《【創(chuàng)新方案】2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九篇 解析幾何 第9講　曲線與方程教案 理 新人教版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《【創(chuàng)新方案】2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九篇 解析幾何 第9講　曲線與方程教案 理 新人教版（9頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第9講　曲線與方程 【2020年高考會(huì)這樣考】 1．考查方程的曲線與曲線的方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系． 2．利用直接法或定義法求軌跡方程． 3．結(jié)合平面向量知識(shí)能確定動(dòng)點(diǎn)軌跡，并會(huì)研究軌跡的有關(guān)性質(zhì)． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 正確理解曲線與方程的概念，會(huì)用解析幾何的基本思想和坐標(biāo)法研究幾何問(wèn)題，用方程的觀點(diǎn)實(shí)現(xiàn)幾何問(wèn)題的代數(shù)化解決，并能根據(jù)所給條件選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ笄€的軌跡方程，常用方法有：直接法、定義法、待定系數(shù)法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法等。 基礎(chǔ)梳理 1．曲線與方程 一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x，y)＝0的實(shí)數(shù)解建立了如下關(guān)系： (1)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這

2、個(gè)方程的解． (2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)．那么這個(gè)方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線． 2．直接法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的一般步驟 (1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)． (2)寫出適合條件p的點(diǎn)M的集合P＝{M|p(M)}． (3)用坐標(biāo)表示條件p(M)，列出方程f(x，y)＝0. (4)化方程f(x，y)＝0為最簡(jiǎn)形式． (5)說(shuō)明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上． 3．兩曲線的交點(diǎn) (1)由曲線方程的定義可知，兩條曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是兩個(gè)曲線方程的公共解，即兩個(gè)曲線方程組成的方程組的實(shí)數(shù)解；反過(guò)來(lái)，方程組有幾

3、組解，兩條曲線就有幾個(gè)交點(diǎn)，方程組無(wú)解，兩條曲線就沒有交點(diǎn)． (2)兩條曲線有交點(diǎn)的充要條件是它們的方程所組成的方程組有實(shí)數(shù)解．可見，求曲線的交點(diǎn)問(wèn)題，就是求由它們的方程所組成的方程組的實(shí)數(shù)解問(wèn)題． 一個(gè)主題 通過(guò)坐標(biāo)法，由已知條件求軌跡方程，通過(guò)對(duì)方程的研究，明確曲線的位置、形狀以及性質(zhì)是解析幾何需要完成的兩大任務(wù)，是解析幾何的核心問(wèn)題，也是高考的熱點(diǎn)之一． 四個(gè)步驟 對(duì)于中點(diǎn)弦問(wèn)題，常有的解題方法是點(diǎn)差法，其解題步驟為： ①設(shè)點(diǎn)：即設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)； ②代入：即代入圓錐曲線方程； ③作差：即兩式相減，再用平方差公式把上式展開； ④整理：即轉(zhuǎn)化為斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式

4、，然后求解． 五種方法 求軌跡方程的常用方法 (1)直接法：直接利用條件建立x，y之間的關(guān)系F(x，y)＝0； (2)待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，求曲線方程——先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)； (3)定義法：先根據(jù)條件得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程； (4)代入轉(zhuǎn)移法：動(dòng)點(diǎn)P(x，y)依賴于另一動(dòng)點(diǎn)Q(x0，y0)的變化而變化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲線上，則可先用x，y的代數(shù)式表示x0，y0，再將x0，y0代入已知曲線得要求的軌跡方程； (5)參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P(x，y)坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到，也沒有相關(guān)動(dòng)

5、點(diǎn)可用時(shí)，可考慮將x，y均用一中間變量(參數(shù))表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程． 雙基自測(cè) 1．f(x0，y0)＝0是點(diǎn)P(x0，y0)在曲線f(x，y)＝0上的(　　)． A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析　利用曲線與方程定義的兩條件來(lái)確定其關(guān)系， ∵f(x0，y0)＝0可知點(diǎn)P(x0，y0) 在曲線f(x，y)＝0上，又P(x0，y0)在曲線f(x，y)＝0上時(shí)，有f(x0，y0)＝0， ∴f(x0，y0)＝0是P(x0，y0)在曲線f(x，y)＝0上的充要條件． 答案　C 2．(2020·泉州質(zhì)檢)方程x2＋x

