安徽省2020年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 專題一 常以客觀題形式考查的幾個(gè)問題第3講 不等式、線性規(guī)劃 文
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1、專題一 常以客觀題形式考查的幾個(gè)問題第3講 不等式、線性規(guī)劃 真題試做 1.(2020·天津高考,文4)已知a=21.2,b=-0.8,c=2log52,則a,b,c的大小關(guān)系為( ). A.c<b<a B.c<a<b C.b<a<c D.b<c<a 2.(2020·湖南高考,文7)設(shè)a>b>1,c<0,給出下列三個(gè)結(jié)論: ①>;②ac<bc;③logb(a-c)>loga(b-c). 其中所有的正確結(jié)論的序號(hào)是( ). A.① B.①② C.②③ D.①②③ 3.(2020·浙江高考,文9)若正數(shù)x,y滿足x+3y=5x
2、y,則3x+4y的最小值是( ). A. B. C.5 D.6 4.(2020·安徽高考,文8)若x,y滿足約束條件x≥0,,x+2y≥3,,2x+y≤3,則z=x-y的最小值是( ). A.-3 B.0 C. D.3 5.(2020·湖南高考,文12)不等式x2-5x+6≤0的解集為________. 考向分析 通過高考試卷可分析出:在不等式中,主要熱點(diǎn)是線性規(guī)劃知識(shí)、均值不等式及解不等式等,單純對不等式性質(zhì)的考查并不多.解不等式主要涉及一元二次不等式、簡單的分式不等式、對數(shù)和指數(shù)不等式等,并且以一元二次不等式為主,重在考查等價(jià)轉(zhuǎn)
3、化能力和基本的解不等式的方法.均值不等式的考查重在對代數(shù)式的轉(zhuǎn)化過程及適用條件,等號(hào)成立條件的檢驗(yàn),常用來求最值或求恒成立問題中參數(shù)的取值范圍.線性規(guī)劃問題是高考的一個(gè)必考內(nèi)容,主要還是強(qiáng)調(diào)用數(shù)形結(jié)合的方法來尋求最優(yōu)解的過程,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際綜合應(yīng)用.不等式知識(shí)的考查以選擇題、填空題為主,也蘊(yùn)含在解答題中,題目難度為中低檔,但考查很廣泛,需引起重視. 熱點(diǎn)例析 熱點(diǎn)一 不等式的性質(zhì)及應(yīng)用 (1)設(shè)0<a<b,則下列不等式中正確的是( ). A.a(chǎn)<b<< B.a(chǎn)<<<b C.a(chǎn)<<b< D.<a<<b (2)某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品,每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元.若
4、每批生產(chǎn)x件,則平均倉儲(chǔ)時(shí)間為天,且每件產(chǎn)品每天的倉儲(chǔ)費(fèi)用為1元.為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉儲(chǔ)費(fèi)用之和最小,每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品( ). A.60件 B.80件 C.100件 D.120件 規(guī)律方法 (1)弄清每一個(gè)不等式性質(zhì)的條件和結(jié)論,注意條件的變化對結(jié)論的影響. (2)判斷不等式是否成立時(shí),常利用不等式的性質(zhì)、基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性等知識(shí)以及特殊值法. (3)應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)一定要注意基本不等式成立的條件,必要時(shí)需要對相關(guān)的式子進(jìn)行變形、構(gòu)造常數(shù)等以符合基本不等式應(yīng)用的條件,此外還要特別注意等號(hào)成立的條件,以確保能否真正取得相應(yīng)的最值. 變式訓(xùn)練
5、1 已知log2 a+log2 b≥1,則3a+9b的最小值為__________. 熱點(diǎn)二 不等式的解法 【例2】已知不等式ax2-3x+6>4的解集為{x|x<1或x>b}. (1)求a,b; (2)解不等式>0(c為常數(shù)). 規(guī)律方法 (1)解一元二次不等式的基本思路:先化為一般形式ax2+bx+c>0(a>0),再求相應(yīng)一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根,最后根據(jù)相應(yīng)二次函數(shù)圖象與x軸的位置關(guān)系,確定一元二次不等式的解集. (2)解簡單的分式、指數(shù)、對數(shù)不等式的基本思想是利用相關(guān)知識(shí)轉(zhuǎn)化為整式不等式(一般為一元二次不等式)求解. (3)解含“f”的不等式,
6、首先要確定f(x)的單調(diào)性,然后根據(jù)單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化、求解. (4)解含參數(shù)不等式的難點(diǎn)在于對參數(shù)的恰當(dāng)分類,關(guān)鍵是找到對參數(shù)進(jìn)行討論的原因.確定好分類標(biāo)準(zhǔn),從而層次清晰地求解. 變式訓(xùn)練2 已知f(x)=則f(x)>-1的解集為( ). A.(-∞,-1)∪(0,+∞) B.(-∞,-1)∪(0,1)∪(1,+∞) C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-1,0)∪(0,1) 熱點(diǎn)三 線性規(guī)劃問題 【例3】(1)(2020·合肥六中沖刺卷,文6)設(shè)x,y滿足約束條件則(2x+y)的最大值是( ). A.-1 B.-log37 C.-4 D.
