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河南省衛(wèi)輝一中2020屆高三數(shù)學(xué)二輪 備考抓分點(diǎn)透析專題3 數(shù)列與不等式 理

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1、2020屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 數(shù)列與不等式 【重點(diǎn)知識(shí)回顧】 1. 數(shù)列在高考中,一般設(shè)計(jì)一個(gè)客觀題和一個(gè)解答題,主要考查數(shù)列和不等式部分的基本知識(shí),對(duì)基本運(yùn)算能力要求較高,解答題常常綜合考查函數(shù)、方程、不等式等知識(shí).難度較大,尤其是數(shù)列、函數(shù)和不等式的綜合考題,又加入了邏輯推理能力的考查,成為了近幾年數(shù)列考題的新熱點(diǎn). 2. 數(shù)列與不等式部分的重點(diǎn)為:等差、等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和;不等式的性質(zhì)、解法和兩個(gè)重要不等式的應(yīng)用;該部分重點(diǎn)考查運(yùn)算能力和邏輯推理能力,考查函數(shù)與方程思想、化歸于轉(zhuǎn)化思想及分類討論思想. 【典型例題】 1.等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合 等

2、差數(shù)列與等比數(shù)列都是高考命題的重點(diǎn)知識(shí),考題經(jīng)常將它們綜合在一起綜合考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、求和公式等基礎(chǔ)知識(shí)和基本性質(zhì)的靈活應(yīng)用,對(duì)基本的運(yùn)算要求比較高. 例1.設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列,且成等比數(shù)列,則的前項(xiàng)和=( ) A. B. C. D. 答案:A 解析:設(shè)數(shù)列的公差為,則根據(jù)題意得,解得或(舍去),所以數(shù)列的前項(xiàng)和. 例2.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且4,2,成等差數(shù)列.若=1,則=( ) (A)7 (B)8 (3)15 (4)16 解析:4,2,成等差數(shù)列,,即,

3、 ,,因此選C. 點(diǎn)評(píng):該類題目綜合考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的求和公式等,基礎(chǔ)性較強(qiáng),綜合程度較小,要求具有較熟練的運(yùn)算能力. 2.函數(shù)與不等式綜合 不等式與函數(shù)有著密切的聯(lián)系,其中線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)的最值是近幾年高考的熱點(diǎn)問題之一,經(jīng)常以選擇題或填空題出現(xiàn).有不少關(guān)于最值方面的問題,通常用二次函數(shù)的配方法求最值或用均值不等式求最值,考題經(jīng)常以與不等式有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問題出現(xiàn).在應(yīng)用不等式解決實(shí)際問題時(shí),要注意以下四點(diǎn): ①理解題意,設(shè)變量.設(shè)變量時(shí)一般把要求最值的變量定為自變量; ②建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式,把實(shí)際問題抽象為函數(shù)的最值問題; ③在定義域內(nèi),求

4、出函數(shù)的最值; ④正確寫出答案. x 2 2 y O -2 z=ax+by 3x-y-6=0 x-y+2=0 例3.設(shè)x,y滿足約束條件 ,若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)的值是最大值為12,則的最小值為( ) A. B. C. D. 4 答案:A 解析:不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部

5、分,當(dāng)直線ax+by= z(a>0,b>0)過直線x-y+2=0與直線3x-y-6=0的交點(diǎn)(4,6)時(shí),目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)取得最大12,即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而=,故選A. 點(diǎn)評(píng):本題綜合地考查了線性規(guī)劃問題和由基本不等式求函數(shù)的最值問題.要求能準(zhǔn)確地畫出不等式表示的平面區(qū)域,并且能夠求得目標(biāo)函數(shù)的最值,對(duì)于形如已知2a+3b=6,求的 最小值常用乘積進(jìn)而用基本不等式解答. 例4.本公司計(jì)劃2020年在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)做總時(shí)間不超過300分鐘的廣告,廣告總費(fèi)用不超過9萬元,甲、乙電視臺(tái)的廣告收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別為元/分鐘和200元/分鐘,規(guī)定甲、乙兩個(gè)電

