝0 回避了傳統(tǒng)幾何法中作輔助線這一難題．以上證法同時也證明了平面幾何中“三角形的三條高線交于同一點”這一命題． 【訓練3】 已知如右圖所示，平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CD＝∠C1CB＝∠BCD＝60°. (1)求證：C1

12、C⊥BD； (2)當?shù)闹凳嵌嗌贂r，能使A1C⊥平面C1BD？請給出證明． (1)證明　?。絘，＝b，＝c， 由已知|a|＝|b|，且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， ＝－＝a－b，·＝c·(a－b)＝c·a－c·b ＝|c||a|－|c||b|＝0，∴⊥，即C1C⊥BD. (2)若A1C⊥平面C1BD， 則A1C⊥C1D，＝a＋b＋c，＝a－c. ∴·＝0，即(a＋b＋c)·(a－c)＝0. 整理得：3a2－|a||c|－2c2＝0， (3|a|＋2|c|)(|a|－|c|)＝0， ∴|a|－|c|＝0，即|a|＝|c|. 即當＝＝1時，A1C⊥平面C1BD

13、. 　　 規(guī)范解答14——利用空間向量證明平行或垂直問題 【問題研究】 從近幾年高考試題的命題情況來看，高考對平行、垂直關(guān)系的考查主要以線面平行，線面垂直為核心，以多面體為載體結(jié)合平面幾何知識，常和角與距離的求解.體積的計算等綜合命題，同時考查判定定理、性質(zhì)定理、定義以及對符號語言的識別和轉(zhuǎn)化，難度以中低檔題目為主. 【解決方案】 建立空間直角坐標系，用坐標或基底表示相關(guān)的向量，把線面關(guān)系的邏輯推理轉(zhuǎn)化為相應(yīng)直線的方向向量和平面的法向量之間的運算，用代數(shù)運算代替空間線面關(guān)系的邏輯推理，使證明和運算過程具有程序化. 【示例】? (本題滿分12分)(2020·全國改編)如圖，四棱錐S

14、ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側(cè)面SAB為等邊三角形．AB＝BC＝2，CD＝SD＝1. (1)證明：SD⊥平面SAB； (2)求AB與平面SBC所成的角的正弦值． (1)本題可以通過計算邊邊關(guān)系證明SD⊥平面SAB，第2問也可作出AB與平面SBC所成的角，利用解三角形來計算，但這種方法必須加輔助線，且易找錯角，故考慮用向量法，建立恰當?shù)目臻g直角坐標系是解題關(guān)鍵． [解答示范] 　以C為坐標原點，射線CD為x正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Cxyz. 設(shè)D(1,0,0)，則A(2,2,0)、B(0,2,0)． 又設(shè)S(x，y，z)，則x＞0，y＞0，z＞0. (1)

15、證明　A＝(x－2，y－2，z)，＝(x，y－2，z)，＝(x－1，y，z)，由||＝||得 ＝， 故x＝1. 由||＝1得y2＋z2＝1， 又由||＝2得x2＋(y－2)2＋z2＝4， 即y2＋z2－4y＋1＝0，故y＝，z＝. 于是S，＝，＝，＝，·＝0，·＝0，故DS⊥AS，DS⊥BS，又AS∩BS＝S，所以SD⊥平面SAB.(6分) (2)解　設(shè)平面SBC的法向量a＝(m，n，p)，則a⊥，a⊥，∴a·＝0，a·＝0. 又＝，＝(0,2,0)， 故(9分) 取p＝2得a＝(－，0,2)． 又＝(－2,0,0)， cos〈，a〉＝＝. 故AB與平面SBC所成角的

16、正弦值為.(12分) 直線和平面的位置關(guān)系可以利用直線的方向向量和平面的法向量之間的關(guān)系來判斷．證明的主要思路是：(1)證明線線平行：可證兩條直線的方向向量共線；(2)證明 線面平行：①證明直線的方向向量和平面的法向量垂直，②證明直線的方向向量可用平面內(nèi)的兩個不共線向量線性表示；(3)證明面面平行：可證兩個平面的法向量共線；(4)證明線線垂直：可證兩條直線的方向向量垂直；(5)證明線面垂直：①證明直線的方向向量和平面內(nèi)的兩個不共線向量垂直，②證明直線的方向向量與平面的法向量共線；(6)證明面面垂直：可證兩個平面的法向量互相垂直． 【試一試】 設(shè)p：方程x2＋2mx＋1＝0有兩個不相等的正根；q：方程x2＋2(m－2)x－3m＋10＝0無實根．求使p∨q為真，p∧q為假的實數(shù)m的取值范圍． [嘗試解答]　由得m＜－1. ∴p：m＜－1； 由Δ2＝4(m－2)2－4(－3m＋10)＜0， 知－2＜m＜3，∴q：－2＜m＜3. 由p∨q為真，p∧q為假可知，命題p，q一真一假， 當p真q假時，此時m≤－2； 當p假q真時，此時－1≤m＜3. ∴m的取值范圍是{m|m≤－2，或－1≤m＜3}．