8、特別提醒：對(duì)于圖象的平移和伸縮變換都要注意對(duì)應(yīng)解析式是在x或在y的基礎(chǔ)上改變了多少，尤其當(dāng)x與y前的系數(shù)不為1時(shí)一定要將系數(shù)提出來再判斷．
變式訓(xùn)練3 要得到y(tǒng)＝cos的圖象，只需將y＝sin 2x的圖象( )．
A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
熱點(diǎn)四 三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用
(2020·上海浦東新區(qū)模擬，19)已知函數(shù)f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)將函數(shù)y＝f(x)的圖象向右平移個(gè)單位后，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求方程g(
9、x)＝1的解．
規(guī)律方法求解三角函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、周期、最值、單調(diào)區(qū)間等問題時(shí)，通常要運(yùn)用各種三角函數(shù)公式，通過恒等變換(降冪、輔助角公式應(yīng)用)將其解析式化為y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常數(shù)，且A＞0，ω≠0)的形式，再研究其各種性質(zhì)．
有關(guān)常用結(jié)論與技巧：
(1)我們往往運(yùn)用整體換元法來求解單調(diào)性與對(duì)稱性，求y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常數(shù)，且A≠0，ω≠0)的單調(diào)區(qū)間時(shí)一定要注意ω的取值情況，若ω＜0，則最好用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為－ω＞0后再去求解，否則極易出錯(cuò)．
(2)①函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，xR是奇函
10、數(shù)?φ＝kπ(kZ)，是偶函數(shù)?φ＝kπ＋(kZ)；
②函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)，xR是奇函數(shù)?φ＝kπ＋(kZ)，是偶函數(shù)?φ＝kπ(kZ)；
③函數(shù)y＝Atan(ωx＋φ)，xR是奇函數(shù)?φ＝kπ(kZ)．
(3)對(duì)y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常數(shù)，且A＞0，ω≠0)結(jié)合函數(shù)圖象可觀察出如下幾點(diǎn)：
①函數(shù)圖象的對(duì)稱軸都經(jīng)過函數(shù)的最值點(diǎn)，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)都是函數(shù)的零點(diǎn)；
②相鄰兩對(duì)稱軸(對(duì)稱中心)間的距離都是半個(gè)周期；
③圖象上相鄰兩個(gè)最大(小)值點(diǎn)之間的距離恰好等于一個(gè)周期．
變式訓(xùn)練4(2020·重慶高三模擬，17)已知函數(shù)f(x)＝
11、4sin ωxsin2＋cos 2ωx，其中ω>0.
(1)當(dāng)ω＝1時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小正周期；
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)，求ω的取值范圍．
思想滲透
整體代換思想——三角函數(shù)性質(zhì)問題
(1)求函數(shù)的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心；
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
求解時(shí)主要方法為：
(1)關(guān)于函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的對(duì)稱性，一般可利用正弦、余弦曲線的對(duì)稱性，把ωx＋φ看成x，整體代換求得．
(2)求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常數(shù)，且A>0，ω≠0)的單調(diào)區(qū)間的步驟如下：
①若ω>0，把ωx＋φ看成一個(gè)整體，由－＋2kπ≤ωx＋φ
12、≤＋2kπ(kZ)解得x的集合，所得區(qū)間即為增區(qū)間；由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(kZ)解得x的集合，所得區(qū)間即為減區(qū)間．
②若ω＜0，可先用誘導(dǎo)公式變?yōu)閥＝－Asin(－ωx－φ)，則y＝Asin(－ωx－φ)的增區(qū)間即為原函數(shù)的減區(qū)間，減區(qū)間為原函數(shù)的增區(qū)間．
已知函數(shù)f(x)＝cos2，g(x)＝1＋sin 2x.
(1)設(shè)x＝x0是函數(shù)y＝f(x)圖象的一條對(duì)稱軸，求g(x0)的值；
(2)求函數(shù)h(x)＝f(x)＋g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間．
解：(1)由題設(shè)知f(x)＝.
因?yàn)閤＝x0是函數(shù)y＝f(x)的圖象的一條對(duì)稱軸，
所以2x0＋＝kπ(kZ)，即2x0＝kπ－(
13、kZ)．
所以g(x0)＝1＋sin 2x0＝1＋sin.