7、-1-2log32 (2)已知平面直角坐標(biāo)系xOy上的區(qū)域D由不等式組給定.若M(x,y)為D上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(,1),則z=·的最大值為( ). A.4 B.3 C.4 D.3 規(guī)律方法 1.線性規(guī)劃問題的三種題型 一是求最值;二是求區(qū)域面積;三是知最優(yōu)解或可行域確定參數(shù)的值或取值范圍. 2.解答線性規(guī)劃問題的步驟及應(yīng)注意的問題 解決線性規(guī)劃問題首先要作出可行域,再注意目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義,數(shù)形結(jié)合找到目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最值時(shí)可行域的頂點(diǎn)(或邊界上的點(diǎn)),但要注意作圖一定要準(zhǔn)確,整點(diǎn)問題要驗(yàn)證解決. 變式訓(xùn)練3 不等式組表示的是一個(gè)直角三角形圍
8、成的平面區(qū)域,則k=__________. 思想滲透 1.分類討論思想的含義 分類討論思想就是當(dāng)問題所給的對象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí),需要把研究對象按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分類,然后對每一類分別研究得出結(jié)論,最后綜合各類結(jié)果得到整個(gè)問題的解答.實(shí)質(zhì)上,分類討論是“化整為零,各個(gè)擊破,再積零為整”的解題策略. 2.本部分內(nèi)容中分類討論常見題型 (1)由數(shù)學(xué)運(yùn)算要求引起的分類討論; (2)由參數(shù)的變化引起的分類討論. 3.常見誤區(qū) 利用均值不等式求最值容易忘記等號(hào)成立的條件. 【典型例題】設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈.若指數(shù)函數(shù)y=ax的圖象上存在區(qū)域D內(nèi)的點(diǎn),則a的取值范圍是( ). A.(
9、1,3] B.[2,3] C.(1,2] D.[3,+∞) 解析:作出不等式組表示的平面區(qū)域D,如圖中陰影部分所示. 由得交點(diǎn)A(2,9). 對于y=ax的圖象,當(dāng)0<a<1時(shí),沒有點(diǎn)在區(qū)域D內(nèi); 當(dāng)a>1時(shí),y=ax的圖象恰好經(jīng)過A點(diǎn)時(shí),由a2=9,得a=3. 由題意知,需滿足a2≤9,解得1<a≤3. 答案:A 1.(2020·江南十校二模,文10)平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P(x,y)滿足條件:(|x|+|y|-1)·(|x|+|y|-2)≤0,則x-y的最大值為( ). A.4 B.3 C.2 D.1 2.設(shè)x,
10、y滿足約束條件若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)的最大值為12,則+的最小值為( ). A. B. C. D.4 3.某運(yùn)輸公司有12名駕駛員和19名工人,有8輛載重量為10噸的甲型卡車和7輛載重量為6噸的乙型卡車.某天需運(yùn)往A地至少72噸的貨物,派用的每輛車需滿載且只運(yùn)送一次.派用的每輛甲型卡車需配2名工人,運(yùn)送一次可得利潤450元;派用的每輛乙型卡車需配1名工人,運(yùn)送一次可得利潤350元.該公司合理計(jì)劃當(dāng)天派用兩類卡車的車輛數(shù),可得最大利潤為( ). A.4 650元 B.4 700元 C.4 900元 D.5 000元 4.已
11、知集合P={x|x2≤1},M={a}.若P∪M=P,則a的取值范圍是( ). A.(-∞,-1] B.[1,+∞) C.[-1,1] D.(-∞,-1]∪[1,+∞) 5.設(shè)x,y為實(shí)數(shù),若4x2+y2+xy=1,則2x+y的最大值是__________. 6.已知函數(shù)f(x)=ax3-x2+cx+d(a,c,d∈R)滿足f(0)=0,f′(1)=0,且f′(x)≥0在R上恒成立. (1)求a,c,d的值; (2)若h(x)=x2-bx+-,解不等式f′(x)+h(x)<0. 參考答案 命題調(diào)研·明晰考向 真題試做 1.A 解析:a=21.
