2022年高考數(shù)學一輪復習 單元質(zhì)檢（,2022年高考數(shù)學一輪復習,單元質(zhì)檢（,2022,年高,數(shù)學,一輪,復習,單元,質(zhì)檢
單元質(zhì)檢九 解析幾何
(時間:100分鐘 滿分:150分)
一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分)
1.已知橢圓C:x2a2+y24=1的一個焦點為(2,0),則C的離心率為( )
A.13 B.12 C.22 D.223
答案:C
解析:因為橢圓C的一個焦點為(2,0),所以其焦點在x軸上,c=2,所以a2-4=c2,所以a2=8,a=22,所以橢圓C的離心率e=ca=22.
2.到直線3x-4y+1=0的距離為3,且與此直線平行的直線方程是( )
A.3x-4y+4=0
B.3x-4y+4=0或3x-4y-2=0
C.3x-4y+16=0
D.3x-4y+16=0或3x-4y-14=0
答案:D
解析:設(shè)所求直線方程為3x-4y+m=0,
由|m-1|5=3,解得m=16或m=-14.
即所求直線方程為3x-4y+16=0或3x-4y-14=0.
3.與圓x2+(y-2)2=1相切,且在兩坐標軸上截距相等的直線共有( )
A.2條 B.3條 C.4條 D.6條
答案:C
解析:過原點與圓x2+(y-2)2=1相切的直線有2條;斜率為-1且與圓x2+(y-2)2=1相切的直線也有2條,且此兩條切線不過原點,由此可得與圓x2+(y-2)2=1相切,且在兩坐標軸上截距相等的直線共有4條.
4.若雙曲線的頂點和焦點分別為橢圓x22+y2=1的焦點和頂點,則該雙曲線的方程為( )
A.x2-y2=1 B.x22-y2=1
C.x2-y22=1 D.x23-y22=1
答案:A
解析:橢圓x22+y2=1的焦點位于x軸,且a2=2,b2=1,c2=a2-b2=1,據(jù)此可知,橢圓的焦點坐標為(±1,0),x軸上的頂點坐標為(±2,0),
結(jié)合題意可知,雙曲線的焦點位于x軸,
且c=2,a=1,b=1,
則該雙曲線方程為x2-y2=1.
5.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)與雙曲線x2m2-y2n2=1(m>0,n>0)有相同的焦點(-c,0)和(c,0),若c是a,m的等比中項,n2是2m2與c2的等差中項,則橢圓的離心率是( )
A.33 B.22 C.14 D.12
答案:D
解析:由題意可知2n2=2m2+c2,
又m2+n2=c2,所以m=c2.
因為c是a,m的等比中項,
所以c2=am,代入m=c2,解得e=ca=12.
6.過點A(0,3),被圓(x-1)2+y2=4截得的弦長為23的直線方程是( )
A.y=-43x+3 B.x=0或y=-43x+3
C.x=0或y=43x+3 D.x=0
答案:B
解析:當弦所在的直線斜率不存在時,即弦所在直線方程為x=0;此時被圓(x-1)2+y2=4截得的弦長為23.
當弦所在的直線斜率存在時,設(shè)弦所在直線l的方程為y=kx+3,即kx-y+3=0.
因為弦長為23,圓的半徑為2,
所以弦心距為22-(3)2=1.
由點到直線距離公式得|k+3|k2+(-1)2=1,
解得k=-43.
綜上所述,所求直線方程為x=0或y=-43x+3.
7.已知橢圓x24+y23=1的左、右焦點分別為F1,F2,過F2且垂直于長軸的直線交橢圓于A,B兩點,則△ABF1內(nèi)切圓的半徑為( )
A.43 B.1 C.45 D.34
答案:D
解析:由x24+y23=1得a=2,c=1,根據(jù)橢圓的定義可知△ABF1的周長為4a=8,△ABF1的面積為12|F1F2|×|yA-yB|=12×2×3=3=12×8×r,解得r=34,故選D.
8.設(shè)F1,F2是雙曲線C:x2-y23=1的兩個焦點,O為坐標原點,點P在C上且|OP|=2,則△PF1F2的面積為( )
A.72 B.3
C.52 D.2
答案:B
解析:由題意知a=1,b=3,c=2.不妨設(shè)F1,F2分別為雙曲線C的左、右焦點,則F1(-2,0),F2(2,0).
因為|OP|=2,所以點P在以O(shè)為圓心,F1F2為直徑的圓上,
故PF1⊥PF2,則|PF1|2+|PF2|2=(2c)2=16.
由雙曲線的定義可知||PF1|-|PF2||=2a=2,
所以|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=4,
所以|PF1|·|PF2|=6,所以△PF1F2的面積為12|PF1|·|PF2|=3.