6、y＝x的曲線是(　　)． A．一個(gè)點(diǎn) B．一條直線 C．兩條直線 D．一個(gè)點(diǎn)和一條直線 解析　方程變?yōu)閤(x＋y－1)＝0， ∴x＝0或x＋y－1＝0. 故方程表示直線x＝0或直線x＋y－1＝0. 答案　C 3．(2020·合肥月考)已知點(diǎn)P是直線2x－y＋3＝0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)M(－1,2)，Q是線段PM延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且|PM|＝|MQ|，則Q點(diǎn)的軌跡方程是(　　)． A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0 C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0 解析　由題意知，M為PQ中點(diǎn)，設(shè)Q(x，y)，則P為(－2－x，4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y＋

7、5＝0. 答案　D 4．(2020·福州模擬)若點(diǎn)P到直線x＝－1的距離比它到點(diǎn)(2,0)的距離小1，則點(diǎn)P的軌跡為(　　)． A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線 解析　依題意，點(diǎn)P到直線x＝－2的距離等于它到點(diǎn)(2,0)的距離，故點(diǎn)P的軌跡是拋物線． 答案　D 5．(2020·北京)曲線C是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1(－1,0)和F2(1,0)的距離的積等于常數(shù)a2(a＞1)的點(diǎn)的軌跡．給出下列三個(gè)結(jié)論： ①曲線C過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)； ②曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱； ③若點(diǎn)P在曲線C上，則△F1PF2的面積不大于a2. 其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是________． 解析　

8、設(shè)動(dòng)點(diǎn)M(x，y)到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的積等于a2，得曲線C的方程為·＝a2， ∵a＞1，故原點(diǎn)坐標(biāo)不滿足曲線C的方程，故①錯(cuò)誤．以－x，－y分別代替曲線C的方程中的x、y，其方程不變，故曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即②正確．因?yàn)镾△F1PF2＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2≤|PF1||PF2|＝a2，即面積不大于a2，所以③正確． 答案?、冖? 考向一　直接法求軌跡方程 【例1】?已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，如圖所示．由動(dòng)點(diǎn)P向⊙O和⊙O′所引的切線長(zhǎng)相等，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程． [審題視點(diǎn)] 由已知條件找出等量關(guān)系，

9、直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo)滿足的等式化簡(jiǎn)即得軌跡方程． 解　設(shè)P(x，y)，由圓O′的方程為(x－4)2＋y2＝6，及已知|AP|＝|BP|，故|OP|2－|AO|2＝|O′P|2－|O′B|2，則|OP|2－2＝|O′P|2－6. ∴x2＋y2－2＝(x－4)2＋y2－6， ∴x＝，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是x＝. 直接法求曲線方程的一般步驟： (1)建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)(x，y)； (2)列出幾何等量關(guān)系式； (3)用坐標(biāo)條件變?yōu)榉匠蘤(x，y)＝0； (4)變方程為最簡(jiǎn)方程； (5)檢驗(yàn)，就是要檢驗(yàn)點(diǎn)軌跡的純粹性與完備性． 【訓(xùn)練1】 如圖所示，過(guò)點(diǎn)P(2,4)作互相垂直的

10、直線l1，l2.若l1交x軸于A，l2交y軸于B，求線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程． 解　設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)， ∵M(jìn)是線段AB的中點(diǎn)， ∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為(2x,0)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2y)． ∴＝(2x－2，－4)，＝(－2,2y－4)． 由已知·＝0，∴－2(2x－2)－4(2y－4)＝0， 即x＋2y－5＝0. ∴線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程為x＋2y－5＝0. 考向二　定義法求軌跡方程 【例2】?一動(dòng)圓與圓x2＋y2＋6x＋5＝0外切，同時(shí)與圓x2＋y2－6x－91＝0內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程，并說(shuō)明它是什么曲線． [審題視點(diǎn)] 由曲線定義出發(fā)建立關(guān)系式，從而求出

