《高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)專題11 直線與圓(教師版)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)專題11 直線與圓(教師版)（14頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、專題11 直線與圓 ★★★高考在考什么 【考題回放】 1．已知兩條直線y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直，則a等于（ D ） A．2　　　　B．1　　　　C．0　　　　D． 2．如果實(shí)數(shù)x、y滿足條件 那么2x-y的最大值為（ B ） A． B． C． D． 3．圓x2+y2-4x-4y-10=0上的點(diǎn)到直線x+y-14=0的最大距離與最小距離的差是（C） A．36 　　 B． 18 　　C． 　　 D． 4．若直線y＝kx＋2與圓(x－2)2＋(y－3)

2、2＝1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則k 的取值范圍是 . k?(0，) 5．若半徑為1的圓分別與軸的正半軸和射線相切，則這個(gè)圓的方程為　　　　　． 6. 制定投資計(jì)劃時(shí)，不僅要考慮可能獲得的盈利，而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損.某投資人打算投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目. 根據(jù)預(yù)測(cè)，甲、乙項(xiàng)目可能的最大盈利率分別為100﹪和50﹪，可能的最大虧損率分別為30﹪和10﹪. 投資人計(jì)劃投資金額不超過10萬元，要求確?？赡艿馁Y金虧損不超過1.8萬元. 問投資人對(duì)甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目各投資多少萬元，才能使可能的盈利最大？ 【專家解答】設(shè)投資人分別用x萬元、y萬元投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目. 由題意知 目標(biāo)函數(shù)z=x+0.

3、5y. 上述不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示， 陰影部分（含邊界）即可行域. 作直線， 并作平行于直線的一組直線 與可行域相交，其中有一條直線經(jīng)過可行域上的M點(diǎn)，且與直線的距離最大，這里M點(diǎn)是直線和的交點(diǎn). 解方程組 得x=4，y=6 此時(shí)（萬元）. 當(dāng)x=4，y=6時(shí)z取得最大值. 答：投資人用4萬元投資甲項(xiàng)目、6萬元投資乙項(xiàng)目，才能使可能的盈利最大. ★★★高考要考什么 【考點(diǎn)透視】 1．理解直線的斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線的斜率公式，掌握直線方程的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、一般式，并能根據(jù)條件熟練地求出直線方程。 2．掌握兩條直線平行與垂直的條件，兩條直線

4、所成的角和點(diǎn)到直線的距離公式，能夠根據(jù)直線的方程判斷兩條直線的位置關(guān)系。 3．了解二元一次不等式表示平面區(qū)域。 4．了解線性規(guī)劃的意義，并會(huì)簡(jiǎn)單的應(yīng)用。 5．了解解析幾何的基本思想，了解坐標(biāo)法。 6．掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，了解參數(shù)方程的概念，理解圓的參數(shù)方程。 【熱點(diǎn)透析】 直線與圓在高考中主要考查三類問題： 一、基本概念題和求在不同條件下的直線方程，基本概念重點(diǎn)考查： （1）與直線方程特征值（主要指斜率、截距）有關(guān)的問題； （2）直線的平行和垂直的條件； （3）與距離有關(guān)的問題等。 此類題大都屬于中、低檔題，以選擇題和填空題形式出現(xiàn)

5、； 二、直線與圓的位置關(guān)系綜合性試題，此類題難度較大，一般以解答題形式出現(xiàn)； 三、線性規(guī)劃問題，在高考中極有可能涉及，但難度不會(huì)大 ★★★突破重難點(diǎn) 【范例1】已知P是直線3x+4y+8=0上的動(dòng)點(diǎn)，PA、PB是圓 x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線，A、B是切點(diǎn)，C是圓心，求四邊形PACB面積的最小值. 圖1 解法一：∵點(diǎn)P在直線3x+4y+8=0上. 如圖1. ∴設(shè)P（x， x），C點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）， S四邊形PACB＝2S△PAC＝|AP|·|AC|＝|AP|·|AC|＝|AP| ∵|AP|2＝|PC|2－|AC|2＝|PC|2－1 ∴當(dāng)|PC|最小時(shí)，|

