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1、選修2-2 2.1.2 演繹推理 一、選擇題 1．“∵四邊形ABCD是矩形，∴四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)相等”，補(bǔ)充以上推理的大前提是(　　) A．正方形都是對(duì)角線(xiàn)相等的四邊形 B．矩形都是對(duì)角線(xiàn)相等的四邊形 C．等腰梯形都是對(duì)角線(xiàn)相等的四邊形 D．矩形都是對(duì)邊平行且相等的四邊形 [答案]　B [解析]　由大前提、小前提、結(jié)論三者的關(guān)系，知大前提是：矩形是對(duì)角線(xiàn)相等的四邊形．故應(yīng)選B. 2．“①一個(gè)錯(cuò)誤的推理或者前提不成立，或者推理形式不正確，②這個(gè)錯(cuò)誤的推理不是前提不成立，③所以這個(gè)錯(cuò)誤的推理是推理形式不正確．”上述三段論是(　　) A．大前提錯(cuò)　　　　　　　 B

2、．小前提錯(cuò) C．結(jié)論錯(cuò) D．正確的 [答案]　D [解析]　前提正確，推理形式及結(jié)論都正確．故應(yīng)選D. 3．《論語(yǔ)·學(xué)路》篇中說(shuō)：“名不正，則言不順；言不順，則事不成；事不成，則禮樂(lè)不興；禮樂(lè)不興，則刑罰不中；刑罰不中，則民無(wú)所措手足；所以，名不正，則民無(wú)所措手足．”上述推理用的是(　　) A．類(lèi)比推理 B．歸納推理 C．演繹推理 D．一次三段論 [答案]　C [解析]　這是一個(gè)復(fù)合三段論，從“名不正”推出“民無(wú)所措手足”，連續(xù)運(yùn)用五次三段論，屬演繹推理形式． 4．“因?qū)?shù)函數(shù)y＝logax(x>0)是增函數(shù)(大前提)，而y＝logx是對(duì)數(shù)函數(shù)(小前提)，所以y＝log

3、x是增函數(shù)(結(jié)論)”．上面推理的錯(cuò)誤是(　　) A．大前提錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò) B．小前提錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò) C．推理形式錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò) D．大前提和小前提都錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò) [答案]　A [解析]　對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax不是增函數(shù)，只有當(dāng)a>1時(shí)，才是增函數(shù)，所以大前提是錯(cuò)誤的． 5．推理：“①矩形是平行四邊形，②三角形不是平行四邊形，③所以三角形不是矩形”中的小前提是(　　) A．① B．② C．③ D．①② [答案]　B [解析]　由①②③的關(guān)系知，小前提應(yīng)為“三角形不是平行四邊形”．故應(yīng)選B. 6．三段論：“①只有船準(zhǔn)時(shí)起航，才能準(zhǔn)時(shí)到達(dá)目的港，②這艘船是準(zhǔn)時(shí)到達(dá)目的港的，③所

4、以這艘船是準(zhǔn)時(shí)起航的”中的小前提是(　　) A．① B．② C．①② D．③ [答案]　B [解析]　易知應(yīng)為②.故應(yīng)選B. 7．“10是5的倍數(shù)，15是5的倍數(shù)，所以15是10的倍數(shù)”上述推理(　　) A．大前提錯(cuò) B．小前提錯(cuò) C．推論過(guò)程錯(cuò) D．正確 [答案]　C [解析]　大小前提正確，結(jié)論錯(cuò)誤，那么推論過(guò)程錯(cuò)．故應(yīng)選C. 8．凡自然數(shù)是整數(shù)，4是自然數(shù)，所以4是整數(shù)，以上三段論推理(　　) A．正確 B．推理形式正確 C．兩個(gè)自然數(shù)概念不一致 D．兩個(gè)整數(shù)概念不一致 [答案]　A [解析]　三段論的推理是正確的．故應(yīng)選A. 9．在三段論中，M

5、，P，S的包含關(guān)系可表示為(　　) [答案]　A [解析]　如果概念P包含了概念M，則P必包含了M中的任一概念S，這時(shí)三者的包含可表示為；如果概念P排斥了概念M，則必排斥M中的任一概念S，這時(shí)三者的關(guān)系應(yīng)為．故應(yīng)選A. 10．命題“有些有理數(shù)是無(wú)限循環(huán)小數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，所以整數(shù)是無(wú)限循環(huán)小數(shù)”是假命題，推理錯(cuò)誤的原因是(　　) A．使用了歸納推理 B．使用了類(lèi)比推理 C．使用了“三段論”，但大前提使用錯(cuò)誤 D．使用了“三段論”，但小前提使用錯(cuò)誤 [答案]　D [解析]　應(yīng)用了“三段論”推理，小前提與大前提不對(duì)應(yīng)，小前提使用錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤． 二、填空題 11．求函數(shù)

6、y＝的定義域時(shí)，第一步推理中大前提是有意義時(shí)，a≥0，小前提是有意義，結(jié)論是________． [答案]　log2x－2≥0 [解析]　由三段論方法知應(yīng)為log2x－2≥0. 12．以下推理過(guò)程省略的大前提為：________. ∵a2＋b2≥2ab， ∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab. [答案]　若a≥b，則a＋c≥b＋c [解析]　由小前提和結(jié)論可知，是在小前提的兩邊同時(shí)加上了a2＋b2，故大前提為：若a≥b，則a＋c≥b＋c. 13．(2020·重慶理，15)已知函數(shù)f(x)滿(mǎn)足：f(1)＝，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)，則f(202