11、軌跡方程． 解　如圖所示，設(shè)動(dòng)圓圓心為M(x，y)，半徑為R，設(shè)已知圓的圓心分別為O1、O2，將圓的方程分別配方得：(x＋3)2＋y2＝4， (x－3)2＋y2＝100， 當(dāng)動(dòng)圓與圓O1相外切時(shí)， 有|O1M|＝R＋2.① 當(dāng)動(dòng)圓與圓O2相內(nèi)切時(shí)，有|O2M|＝10－R.② 將①②兩式相加，得|O1M|＋|O2M|＝12>|O1O2|， ∴動(dòng)圓圓心M(x，y)到點(diǎn)O1(－3,0)和O2(3,0)的距離和是常數(shù)12， 所以點(diǎn)M的軌跡是焦點(diǎn)為O1(－3,0)、O2(3,0)， 長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于12的橢圓． ∴2c＝6,2a＝12，∴c＝3，a＝6，∴b2＝36－9＝27， ∴圓

12、心軌跡方程為＋＝1，軌跡為橢圓． 在利用圓錐曲線定義求軌跡時(shí)，若所求的軌跡符合某種圓錐曲線的定義，則根據(jù)曲線的方程，寫出所求的軌跡方程，若所求軌跡是某種圓錐曲線上的特定點(diǎn)的軌跡，則利用圓錐曲線的定義列出等式，化簡(jiǎn)求得方程，同時(shí)注意變量范圍． 【訓(xùn)練2】 已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：(x－3)2＋y2＝9，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程． 解　如圖所示，設(shè)動(dòng)圓M與圓C1及圓C2分別外切于點(diǎn)A和點(diǎn)B，根據(jù)兩圓外切的充要條件，得 |MC1|－|AC1|＝|MA|， |MC2|－|BC2|＝|MB|. 因?yàn)閨MA|＝|MB|， 所以|MC2

13、|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2. 這表明動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)C2、C1的距離的差是常數(shù)2，且小于|C1C2|＝6. 根據(jù)雙曲線的定義，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的左支(點(diǎn)M到C2的距離大，到C1的距離小)，這里a＝1，c＝3，則b2＝8，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，其軌跡方程為x2－＝1(x≤－1)． 考向三　參數(shù)法、相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程 【例3】?已知拋物線y2＝4px(p>0)，O為頂點(diǎn)，A，B為拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足OA⊥OB，如果OM⊥AB于M點(diǎn)，求點(diǎn)M的軌跡方程． [審題視點(diǎn)] 設(shè)出m點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)后，直接找x，y的關(guān)系式不好求，故尋求其他變量建立x，y之間的聯(lián)系

14、． 解　設(shè)M(x，y)，直線AB方程為y＝kx＋b. 由OM⊥AB得k＝－. 由y2＝4px及y＝kx＋b消去y，得 k2x2＋x(2kb－4p)＋b2＝0.所以x1x2＝. 消去x，得ky2－4py＋4pb＝0.所以y1y2＝. 由OA⊥OB，得y1y2＝－x1x2， 所以＝－，b＝－4kp. 故y＝kx＋b＝k(x－4p)． 把k＝－代入，得x2＋y2－4px＝0(x≠0)． 即M的軌跡方程為x2＋y2－4px＝0(x≠0)． 在一些很難找到形成曲線的動(dòng)點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)x，y所滿足的關(guān)系式的情況下，往往借助第三個(gè)變量t，建立t和x，t和y的關(guān)系式x＝φ(t)，y

