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1、第五章 第一節(jié) 數(shù)列的概念及簡單表示法
一、選擇題
1．數(shù)列1，，，，，…的一個通項公式an是( )
A. B.
C. D.
解析：由已知得，數(shù)列可寫成，，，…，故通項為.
答案：B
2．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2(an－1)，則a2等于( )
A．4 B．2
C．1 D．－2
解析：在Sn＝2(an－1)中，令n＝1，得a1＝2；令n＝2，得a1＋a2＝2a2－2，所以a2＝4.
答案：A
3．數(shù)列{an}的a1＝1，a＝(n，an)，b＝(an＋1，n＋1)，且a⊥b，則a100等于( )
2、
A．－100 B．100
C. D．－
解析：a·b＝0，則nan＋1＋(n＋1)an＝0，＝－，
··…·＝－×××…×＝－100，
∴a100＝－100.
答案：A
4．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝kn2，若對所有的n∈N*，都有an＋1＞an，則實數(shù)k的取值范圍是( )
A．k＞0 B．k＜1
C．k＞1 D．k＜0
解析：本題考查數(shù)列中an與Sn的關(guān)系以及數(shù)列的單調(diào)性．
由Sn＝kn2得an＝k(2n－1)，因為an＋1＞an，所以數(shù)列{an}是遞增的，因此k＞0.
答案：A
5．已知數(shù)列{an}滿足
3、an＋an＋1＝(n∈N*)，a2＝2，Sn是數(shù)列{an}的前n項和，則S21為
( )
A．5 B.
C. D.
解析：∵an＋an＋1＝，a2＝2，∴a1＝－，
∴S21＝a1＋a2＋…a20＋a21＝a1＋10×＝－＋5＝.
答案：B
6．若數(shù)列{an}滿足a1＝5，an＋1＝＋(n∈N*)，則其前10項和為( )
A．50 B．100
C．150 D．200
解析：由an＋1＝＋得a－2anan＋1＋a＝0，
∴an＋1＝an，即{an}為常數(shù)列，S10＝10a1＝50.
答案：A
二、填空題
7．數(shù)列{
4、an}對任意n∈N*滿足an＋1＝an＋a2，且a3＝6，則a10等于________．
解析：由已知，n＝1時，a2＝a1＋a2，∴a1＝0；
n＝2時，a3＝a2＋a2＝6，∴a2＝3；n＝3時，a4＝a3＋a2＝9；
n＝4時，a5＝a4＋a2＝12；n＝5時，a6＝a5＋a2＝15；…
n＝10時，a10＝a9＋a2＝27.
答案：27
8．根據(jù)下圖5個圖形及相應(yīng)點的個數(shù)的變化規(guī)律，猜測第n個圖中有________個點．
解析：觀察圖中5個圖形點的個數(shù)分別為1,1×2＋1,2×3＋1,3×4＋1,4×5＋1，故第n個圖中點的個數(shù)為
(n－1)×n＋1＝n2－n＋1.
5、
答案：n2－n＋1
9．若數(shù)列{an}滿足，
an＋1＝且a1＝，則a2020＝________.
解析：a2＝2a1＝，a3＝a2－1＝，a4＝2a3＝，a5＝a4－1＝，
a6＝2a5＝，a7＝2a6＝，∴此數(shù)列周期為5，
∴a2020＝a3＝.
答案：
三、解答題
10．數(shù)列{an}中，a1＝1，對于所有的n≥2，n∈N*都有a1·a2·a3…·an＝n2，求a3＋a5的值．
解：由a1·a2·a3·…·an＝n2，
∴a1a2＝4，a1a2a3＝9，∴a3＝，
同理a5＝.∴a3＋a5＝.
11．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn.
(1)若Sn＝(－1)n
6、＋1·n，求a5＋a6及an；
(2)若Sn＝3n＋2n＋1，求an.
解：(1)a5＋a6＝S6－S4＝(－6)－(－4)＝－2.
當n＝1時，a1＝S1＝1；
當n≥2時，
an＝Sn－Sn－1＝(－1)n＋1·n－(－1)n·(n－1)＝(－1)n＋1·[n＋(n－1)]＝(－1)n＋1·(2n－1)．
由于a1也適合于此式，
所以an＝(－1)n＋1·(2n－1)．
(2)當n＝1時，a＝S＝6；
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]＝2·3n－1＋2.
由于a1不適合此式，
所以an＝
12．設(shè)函數(shù)f(x)＝log2x－logx2(0＜x＜1)，數(shù)列{an}滿足f(2an)＝2n(n∈N*)．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性．
解：(1)由已知得log22an－log2an2＝2n，
∴an－＝2n，即a－2nan－1＝0.
解得an＝n±.
∵0＜x＜1，即0＜2an＜1＝20，
∴an＜0，故an＝n－(n∈N*)．
(2)∵＝
＝＜1，
而an＜0，
∴an＋1＞an，
即數(shù)列{an}是關(guān)于n的遞增數(shù)列
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