6、視臺(tái)為該公司所做的每分鐘廣告,能給公司事來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元.問該公司如何分配在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)的廣告時(shí)間,才能使公司的收益最大,最大收益是 萬元. 答案:70 0 100 200 300 100 200 300 400 500 y x l M 解析:設(shè)公司在甲電視臺(tái)和乙電視臺(tái)做廣告的時(shí)間分別為分鐘和分鐘,總收益為元,由題意得 目標(biāo)函數(shù)為. 二元一次不等式組等價(jià)于 作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域,即可行域. 如圖:作直線,即. 平移直線,從圖中可知,當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí),目標(biāo)函數(shù)取得最大值. 聯(lián)立解得.點(diǎn)的坐標(biāo)為. (

7、元). 點(diǎn)評(píng):本題是線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用問題,需要通過審題理解題意,找出各量之間的關(guān)系,找出線性約束條件,寫出所研究的目標(biāo)函數(shù),通過數(shù)形結(jié)合解答問題.用線性規(guī)劃的方法解決實(shí)際問題能提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力,隨著課改的深入,這類試題應(yīng)該是高考的熱點(diǎn)題型之一. 例5.設(shè)為實(shí)數(shù),函數(shù). (1)若,求的取值范圍; (2)求的最小值; (3)設(shè)函數(shù),直接寫出(不需給出演算步驟)不等式的解集. 解析:(1)若,則; (2)當(dāng)時(shí),, 當(dāng)時(shí),, 綜上; (3)時(shí),得, 當(dāng)時(shí),; 當(dāng)時(shí),△>0,得:; 討論得:當(dāng)時(shí),解集為; 當(dāng)時(shí),解集為; 當(dāng)時(shí),解集為. 點(diǎn)評(píng):

8、本小題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象及解一元二次不等式等基礎(chǔ)知識(shí),考查靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法進(jìn)行探索、分析與解決問題的綜合能力. 3.函數(shù)與數(shù)列的綜合 高考試題中經(jīng)常將函數(shù)與數(shù)列綜合在一起,設(shè)計(jì)綜合性較強(qiáng)的解答題,考查數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)及求和公式等主干知識(shí)和分析問題、解決問題的邏輯推理能力. 例6.知函數(shù). (Ⅰ)設(shè)是正數(shù)組成的數(shù)列,前n項(xiàng)和為,其中.若點(diǎn)(n∈N*)在函數(shù)的圖象上,求證:點(diǎn)也在的圖象上; (Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的極值. 解析:(Ⅰ)證明: 因?yàn)樗裕? 由點(diǎn)在函數(shù)的圖象上, , 又, 所以,是的等差數(shù)列, 所以,又因?yàn)?所以, 故

9、點(diǎn)也在函數(shù)的圖象上. (Ⅱ)解:,令得. 當(dāng)x變化時(shí),﹑的變化情況如下表: x (-∞,-2) -2 (-2,0) f(x) + 0 - f(x) ↗ 極大值 ↘ 注意到,從而 ①當(dāng),此時(shí)無極小值; ②當(dāng)?shù)臉O小值為,此時(shí)無極大值; ③當(dāng)既無極大值又無極小值. 點(diǎn)評(píng):本小題主要考查函數(shù)極值、等差數(shù)列等基本知識(shí),考查分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法,考查分析問題和解決問題的能力. 4.?dāng)?shù)列與不等式、簡(jiǎn)易邏輯等的綜合 數(shù)列是培養(yǎng)推理論證能力的極好載體,將數(shù)列的知識(shí)與推理證明的方法交織在一起進(jìn)行考查,是新課程高考中的一個(gè)亮點(diǎn),常常榮歸納、猜想、

10、數(shù)學(xué)歸納法、分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想和方法于一體,對(duì)能力的要求較高. 例7.設(shè)若是與的等比中項(xiàng),則的最小值為( ) A.8 B.4 C.1 D. 答案:B 解析:因?yàn)?,所以? ,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)“=”成立,故選擇B. 點(diǎn)評(píng):本小題考查指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化,以及均值不等式求最值的運(yùn)用,考查了變通能力. 例8.設(shè)數(shù)列滿足為實(shí)數(shù). (Ⅰ)證明:對(duì)任意成立的充分必要條件是; (Ⅱ)設(shè),證明:; (Ⅲ)設(shè),證明:. 解析: (1) 必要性: ,又 ,即. 充分性 :設(shè),對(duì)用數(shù)學(xué)歸納法證明, 當(dāng)時(shí),.