15、＝x(t)，再通過(guò)一些條件消掉t就間接找到了x和y所滿足的方程，從而求出動(dòng)點(diǎn)P(x，y)所形成的曲線的普通方程． 【訓(xùn)練3】 如圖所示，從雙曲線x2－y2＝1上一點(diǎn)Q引直線x＋y＝2的垂線，垂足為N.求線段QN的中點(diǎn)P的軌跡方程． 解　設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x1，y1)，則N點(diǎn)的坐標(biāo)為(2x－x1，2y－y1)． ∵點(diǎn)N在直線x＋y＝2上， ∴2x－x1＋2y－y1＝2，① 又∵PQ垂直于直線x＋y＝2. ∴＝1，即x－y＋y1－x1＝0，② 由①、②聯(lián)立，解得 又Q在雙曲線x2－y2＝1上， ∴x－y＝1， 即2－2＝1， 整理得2x2－2y

16、2－2x＋2y－1＝0， 這就是所求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程． 規(guī)范解答18——如何解決求曲線的方程 【問(wèn)題研究】 曲線與方程是解析幾何的一條主線，雖然高考對(duì)曲線與方程的要求不是很高，但在高考中也經(jīng)常會(huì)有一些試題是以建立曲線方程作為切入點(diǎn)命制的．從近幾年的高考試題中可以發(fā)現(xiàn)，無(wú)論客觀題還是主觀題都有曲線與方程的命題點(diǎn)． 【解決方案】 首先，要深入理解求曲線的軌跡方程的各種方法及其適用的基本題型，注意參數(shù)法和交軌法的應(yīng)用．其次，求出軌跡方程時(shí)要注意檢驗(yàn)，多余的點(diǎn)要扣除，而遺漏的點(diǎn)要補(bǔ)上，再次，要明確圓錐曲線的性質(zhì)，選相應(yīng)的解題策略和擬定具體的解題方法，如參數(shù)的選取，相關(guān)點(diǎn)變化的規(guī)律及限制

17、條件等． 【示例】?(本小題滿分12分)(2020·天津)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P(a，b)(a＞b＞0) 為動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別為橢圓＋＝1的左、右焦點(diǎn)．已知△F1PF2為等腰三角形． (1)求橢圓的離心率e； (2)設(shè)直線PF2與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，M是直線PF2上的點(diǎn)，滿足A·B＝－2，求點(diǎn)M的軌跡方程． 第(1)問(wèn)設(shè)出焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)|PF2|＝|F1F2|列出等式，解方程即可求得；第(2)問(wèn)根據(jù)題意設(shè)出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，代入關(guān)系式·＝－2即可求得點(diǎn)M的軌跡方程． 解　(1)設(shè)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)(c＞0)． 由題意，可得|PF2|＝|F1F2|， 即＝

18、2c， 整理，得22＋－1＝0， 得＝－1(舍)，或＝. 所以e＝.(4分) (2)由(1)知a＝2c，b＝c，可得橢圓方程為3x2＋4y2＝12c2， 直線PF2的方程為y＝(x－c)． A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組 消去y并整理，得5x2－8cx＝0，解得x1＝0，x2＝c. 得方程組的解(6分) 不妨設(shè)A，B. 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則A＝， B＝(x，y＋c)． 由y＝(x－c)，得c＝x－y. 于是A＝，B＝(x，x)．(8分) 由A·B＝－2， 即·x＋·x＝－2， 化簡(jiǎn)得18x2－16xy－15＝0.(10分) 將y＝代入c＝x－y，得c＝＞0.所以x＞0. 因此，點(diǎn)M的軌跡方程是 18x2－16xy－15＝0(x＞0)．(12分) 代入法求曲線方程的難點(diǎn)是建立x，y，x0，y0所滿足的兩個(gè)關(guān)系式，這需要根據(jù)問(wèn)題的具體情況，充分利用已知條件列出關(guān)系式，一般需要找到兩個(gè)互相獨(dú)立的條件建立兩個(gè)方程，通過(guò)這兩個(gè)方程所組成的方程組用x，y表達(dá)x0，y0.