6、AP|最小，四邊形PACB的面積最?。? ∴|PC|2＝（1－x）2＋（1＋2＋x）2＝ ∴|PC|min＝3 ∴四邊形PACB面積的最小值為2． 解法二：由法一知需求|PC|最小值，即求C到直線3x+4y+8=0的距離，∵C（1，1），∴|PC|==3，SPACD=2. 【點(diǎn)晴】求角、距離、面積等幾何量問題的關(guān)鍵在于分析幾何問題的特殊性，尋找快捷簡(jiǎn)便的方法。本題的關(guān)鍵在于S四邊形PACB＝2S△PAC，然而轉(zhuǎn)化為|PC|的最值問題。 【文】已知等腰的底邊AB所在的直線方程為，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（2，2），頂角為1200，求兩腰所在的直線方程及的面積. 解：設(shè)腰所在直線的斜率為k，

7、又，， 故一腰所在直線方程為 另一腰垂直于x軸，方程為 .S= 【范例2】過點(diǎn)M(2,4)作兩條互相垂直的直線，分別交x、y的正半軸于A、B，若四邊形OAMB的面積被直線AB平分，求直線AB方程。 解：設(shè)AB的方程為（a>0,b>0） ∴、。 ∵⊥ ∴ ∵a>0 0

8、比為，點(diǎn)N到直線PM的距離為1．求直線PN的方程 解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），由題設(shè)有， 即． 整理得 x2+y2－6x+1=0． ① 因?yàn)辄c(diǎn)N到PM的距離為1，|MＮ|＝2， 所以∠PMN＝30°，直線PM的斜率為±， 直線PM的方程為y=±（x＋1）．② 將②式代入①式整理得x2－4x＋1＝0．解得x＝2＋，x＝2－． 代入②式得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2＋，1＋）或（2－，－1＋）； （2＋，－1－）或（2－，1－）． 直線PN的方程為y=x－1或y=－x+1． 【范例3】 已知?dú)庀笈_(tái)A處向西300km處，有個(gè)臺(tái)風(fēng)中心，已知臺(tái)風(fēng)以每小時(shí)40km的速度向東北方向移動(dòng)，距臺(tái)

9、風(fēng)中心250km以內(nèi)的地方都處在臺(tái)風(fēng)圈內(nèi)，問：從現(xiàn)在起，大約多長(zhǎng)時(shí)間后，氣象臺(tái)A處進(jìn)入臺(tái)風(fēng)圈？氣象臺(tái)A處在臺(tái)風(fēng)圈內(nèi)的時(shí)間大約多長(zhǎng)？ x B B1 y O(A) 解：如圖建立直角坐標(biāo)系，B為臺(tái)風(fēng)中心，處在臺(tái) 風(fēng)圈內(nèi)的界線為以B為圓心，半徑為250的圈內(nèi)，若t 小時(shí)后，臺(tái)風(fēng)中心到達(dá)B1點(diǎn)， 則B1(-300+40tCOS450,40tsin450)， 則以B1為圓心，250為半徑的圓的方程為 那么臺(tái)風(fēng)圈內(nèi)的點(diǎn)就應(yīng)滿足 。 若氣象臺(tái)A處進(jìn)入臺(tái)風(fēng)圈，那么A點(diǎn)的坐標(biāo)就應(yīng)滿足上述關(guān)系式，把A點(diǎn)的坐標(biāo)(0，0)代入上面不等式， 得，解得， 即為； 所以氣象臺(tái)A處約在2小

10、時(shí)后進(jìn)入臺(tái)風(fēng)圈，處在臺(tái)風(fēng)圈內(nèi)的時(shí)間大約6小時(shí)37分。 【點(diǎn)晴】做應(yīng)用題的關(guān)鍵是尋求有效信息，建立數(shù)量之間的關(guān)系。 【文】設(shè)A（－c，0），B（c，0）（c>0）為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P到A點(diǎn)的距離與到B點(diǎn)的距離的比為定值a（a>0），求P點(diǎn)的軌跡. 解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（x，y），由=a（a>0）得=a， 化簡(jiǎn)得（1－a2）x2+2c（1+a2）x+c2（1－a2）+（1－a2）y2=0. 當(dāng)a≠1時(shí)，得x2+x+c2+y2=0. 整理得(x－c) 2+y2=()2 當(dāng)a=1時(shí)，化簡(jiǎn)得x=0. 所以當(dāng)a≠1時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是以（c，0）為圓心，||為半徑的圓； 當(dāng)a=1時(shí)，P點(diǎn)的軌跡為