12、2,b=-0.8=20.8, ∵21.2>20.8>1, ∴a>b>1,c=2log52=log54<1. ∴c<b<a. 2.D 解析:①-=, ∵a>b>1,c<0,∴>0. 即->0.故①正確. ②考察函數(shù)y=xc(c<0),可知為單調(diào)減函數(shù). 又∵a>b>1,∴ac<bc.故②正確. ③∵a>b>1,c<0,∴l(xiāng)ogb(a-c)>0,loga(b-c)>0, ∴=. ∵>1,>1, ∴>1,故③正確. 3.C 解析:∵x+3y=5xy,∴+=1. ∴3x+4y=(3x+4y)×1=(3x+4y) =+++≥+2=5, 當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=1,y=時(shí)等號(hào)成立
13、. 4.A 解析:作出可行域如圖所示, 令z=0,得l0:x-y=0,平移l0,當(dāng)l0過點(diǎn)A(0,3)時(shí)滿足z最小,此時(shí)zmin=0-3=-3. 5.{x|2≤x≤3} 解析:∵x2-5x+6≤0, ∴(x-2)(x-3)≤0.∴2≤x≤3. 精要例析·聚焦熱點(diǎn) 熱點(diǎn)例析 【例1】 (1)B 解析:由a=<<=b,排除A,D; 又∵<=b,排除C,選B. (2)B 解析:由題意得平均每件產(chǎn)品生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為元. 倉儲(chǔ)費(fèi)用為元,得費(fèi)用和為+≥2=20(元). 當(dāng)=時(shí),即x=80時(shí)等號(hào)成立. 【變式訓(xùn)練1】 18 解析:∵3a>0,9b=32b>0, ∴根據(jù)基本不等式得
14、3a+9b≥2=2. ∵log2a+log2 b≥1,∴有a>0,b>0,log2 (ab)≥1,∴ab≥2. 再由基本不等式得a+2b≥2=2≥2=4. 當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=2,即a=2,b=1時(shí)等號(hào)成立. ∴2≥2=18. ∴當(dāng)a=2,b=1時(shí),3a+9b取得最小值18. 【例2】 解:(1)由題知1,b為方程ax2-3x+2=0的兩根,即解得 (2)不等式等價(jià)于(x-c)(x-2)>0,當(dāng)c>2時(shí),解集為{x|x>c或x<2};當(dāng)c<2時(shí),解集為{x|x>2或x<c};當(dāng)c=2時(shí),解集為{x|x≠2,x∈R}. 【變式訓(xùn)練2】 B 解析:當(dāng)x>0時(shí),f(x)=>-1, ∴
15、-2x+1>-x2,即x2-2x+1>0,解得x>0且x≠1. 當(dāng)x<0時(shí),f(x)=>-1, 即-x>1,解得x<-1. 故x∈(-∞,-1)∪(0,1)∪(1,+∞),選B. 【例3】(1)A 解析:如圖,線性目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最大、最小值分別為12,3.因此,(2x+y)的最大值為=-1,故選A. (2)C 解析:z=·=(x,y)·(,1)=x+y. 由畫出可行域,如圖陰影部分所示. 作直線l0:y=-x,平移直線l0至l1的位置時(shí),z取得最大值,此時(shí)l1過點(diǎn)(,2),故zmax=×+2=4. 【變式訓(xùn)練3】 0或- 解析:如圖,在平面直角坐標(biāo)系中畫出對應(yīng)的
16、平面區(qū)域,要使不等式組表示的區(qū)域是一個(gè)直角三角形,應(yīng)使其中的兩條邊界直線垂直,當(dāng)直線y=kx+1與直線x=0垂直,即在圖中l(wèi)1的位置時(shí),圍成的區(qū)域是直角三角形AOB,這時(shí)k=0;當(dāng)直線y=kx+1與直線y=2x垂直時(shí),即在圖中l(wèi)2的位置時(shí),圍成的區(qū)域是直角三角形ACO,此時(shí)k=-,故k的值等于0或-. 創(chuàng)新模擬·預(yù)測演練 1.C 解析:如圖,區(qū)域(|x|+|y|-1)·(|x|+|y|-2)≤0表示兩正方形圍成的方框區(qū)域,設(shè)z=x-y,則zmax=2,故選C. 2.A 解析:不等式表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示, 當(dāng)直線ax+by=z(a>0,b>0)過直線x-y+2=0與直
17、線3x-y-6=0的交點(diǎn)(4,6)時(shí), 目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值12, 即4a+6b=12,2a+3b=6,所以+=·=+≥+2=,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立,故選A. 3.C 解析:由題意設(shè)派用甲型、乙型卡車的數(shù)量分別為x,y, 則利潤z=450x+350y,得約束條件 畫出可行域可知目標(biāo)函數(shù)在直線x+y=12和直線2x+y=19的交點(diǎn)(7,5)處取得最大值. 故最大利潤為450×7+350×5=4 900(元). 4.C 5. 解析:設(shè)2x+y=m,則y=m-2x,代入4x2+y2+xy=1,得6x2-3mx+m2-1=0,由Δ=9m2-24(m
18、2-1)≥0,得m2≤,所以-≤m≤,所以2x+y的最大值為. 6.解:(1)∵f(0)=0,∴d=0. ∵f′(x)=ax2-x+c,f′(1)=0, ∴a+c=. ∵f′(x)≥0在R上恒成立,即ax2-x+c≥0恒成立, ∴ax2-x+-a≥0恒成立. 顯然當(dāng)a=0時(shí),上式不恒成立.∴a≠0. ∴ 即即 解得a=,c=. ∴a,c,d的值分別為,,0. (2)∵a=c=,∴f′(x)=x2-x+. f′(x)+h(x)<0, 即x2-x++x2-bx+-<0, 即x2-x+<0, 即(x-b)<0. 當(dāng)b>時(shí),解集為; 當(dāng)b<時(shí),解集為; 當(dāng)b=時(shí),解集為.
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