9.設(shè)雙曲線x2a2-y2b2=1的兩條漸近線與直線x=a2c分別交于A,B兩點,F為該雙曲線的右焦點.若60°<∠AFB<90°,則該雙曲線的離心率的取值范圍是( )
A.(1,2) B.(2,2) C.(1,2) D.(2,+∞)
答案:B
解析:雙曲線x2a2-y2b2=1的兩條漸近線方程為y=±bax,
當x=a2c時,y=±abc,
所以不妨令Aa2c,abc,Ba2c,-abc.
因為60°<∠AFB<90°,所以33
0)與雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的兩條漸近線分別交于兩點A,B(A,B異于原點),拋物線的焦點為F.若雙曲線的離心率為2,|AF|=7,則p=( )
A.3 B.6 C.12 D.42
答案:B
解析:因為雙曲線的離心率為2,
所以e2=c2a2=a2+b2a2=4,即b2=3a2,
所以雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的兩條漸近線方程為y=±3x,代入y2=2px(p>0),
得x=23p或x=0,故xA=xB=23p.
又因為|AF|=xA+p2=23p+p2=7,所以p=6.
12.已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點為F,短軸的一個端點為M,直線l:3x-4y=0交橢圓E于A,B兩點.若|AF|+|BF|=4,點M到直線l的距離不小于45,則橢圓E的離心率的取值范圍是( )
A.0,32 B.0,34 C.32,1 D.34,1
答案:A
解析:如圖,取橢圓的左焦點F1,連接AF1,BF1.
由橢圓的對稱性知四邊形AF1BF是平行四邊形,
則|AF|+|BF|=|AF1|+|AF|=2a=4.故a=2.
不妨設(shè)M(0,b),則|3×0-4b|32+(-4)2≥45,即b≥1.
所以e=ca=1-ba2≤1-122=32.
因為00).
又直線被拋物線截得的線段長為4,所以4a=4,即a=1.
所以拋物線的焦點坐標為(1,0).
14.在平面直角坐標系xOy中,雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右支與焦點為F的拋物線x2=2py(p>0)交于A,B兩點,若|AF|+|BF|=4|OF|,則該雙曲線的漸近線方程為 .?
答案:y=±22x
解析:拋物線x2=2py的焦點F0,p2,準線方程為y=-p2.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則|AF|+|BF|=y1+p2+y2+p2=y1+y2+p=4|OF|=4·p2=2p.
所以y1+y2=p.
聯(lián)立雙曲線與拋物線方程得x2a2-y2b2=1,x2=2py,
消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0.
所以y1+y2=2pb2a2=p,所以b2a2=12.
所以該雙曲線的漸近線方程為y=±22x.
15.(2021全國Ⅱ,文16)已知F1,F2為橢圓C:x216+y24=1的兩個焦點,P,Q為C上關(guān)于坐標原點對稱的兩點,且|PQ|=|F1F2|,則四邊形PF1QF2的面積為 .?
答案:8
解析:由題意得a=4,b=2,c=23,
則|PQ|=|F1F2|=43.
∵|OP|=|OQ|=|OF1|=|OF2|=23,
∴四邊形PF1QF2為矩形.
∵|QF1|+|QF2|=2a=8,|QF1|2+|QF2|2=|F1F2|2=48,
∴|QF1|·|QF2|=12[(|QF1|+|QF2|)2-(|QF1|2+|QF2|2)]=8,即四邊形PF1QF2的面積為8.
16.若關(guān)于x,y的方程x24-t+y2t-1=1所表示的曲線C,給出下列四個命題:
①若C為橢圓,則14或t<1;
③曲線C不可能是圓;
④若C表示橢圓,且長軸在x軸上,則10,t-1>0,且4-t≠t-1,
解得14或t<1,所以②正確;
若t=52時,該曲線表示圓,所以③不正確;
若C表示橢圓,且長軸在x軸上,
則4-t>t-1>0,
解得10).設(shè)拋物線W的焦點在直線AB的下方.
(1)求k的取值范圍;
(2)設(shè)C為W上一點,且AB⊥AC,過B,C兩點分別作W的切線,記兩切線的交點為D,判斷四邊形ABDC是否為梯形,并說明理由.
解:(1)拋物線y=x2的焦點為0,14.
由題意,得直線AB的方程為y-1=k(x-1),
令x=0,得y=1-k,
即直線AB與y軸相交于點(0,1-k).
因為拋物線W的焦點在直線AB的下方,
所以1-k>14,解得k<34.
因為k>0,所以0b>0)的兩個焦點,P為C上的點,O為坐標原點.
(1)若△POF2為等邊三角形,求C的離心率;
(2)如果存在點P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面積等于16,求b的值和a的取值范圍.