11、y軸. 【點(diǎn)睛】本題考查直線、圓、曲線和方程等基本知識(shí)，考查運(yùn)用解析幾何的方法解決問題的能力. 【范例4】已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)P（1，0），且與定直線l：x=－1相切，點(diǎn)C在l上. （Ⅰ）求動(dòng)圓圓心的軌跡M的方程； （Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)P，且斜率為－的直線與曲線M相交于A、B兩點(diǎn). （i）問：△ABC能否為正三角形？若能，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不能，說明理由； （ii）當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，求這種點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍. （Ⅰ）法1 依題意，曲線M是以點(diǎn)P為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線的拋物線， 所以曲線M的方程為y2=4x. 法2 設(shè)M（x，y），依題意有|MP|=|MN|， 所以|x+1|=.

12、化簡(jiǎn)得：y2=4x. （Ⅱ）（i）由題意得，直線AB的方程為y=－（x－1）. 圖7—12 由消y得3x2－10x+3=0， 解得x1=，x2=3. 所以A點(diǎn)坐標(biāo)為（）， B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，－2）， |AB|=x1+x2+2=. 假設(shè)存在點(diǎn)C（－1，y），使△ABC為正三角形，則|BC|=|AB|且|AC|=|AB|， ① ② 即 由①－②得42+（y+2）2=（）2+（y－）2， 解得y=－. 但y=－不符合①， 所以由①，②組成的方程組無解. 因此，直線l上不存在點(diǎn)C，使得△ABC是正三角形. （ii）法1：設(shè)C（－1，y）使△ABC成鈍角三角形，由

13、得y=2，即當(dāng)點(diǎn)C（－1，2）時(shí)，A、B、C三點(diǎn)共線，故y≠2. 又|AC|2=（－1－）2+（y－）2=+y2， |BC|2=（3+1）2+（y+2）2=28+4y+y2，|AB|2=（）2=. 當(dāng)∠CAB為鈍角時(shí)，cosA=<0. 即|BC|2 >|AC|2+|AB|2，即， 即y>時(shí)，∠CAB為鈍角. 當(dāng)|AC|2>|BC|2+|AB|2，即， 即y<－時(shí)，∠CBA為鈍角. 又|AB|2>|AC|2+|BC|2，即， 即. 該不等式無解，所以∠ACB不可能為鈍角. 因此，當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y的取值范圍是 . 法2：以AB為直徑的圓的方程為（x

14、－）2+（y+）2=（）2. 圓心（）到直線l：x=－1的距離為， 所以，以AB為直徑的圓與直線l相切于點(diǎn)G（－1，－）. 當(dāng)直線l上的C點(diǎn)與G重合時(shí)，∠ACB為直角，當(dāng)C與G點(diǎn)不重合，且A、B、C三點(diǎn)不共線時(shí)，∠ACB為銳角，即△ABC中，∠ACB不可能是鈍角. 因此，要使△ABC為鈍角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA為鈍角. 過點(diǎn)A且與AB垂直的直線方程為.令x=－1得y=. 過點(diǎn)B且與AB垂直的直線方程為y+2( x－3).令x=－1得y=－. 又由解得y=2， 所以，當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（－1，2）時(shí)，A、B、C三點(diǎn)共線，不構(gòu)成三角形. 因此，當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，點(diǎn)

15、C的縱坐標(biāo)y的取值范圍是 y<－或y>（y≠2）. 【點(diǎn)晴】該題全面綜合了解析幾何、平面幾何、代數(shù)的相關(guān)知識(shí)，充分體現(xiàn)了“注重學(xué)科知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系”.題目的設(shè)計(jì)新穎脫俗，能較好地考查考生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力.比較深刻地考查了解析法的原理和應(yīng)用，以及分類討論的思想、方程的思想.該題對(duì)思維的目的性、邏輯性、周密性、靈活性都進(jìn)行了不同程度的考查.對(duì)運(yùn)算、化簡(jiǎn)能力要求也較高，有較好的區(qū)分度. 【文】設(shè)圓滿足：①截y軸所得弦長(zhǎng)為2；②被x軸分成兩段圓弧，其弧長(zhǎng)的比為3:1；③圓心到直線l：x-2y=0的距離為。求該圓的方程。 解：設(shè)圓的圓心為P(a，b)，半徑為r，則點(diǎn)P到x軸，

