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1、安徽省淮南市第二十中學高中數(shù)學 函數(shù)的單調性教案 新人教A版必修1 教材分析 函數(shù)的單調性是函數(shù)的重要特性之一，它把自變量的變化方向和函數(shù)值的變化方向定性地聯(lián)系在一起．在初中學習函數(shù)時，借助圖像的直觀性研究了一些函數(shù)的增減性．這節(jié)內容是初中有關內容的深化、延伸和提高．這節(jié)通過對具體函數(shù)圖像的歸納和抽象，概括出函數(shù)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)的準確含義，明確指出函數(shù)的增減性是相對于某個區(qū)間來說的．教材中判斷函數(shù)的增減性，既有從圖像上進行觀察的直觀方法，又有根據(jù)其定義進行邏輯推理的嚴格方法，最后將兩種方法統(tǒng)一起來，形成根據(jù)觀察圖像得出猜想結論，進而用推理證明猜想的體系．這節(jié)內容的重點是理解函數(shù)

2、單調性的概念以及利用函數(shù)的單調性的概念證明函數(shù)的單調性，難點是理解函數(shù)單調性的概念． 教學目標 1. 通過對增函數(shù)、減函數(shù)概念的歸納、抽象和概括，體驗數(shù)學概念的產生和形成過程，培養(yǎng)學生從特殊到一般的抽象概括能力． 2. 掌握增函數(shù)、減函數(shù)等函數(shù)單調性的概念，理解函數(shù)增減性的幾何意義，并能初步運用所學知識判斷或證明一些簡單函數(shù)的單調性，培養(yǎng)學生對數(shù)學的理解能力和邏輯推理能力． 3. 通過對函數(shù)單調性的學習，初步體會知識發(fā)生、發(fā)展、運用的過程，培養(yǎng)學生形成科學的思維． 任務分析 教學設計 一、問題情境 1. 如圖為某市一天內的氣溫變化圖： （1）觀察這個氣溫變化圖，說出氣溫在

3、這一天內的變化情況． （2）怎樣用數(shù)學語言刻畫在這一天內“隨著時間的增大，氣溫逐漸升高或下降”這一特征？ 2. 分別作出下列函數(shù)的圖像： （1）y＝2x．　　?。?）y＝－x＋2．　　　（3）y＝x2． 根據(jù)三個函數(shù)圖像，分別指出當x∈（－∞，＋∞）時，圖像的變化趨勢？ 二、建立模型 1. 首先引導學生對問題2進行探討———觀察分析 觀察函數(shù)y＝2x，y＝－x＋2，y＝x2圖像，可以發(fā)現(xiàn)：y＝2x在（－∞，＋∞）上、y＝x2在（０，＋∞）上的圖像由左向右都是上升的；y＝－x＋2在（－∞，＋∞）上、y＝x2在（－∞，０）上的圖像由左向右都是下降的．函數(shù)圖像的“上升”或“下降”反映了

4、函數(shù)的一個基本性質———單調性．那么，如何描述函數(shù)圖像“上升”或“下降”這個圖像特征呢？ 以函數(shù)y＝x2，x∈（－∞，０）為例，圖像由左向右下降，意味著“隨著x的增大，相應的函數(shù)值y＝f（x）反而減小”，如何量化呢？取自變量的兩個不同的值，如x1＝－5，x2＝－3，這時有x1＜x2，f（x1）＞f（x2），但是這種量化并不精確．因此，x1，x2應具有“任意性”．所以，在區(qū)間（－∞，0）上，任取兩個x1，x2得到f（x1）＝，f（x2）＝．當x1＜x2時，都有f（x1）＞f（x2）．這時，我們就說f（x）＝x2在區(qū)間（－∞，0）上是減函數(shù)． 注意：在這里，要提示學生如何由直觀圖像的變化規(guī)律，

5、轉化為數(shù)學語言，即自變量ｘ變化時對函數(shù)值y的影響．必要時，對x，y可舉出具體數(shù)值，進行引導、歸納和總結．這里的“都有”是對應于“任意”的． 2. 在學生討論歸納函數(shù)單調性定義的基礎上，教師明晰———抽象概括 設函數(shù)f（x）的定義域為I： 如果對于定義域I內某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1＜x2時，都有f（x1）＜f（x2），那么我們就說函數(shù)f（x）在區(qū)間Ｄ上是增函數(shù)［如圖8-2（1）］． 如果對于定義域I內某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1＜x2時，都有f（x1）＞f（x2），那么我們就說函數(shù)f（x）在區(qū)間Ｄ上是減函數(shù)［如圖8-2（2）］． 如果