7、0)＝________. [答案]　 [解析]　令y＝1得4f(x)·f(1)＝f(x＋1)＋f(x－1) 即f(x)＝f(x＋1)＋f(x－1)?、? 令x取x＋1則f(x＋1)＝f(x＋2)＋f(x)?、? 由①②得f(x)＝f(x＋2)＋f(x)＋f(x－1)， 即f(x－1)＝－f(x＋2) ∴f(x)＝－f(x＋3)，∴f(x＋3)＝－f(x＋6) ∴f(x)＝f(x＋6) 即f(x)周期為6， ∴f(2020)＝f(6×335＋0)＝f(0) 對(duì)4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)，令x＝1，y＝0，得 4f(1)f(0)＝2f(1)， ∴f(0)＝

8、即f(2020)＝. 14．四棱錐P－ABCD中，O為CD上的動(dòng)點(diǎn)，四邊形ABCD滿(mǎn)足條件________時(shí)，VP－AOB恒為定值(寫(xiě)出一個(gè)你認(rèn)為正確的一個(gè)條件即可)． [答案]　四邊形ABCD為平行四邊形或矩形或正方形等 [解析]　設(shè)h為P到面ABCD的距離，VP－AOB＝S△AOB·h， 又S△AOB＝|AB|d(d為O到直線(xiàn)AB的距離)． 因?yàn)閔、|AB|均為定值，所以VP－AOB恒為定值時(shí)，只有d也為定值，這是一個(gè)開(kāi)放型問(wèn)題，答案為四邊形ABCD為平行四邊形或矩形或正方形等． 三、解答題 15．用三段論形式證明：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，則∠B＝∠C.

9、 [證明]　如下圖延長(zhǎng)AB，DC交于點(diǎn)M. ①平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例大前提 ②△AMD中AD∥BC小前提 ③＝結(jié)論 ①等量代換大前提 ②AB＝CD小前提 ③MB＝MC結(jié)論 在三角形中等邊對(duì)等角大前提 MB＝MC小前提 ∠1＝∠MBC＝∠MCB＝∠2結(jié)論 等量代換大前提 ∠B＝π－∠1　∠C＝π－∠2小前提 ∠B＝∠C結(jié)論 16．用三段論形式證明：f(x)＝x3＋x(x∈R)為奇函數(shù)． [證明]　若f(－x)＝－f(x)，則f(x)為奇函數(shù) 大前提 ∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－x3－x＝－(x3＋x)＝－f(x)小前提 ∴f(x)＝x3＋x是奇函數(shù)結(jié)論

10、 17．用三段論寫(xiě)出求解下題的主要解答過(guò)程． 若不等式|ax＋2|＜6的解集為(－1,2)，求實(shí)數(shù)a的值． [解析]　推理的第一個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)： 大前提：如果不等式f(x)＜0的解集為(m，n)，且f(m)、f(n)有意義，則m、n是方程f(x)＝0的實(shí)數(shù)根， 小前提：不等式|ax＋2|＜6的解集為(－1,2)，且x＝－1與x＝2都使表達(dá)式|ax＋2|－6有意義， 結(jié)論：－1和2是方程|ax＋2|－6＝0的根． ∴|－a＋2|－6＝0與|2a＋2|－6＝0同時(shí)成立． 推理的第二個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)： 大前提：如果|x|＝a，a＞0，那么x＝±a， 小前提：|－a＋2|＝6且|2a＋2|＝

11、6， 結(jié)論：－a＋2＝±6且2a＋2＝±6. 以下可得出結(jié)論a＝－4. 18．設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點(diǎn)在拋物線(xiàn)y＝2x2上，l是AB的垂直平分線(xiàn)． (1)當(dāng)且僅當(dāng)x1＋x2取何值時(shí)，直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F？證明你的結(jié)論； (2)當(dāng)直線(xiàn)l的斜率為2時(shí)，求l在y軸上截距的取值范圍． [解析]　(1)F∈l?|FA|＝|FB|?A、B兩點(diǎn)到拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的距離相等． ∵拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)是x軸的平行線(xiàn)，y1≥0，y2≥0，依題意，y1，y2不同時(shí)為0. ∴上述條件等價(jià)于 y1＝y(tǒng)2?x＝x?(x1＋x2)(x1－x2)＝0. ∵x1≠x2，∴上述條件等價(jià)于x1＋x2＝0，即當(dāng)且僅當(dāng)x1＋x2＝0時(shí)，l經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F. (2)設(shè)l在y軸上的截距為b，依題意得l的方程為y＝2x＋b；過(guò)點(diǎn)A、B的直線(xiàn)方程為y＝－x＋m，所以x1，x2滿(mǎn)足方程2x2＋x－m＝0，得x1＋x2＝－. A、B為拋物線(xiàn)上不同的兩點(diǎn)等價(jià)于上述方程的判別式Δ＝＋8m>0，即m>－.設(shè)AB的中點(diǎn)N的坐標(biāo)為(x0，y0)，則 x0＝(x1＋x2)＝－， y0＝－x0＋m＝＋m. 由N∈l，得＋m＝－＋b，于是 b＝＋m>－＝. 即得l在y軸上截距的取值范圍是.