16、y軸距離分別為|b|，|a| 由題設(shè)知圓P截x軸所得劣弧對(duì)的圓心角為900， 知圓P截x軸所得的弦長(zhǎng)為，故r2=2b2 又圓P截y軸所得的弦長(zhǎng)為2，所以有r2=a2+1從而得2b2-a2=1 又點(diǎn)P(a，b)到直線x-2y=0的距離為，所以 即有a-2b=±1，由此有 解方程組得于是r2=2b2知 所求圓的方程是(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2 ★★★自我提升 1．將直線l沿x軸正方向平移兩個(gè)單位，再沿y軸負(fù)方向平移3個(gè)單位，又回到了原來的位置，則l的斜率為（ B ） A． B． C． D．

17、 2．若，，且分別是直線l1：ax+(b-a)y-a=0，l2：ax+4by+b=0的方向向量，則a，b的值分別可以是（A） A．2，1　　　B．1，2　　　　C．-1，2　　　　D．-2，1 o l1 P 價(jià)格 需求/供給量 圖3 l2 需求/供給量 價(jià)格 o l1 l2 P 圖1 o l1 l2 P 價(jià)格 需求/供給量 圖2 3．經(jīng)濟(jì)學(xué)中的“蛛網(wǎng)理論”（如圖），假定某種商品的“需求—價(jià)格”函數(shù)的圖象為直線l1,“供給—價(jià)格”函數(shù)的圖象為直線l2，它們的斜率分別為k1、k2，l1與l2的交點(diǎn)P為“供給—需求”均衡點(diǎn)，在供求

18、兩種力量的相互作用下，該商品的價(jià)格和產(chǎn)銷量，沿平行于坐標(biāo)軸的“蛛網(wǎng)”路徑，箭頭所指方向發(fā)展變化，最終能否達(dá)于均衡點(diǎn)P，與直線l1、 l2的斜率滿足的條件有關(guān)，從下列三個(gè)圖中可知最終能達(dá)于均衡點(diǎn)P的條件為( A ) A．k1+k2>0 B．k1+k2=0 C．k1+k2<0 D．k1+k2可取任意實(shí)數(shù) 4．過點(diǎn)P（1，2）作一直線，使此直線與點(diǎn)M（2，3）和點(diǎn)N（4，－5）的距離相等，則此直線方程為___________________4x+y-6=0或3x+2y-7=0 5．已知直線ax＋by＋c＝0與圓O：x2＋y2＝1相

19、交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|＝，則?。健　　? . 6．關(guān)于曲線C：x2+y4=1的下列說法：(1)關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱；(2)關(guān)于直線x軸對(duì)稱；(3)關(guān)于直線y=x對(duì)稱；(4)是封閉圖形，面積小于p；(5)是封閉圖形，面積大于p；(6)不是封閉圖形，無面積可言.其中正確的序號(hào)是_________________．(1)(2)(4) 7.曲線x2+y2+x-6y+3=0上兩點(diǎn)P、Q滿足：①關(guān)于直線kx-y+4=0對(duì)稱；②OP^OQ.求直線PQ的方程. 解：由圓上兩點(diǎn)P、Q關(guān)于直線kx-y+4=0對(duì)稱知直線kx-y+4=0經(jīng)過圓心 即有 設(shè)直線PQ方程為 . .

20、 化簡(jiǎn)得 8. 已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為3、4、5，點(diǎn)P是它的內(nèi)切圓上一點(diǎn)，求分別以PA、PB、PC為直徑的三個(gè)圓面積之和的最大值和最小值。 y C x P B A 解：△ABC為直角三角形，如圖建立直角坐標(biāo)系， 則A（0，0）、B（4，0）、C（0，3），設(shè)內(nèi)切圓半 徑為r，則r=1/2（|OC|+|OB|-|BC|）=1，故內(nèi)切圓方程為 （x-1）2+（y-1）2=1， 可設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)（1+cosα，1+sinα） 則以PA、PB、PC為直徑的三個(gè)圓面積之和 S=（10-cosα） 當(dāng)cosα=-1時(shí)，Smax=5.5π, 當(dāng)cosα=1時(shí), Smin=4.5π.