當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，g(x0)＝1＋sin＝1－＝；
當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，g(x0)＝1＋sin＝1＋＝.
(2)h(x)＝f(x)＋g(x)＝＋1＋sin 2x
＝＋
＝＋
＝sin＋.
當(dāng)2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(kZ)，即kπ－≤x≤kπ＋(kZ)時(shí)，
函數(shù)h(x)＝sin＋是增函數(shù)．
故函數(shù)h(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(kZ)．
1．(2020·山東青島一模，8)將函數(shù)y＝cos的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再向左平移個(gè)單位，所得函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸是( )．
A．x＝ B．x＝
14、 C．x＝π D．x＝
2．(2020·湖北孝感二模，8)若函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)
在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，M，N分別是這段圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，且＝0，則A·ω＝( )．
A.π B.π C. D.π
3．(2020·天津?qū)氎尜|(zhì)檢，4)設(shè)函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)的最小正周期為π，且f(x)－f(－x)＝0，則( )．
A．f(x)在上是增函數(shù) B．f(x)在上是減函數(shù)
C．f(x)在上是增函數(shù) D．f(x)在上是減函數(shù)
4．(2020·湖北武漢4月調(diào)研，7)已知函數(shù)f(x)＝Asi
15、n(2x＋φ)的部分圖象如圖所示，則f(0)＝( )．
A．－ B．－1 C．－ D．－
5．已知角α的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸正半軸重合，點(diǎn)P(－4m,3m)(m<0)是角α終邊上一點(diǎn)，則2sin α＋cos α＝________.
6．已知函數(shù)f(x)＝(sin x＋cos x)－|sin x－cos x|，則f(x)的值域是__________．
7．已知函數(shù)y＝a－bcos 3x(b>0)的最大值為，最小值為－，求函數(shù)y＝－4asin 3bx的最大值和最小值．
8．已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的圖象的一部分如圖所示．
(1)求函數(shù)f(
16、x)的解析式；
(2)當(dāng)x時(shí)，求函數(shù)y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值與最小值及相應(yīng)的x的值．
參考答案
命題調(diào)研·明晰考向
真題試做
1．B 解析：f(x)＝sin x－cos
＝sin x－
＝sin x－cos x
＝
＝sin [－，]．
故選B.
2. 解析：y＝sin x－cos x
＝2＝2sin.
當(dāng)y取最大值時(shí)，x－＝2kπ＋，
∴x＝2kπ＋.
又∵0≤x<2π，∴x＝.
3．解：(1)f(x)＝m·n＝Asin xcos x＋cos 2x
＝A
＝Asin.
因?yàn)锳>0，由題意知A＝6.
(2)由(1)f(x)＝6sin.
將函數(shù)
17、y＝f(x)的圖象向左平移個(gè)單位后得到
y＝6sin
＝6sin的圖象；
再將得到圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)＝6sin的圖象．
因此g(x)＝6sin.
因?yàn)閤，所以4x＋.
故g(x)在上的值域?yàn)閇－3,6]．
4．解：(1)f(x)
＝4sin ωx＋cos 2ωx
＝2sin ωxcos ωx＋2sin2ωx＋cos2ωx－sin2ωx
＝sin 2ωx＋1.
因－1≤sin 2ωx≤1，所以函數(shù)y＝f(x)的值域?yàn)閇1－，1＋]．
(2)因y＝sin x在每個(gè)閉區(qū)間(kZ)上為增函數(shù)，故f(x)＝sin 2ωx＋1(ω>0)在每個(gè)閉區(qū)間(
18、kZ)上為增函數(shù)．
依題意知?對(duì)某個(gè)kZ成立，此時(shí)必有k＝0，于是
解得ω≤，故ω的最大值為.
精要例析·聚焦熱點(diǎn)
熱點(diǎn)例析
【例1】 B 解析：(方法1)在角θ終邊上任取一點(diǎn)P(a,2a)(a≠0)，
則r2＝|OP|2＝a2＋(2a)2＝5a2，
∴cos 2θ＝＝，
∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－1＝－.
(方法2)由方法1知tan θ＝＝2，cos 2θ＝＝＝－.