解:(1)連接PF1.由△POF2為等邊三角形可知在△F1PF2中,
∠F1PF2=90°,|PF2|=c,|PF1|=3c,
于是2a=|PF1|+|PF2|=(3+1)c,
故C的離心率e=ca=3-1.
(2)由題意可知,滿足條件的點P(x,y)存在,
當且僅當12|y|·2c=16,yx+c·yx-c=-1,x2a2+y2b2=1,
即c|y|=16,①
x2+y2=c2,②
x2a2+y2b2=1.③
由②③及a2=b2+c2得y2=b4c2,
又由①知y2=162c2,故b=4.
由②③得x2=a2c2(c2-b2),所以c2≥b2,
從而a2=b2+c2≥2b2=32,故a≥42.
當b=4,a≥42時,存在滿足條件的點P.
所以b=4,a的取值范圍為[42,+∞).
21.(12分)已知拋物線E的頂點為平面直角坐標系xOy的坐標原點O,焦點為圓F:x2+y2-4x+3=0的圓心F.經(jīng)過點F的直線l交拋物線E于A,D兩點,交圓F于B,C兩點,A,B在第一象限,C,D在第四象限.
(1)求拋物線E的方程;
(2)是否存在直線l使2|BC|是|AB|與|CD|的等差中項?若存在,求直線l的方程;若不存在,請說明理由.
解:(1)∵圓F的方程為(x-2)2+y2=1,
∴圓心F的坐標為(2,0),半徑r=1.
根據(jù)題意設(shè)拋物線E的方程為y2=2px(p>0),
∴p2=2,解得p=4.∴拋物線E的方程為y2=8x.
(2)∵2|BC|是|AB|與|CD|的等差中項,|BC|=2r,
∴|AB|+|CD|=4|BC|=4×2r=8.
∴|AD|=|AB|+|BC|+|CD|=10.
討論:
若l垂直于x軸,則l的方程為x=2,代入y2=8x,
解得y=±4.此時|AD|=8,不滿足題意;
若l不垂直于x軸,則設(shè)l的斜率為k(k≠0),此時l的方程為y=k(x-2),
由y=k(x-2),y2=8x,得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0.
設(shè)A(x1,y1),D(x2,y2),則x1+x2=4k2+8k2.
∵拋物線E的準線方程為x=-2,
∴|AD|=|AF|+|DF|=(x1+2)+(x2+2)=x1+x2+4,
∴4k2+8k2+4=10,解得k=±2.
當k=±2時,k2x2-(4k2+8)x+4k2=0化為x2-6x+4=0.
∵(-6)2-4×1×4>0,
∴x2-6x+4=0有兩個不相等實數(shù)根.∴k=±2滿足題意.
∴存在滿足要求的直線l:2x-y-4=0或2x+y-4=0.
22.(12分)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點為F(-c,0),右頂點為A,點E的坐標為(0,c),△EFA的面積為b22.
(1)求橢圓的離心率;
(2)設(shè)點Q在線段AE上,|FQ|=32c,延長線段FQ與橢圓交于點P,點M,N在x軸上,PM∥QN,且直線PM與直線QN間的距離為c,四邊形PQNM的面積為3c.
①求直線FP的斜率;
②求橢圓的方程.
解:(1)設(shè)橢圓的離心率為e.
由已知,可得12(c+a)c=b22.
又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0.
又因為00),
則直線FP的斜率為1m.
由(1)知a=2c,可得直線AE的方程為x2c+yc=1,
即x+2y-2c=0,
與直線FP的方程聯(lián)立,可解得x=(2m-2)cm+2,y=3cm+2,
即點Q的坐標為(2m-2)cm+2,3cm+2.
由已知|FQ|=32c,有(2m-2)cm+2+c2+3cm+22=3c22,
整理得3m2-4m=0,所以m=43,即直線FP的斜率為34.
②由a=2c,可得b=3c,故橢圓方程可以表示為x24c2+y23c2=1.
由①得直線FP的方程為3x-4y+3c=0,
與橢圓方程聯(lián)立3x-4y+3c=0,x24c2+y23c2=1,消去y,
整理得7x2+6cx-13c2=0,解得x=-13c7(舍去)或x=c.
因此可得點Pc,3c2,進而可得|FP|=(c+c)2+3c22=5c2,所以|PQ|=|FP|-|FQ|=5c2-3c2=c.
由已知,線段PQ的長即為PM與QN這兩條平行直線間的距離,故直線PM和QN都垂直于直線FP.
因為QN⊥FP,所以|QN|=|FQ|·tan∠QFN=3c2×34=9c8,所以△FQN的面積為12|FQ||QN|=27c232,
同理△FPM的面積等于75c232,
由四邊形PQNM的面積為3c,得75c232-27c232=3c,
整理得c2=2c,又由c>0,得c=2.
所以,橢圓的方程為x216+y212=1.
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