11、假設(shè), 則,且, ,由數(shù)學(xué)歸納法知對(duì)所有成立. (2) 設(shè) ,當(dāng)時(shí),,結(jié)論成立. 當(dāng) 時(shí),, ,由(1)知,所以 且 , , , . (3) 設(shè) ,當(dāng)時(shí),,結(jié)論成立, 當(dāng)時(shí),由(2)知, , . 點(diǎn)評(píng):該題綜合考查了等比數(shù)列的求和、不等式的性質(zhì)的應(yīng)用、充分必要條件和數(shù)學(xué)歸納法等,具有較高的難度,對(duì)邏輯推理能力的考查要求較高. 5.?dāng)?shù)列與概率的綜合 數(shù)列與概率的綜合考查,雖然不是經(jīng)常但很有新意,這種命題也體現(xiàn)了在知識(shí)交匯處命題的指導(dǎo)思想. 例9.將一骰子連續(xù)拋擲三次,它落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)依次成等差數(shù)列的概率為(  ) ?。粒????????? B

12、.???????? C.??????? D. 解析:一骰子連續(xù)拋擲三次得到的數(shù)列共有個(gè),其中為等差數(shù)列有三類: (1)公差為0的有6個(gè);(2)公差為1或-1的有8個(gè);(3)公差為2或-2的有4個(gè),共有18個(gè),成等差數(shù)列的概率為,選B. 點(diǎn)評(píng):本題是以數(shù)列和概率的背景出現(xiàn),題型新穎而別開生面,有采取分類討論,分類時(shí)要做到不遺漏,不重復(fù). 【模擬演練】 1.公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.若是的等比中項(xiàng), ,則等于 ( ) A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 2. 等差數(shù)列{an}和{b

13、n}的前n項(xiàng)和分別用Sn和Tn表示,若,則的值為( ) A B C D 3.已知函數(shù),則不等式的解集是( ) A. B. C. D. 4. 已知x>0,y>0,x,a,b,y成等差數(shù)列,x,c,d,y成等比數(shù)列,則的最小值是________.高 5.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,點(diǎn)均在函數(shù)的圖象上. 則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 . 6.命題實(shí)數(shù)滿足,其中,命題實(shí)數(shù)滿足或,且是的必要不充分條件,求的取值范圍. 7.已知二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為 a ,且不等式 的解集為(1

14、 , 3). (l)若方程有兩個(gè)相等的根,求的解析式; (2)若的最大值為正數(shù),求 a 的取值范圍. 8.圍建一個(gè)面積為360m2的矩形場(chǎng)地,要求矩形場(chǎng)地的一面利用舊墻(利用舊墻需維修),其它三面圍墻要新建,在舊墻的對(duì)面的新墻上要留一個(gè)寬度為2m的進(jìn)出口,如圖所示,已知舊墻的維修費(fèi)用為45元/m,新墻的造價(jià)為180元/m,設(shè)利用的舊墻的長度為x(單位:元). (Ⅰ)將y表示為x的函數(shù): (Ⅱ)試確定x,使修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用最小,并求出最小總費(fèi)用. 【參考答案】 1.答案:C 解析:由得得,再由得:則,所以,故選C. 2.答案:A

15、解析: ∵;. ∴. 3. 答案:C 解析:依題意得或 所以或 解得:,故選C. 4.答案:4 解析:∵=≥=4. 5.答案: 解析:由題意得,即. 當(dāng)n≥2時(shí), ; 當(dāng)n=1時(shí),×-2×1-1-6×1-5. 所以. 6.解析:設(shè), = 因?yàn)槭堑谋匾怀浞謼l件,所以,且推不出 而, 所以,則或 即或. 7.解析:(1)因?yàn)榈慕饧癁椋?,3),所以且. 因而 (1) 由方程得: (2) 因?yàn)榉匠蹋?)有兩個(gè)相等的根.所以,即. 解得:(舍去)或, 將代入(1)得的解析式為:, (2), 有a < 0,可得的最大值為, 所以 > 0,且a < 0. 解得:, 故當(dāng)?shù)淖畲笾禐檎龜?shù)時(shí),實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 8.解析:(1)如圖,設(shè)矩形的另一邊長為a m,則-45x-180(x-2)+180·2a=225x+360a-360, 由已知xa=360,得a=,所以y=225x+. (II) .當(dāng)且僅當(dāng)225x=時(shí),等號(hào)成立. 即當(dāng)x=24m時(shí),修建圍墻的總費(fèi)用最小,最小總費(fèi)用是10440元.

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