【變式訓(xùn)練1】 － 解析：由三角函數(shù)定義可知cos α＝－，
又α (0，π)，sin α＝＝，
所以tan α＝＝－.
【例2】 解：由圖象可知A＝2，T＝2×[6－(－2)]＝16，即＝
19、16，
∴ω＝.∴y＝2sin.
又∵點(diǎn)(2，－2)在曲線上，代入得
2sin＝－2，
∴sin＝－1.
∴＋φ＝2kπ－.
∴φ＝2kπ－，kZ.
又∵|φ|<π，∴k＝0時(shí)，φ＝－.
∴函數(shù)解析式為y＝2sin.
【變式訓(xùn)練2】 A 解析：由圖象可知A＝1，＝－＝，
∴T＝2π.∴ω＝＝1.
又可看做“五點(diǎn)法”作圖的第二個(gè)點(diǎn)，
∴＋φ＝.
∴φ＝.∴y＝sin.
【例3】 B 解析：由題中圖象可知A＝1，＝－＝，
∴T＝π.∴ω＝＝2.
又可看做“五點(diǎn)法”作圖的第二個(gè)點(diǎn)，
∴＋φ＝.∴φ＝.
∴y＝sin.
由函數(shù)y＝cos x的圖象(縱坐標(biāo)不變)上各
20、點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，可得y＝cos 2x的圖象，再向右平移個(gè)單位可得y＝cos2＝cos＝cos＝sin＝sin的圖象．
【變式訓(xùn)練3】 A
解析：y＝cos＝sin＝sin2，故需將y＝sin 2x的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度．
【例4】 解：(1)f(x)＝sin＋1，
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(kZ)得：f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(kZ)．
(2)由已知，g(x)＝sin＋1，
由g(x)＝1，得sin＝0，
∴x＝＋(kZ)．
【變式訓(xùn)練4】 解：(1)由題可知：f(x)＝4sin ωx·＋cos 2ωx＝2sin ωx＋1.
當(dāng)ω＝1時(shí)，f(x)＝2sin x＋
21、1，則函數(shù)f(x)的最小正周期為2π.
(2)由(1)知：f(x)＝2sin ωx＋1，欲使f(x)在上單調(diào)遞增，結(jié)合y＝2sin ωx＋1的圖象，
則有?，于是ω.
創(chuàng)新模擬·預(yù)測(cè)演練
1．D 解析：函數(shù)y＝cos的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)＝cos的圖象，再向左平移個(gè)單位，得函數(shù)y＝cos＝cos的圖象，令x－＝kπ，即x＝2kπ＋，kZ.
令k＝0，則x＝.
2．A 解析：由圖象可知＝－＝，
∴T＝π.∴ω＝＝2.
又M，N，＝0，
∴×－A2＝0.
∴A＝.∴A·ω＝.
3．B 解析：由f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)
22、＝sin，
又最小正周期為π，
∴ω＝＝2.
f(x)＝sin.
∵f(－x)＝f(x)，
∴φ＋＝kπ＋，kZ，φ＝kπ＋，kZ.
由題意φ＝.
f(x)＝sin＝cos 2x.
當(dāng)0<2x<π，即0
23、
∴2sin α＋cos α＝－.
6. 解析：當(dāng)sin x≥cos x時(shí)，f(x)＝cos x，當(dāng)sin x0)．
當(dāng)cos 3x＝－1時(shí)，ymax＝a＋b＝，①
當(dāng)cos 3x＝1時(shí)，ymin＝a－b＝－，②
由①②得
∴y＝－4×·sin 3x＝－2sin 3x.
∴當(dāng)sin 3x＝－1時(shí)，ymax＝2，當(dāng)sin 3x＝1時(shí)，ymin＝－2.
8．解：(1)由圖象知A＝2，＝2T＝8＝，
∴ω＝，得f(x)＝2sin.
由×1＋φ＝φ＝.
∴f(x)＝2sin.
(2)y＝2sin＋2sin
＝2sin＋2cos
＝2sin＝2cosx.
∵x，
∴x.
∴當(dāng)x＝－，即x＝－時(shí)，y取最大值；當(dāng)x＝－π，即x＝－4時(shí)，y取最小值－2.
湖南省2020年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 專題三 三角函數(shù)及解三角形第1講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 理