6、函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么我們就說函數(shù)y＝f（x）在這一區(qū)間具有（嚴格的）單調性，區(qū)間D叫作y＝f（x）的單調區(qū)間． 3. 提出問題，組織學生討論 （1）定義在R上的函數(shù)f（x），滿足f（2）＞f（1），能否判斷函數(shù)f（x）在R是增函數(shù)？ （2）定義在R上函數(shù)f（x）在區(qū)間（－∞，0］上是增函數(shù)，在區(qū)間（0，＋∞）上也是增函數(shù)，判斷函數(shù)f（s）在R上是否為增函數(shù)． （3）觀察問題情境1中氣溫變化圖像，根據(jù)圖像說出函數(shù)的單調區(qū)間，以及在每一單調區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)． 強調：定義中x1，x2是區(qū)間D上的任意兩個自變量；函數(shù)的單調性是相對于某一區(qū)間而言的．

7、三、解釋應用 ［例　題］ 1. 證明函數(shù)f（x）＝2x＋1，在（－∞，＋∞）是增函數(shù)． 注：要規(guī)范解題格式． 2. 證明函數(shù)f（x）＝，在區(qū)間（－∞，0）和（0，＋∞）上都是減函數(shù)． 思考：能否說，函數(shù)f（x）＝在定義域（－∞，0）∪（0，＋∞）上是減函數(shù)？ 3. 設函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間D上保號（恒正或恒負），且f（x）在區(qū)間D上為增函數(shù)，求證：f（x）＝在區(qū)間D上為減函數(shù)． 證明：設x1，x2∈Ｄ，且x1＜x2， ∵f（x）在區(qū)間D上保號，∴f（x1）f（x2）＞0． 又f（x）在區(qū)間D上為增函數(shù)，∴f（x1）－f（x2）＜0，從而g（x1）－g（x2）＞0，∴g（x

8、）在D上為減函數(shù)． ［練　習］ 1. 證明：（1）函數(shù)f（x）＝在（0，＋∞）上是增函數(shù)． （2）函數(shù)f（x）＝x2－x在（－∞，］上是減函數(shù)． 2. 判斷函數(shù)的單調性，并寫出相應的單調區(qū)間． 3. 如果函數(shù)y＝f（x）是R上的增函數(shù)，判斷g（x）＝kf（x），（k≠0）在R上的單調性． 四、拓展延伸 1. 根據(jù)圖像，簡要說明近150年來人類消耗能源的結構變化情況，并對未來100年能源結構的變化趨勢作出預測． 2. 判斷二次函數(shù)f（x）＝ax2＋bx＋c，（a≠0）的單調性，并用定義加以證明． 3. 如果自變量的改變量Δx＝x2－x1＜0，函數(shù)值的改變量Δy＝f（x2

9、）－f（x1）＞0，那么函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)還是減函數(shù)？ 4. 函數(shù)值的改變量與自變量的改變量的比叫作函數(shù)f（x）在x1，x2之間的平均變化率． （1）根據(jù)函數(shù)的平均變化率判斷y＝f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)還是減函數(shù)． （2）比值的大小與函數(shù)值增長的快慢有什么關系？ 點　評 這篇案例設計完整，思路清晰．案例首先通過實例闡述了函數(shù)單調性產生的背景，歸納、抽象概括出了增函數(shù)、減函數(shù)的定義，充分體現(xiàn)了數(shù)學教學的本質是數(shù)學思維過程的教學，符合新課程標準的精神．例題與練習由淺入深，完整，全面．“拓展延伸”的設計有新意，有深度，為學生數(shù)學思維能力、創(chuàng)造能力的培養(yǎng)提供了平臺． 這篇案例的突出特點，體現(xiàn)在如下幾個方面： 1. 強調對基本概念和基本思想的理解和掌握 由于數(shù)學高度抽象的特點，注重體現(xiàn)基本概念的來龍去脈．在數(shù)學中要引導學生經(jīng)歷從具體實例抽象出數(shù)學概念的過程，在初步運用中逐步理解概念的本質． 2. 注重聯(lián)系，提高對數(shù)學整體的認識 數(shù)學的發(fā)展既有內在的動力，也有外在的動力．在高中數(shù)學的教學中，要注重數(shù)學的不同分支和不同內容之間的聯(lián)系，數(shù)學與日常生活的聯(lián)系，數(shù)學與其他學科的聯(lián)系．例如，通過研討本節(jié)課“拓展延伸”中的第1個問題，可以大大提高了學生學習的積極性和主動性． 3. 注重數(shù)學知識與實際的聯(lián)系，發(fā)展學生的應用意識和能力