《高中數(shù)學(xué) 第三章《生活中的優(yōu)化問題舉例》教案 新人教A版選修1-1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第三章《生活中的優(yōu)化問題舉例》教案 新人教A版選修1-1（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、§1.4生活中的優(yōu)化問題舉例（2課時） 教學(xué)目標(biāo)： 1． 使利潤最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題，體會導(dǎo)數(shù)在解決實際問題中的作用 2． 提高將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力 教學(xué)重點：利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問題． 教學(xué)難點：利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問題． 教學(xué)過程： 一．創(chuàng)設(shè)情景 生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題．通過前面的學(xué)習(xí)，我們知道，導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最大（?。┲档挠辛ぞ撸@一節(jié)，我們利用導(dǎo)數(shù)，解決一些生活中的優(yōu)化問題． 二．新課講授 導(dǎo)數(shù)在實際生活中的應(yīng)用主要是解決有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實際問題，主要有以下幾個方面

2、： 1、與幾何有關(guān)的最值問題； 2、與物理學(xué)有關(guān)的最值問題 3、與利潤及其成本有關(guān)的最值問題； 4、效率最值問題。 解決優(yōu)化問題的方法：首先是需要分析問題中各個變量之間的關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系，并確定函數(shù)的定義域，通過創(chuàng)造在閉區(qū)間內(nèi)求函數(shù)取值的情境，即核心問題是建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系。再通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問題得以解決，在這個過程中，導(dǎo)數(shù)是一個有力的工具． 利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路： 建立數(shù)學(xué)模型 解決數(shù)學(xué)模型 作答 用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題 優(yōu)化問題 用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題 優(yōu)化問題的答案 三．典例分析 例1．海報版面尺寸的設(shè)計

3、 學(xué)校或班級舉行活動，通常需要張貼海報進(jìn)行宣傳?，F(xiàn)讓你設(shè)計一張如圖1.4-1所示的豎向張貼的海報，要求版心面積為128dm2,上、下兩邊各空2dm,左、右兩邊各空1dm。如何設(shè)計海報的尺寸，才能使四周空心面積最小？ 解：設(shè)版心的高為xdm，則版心的寬為dm,此時四周空白面積為 。 求導(dǎo)數(shù)，得 。 令，解得舍去）。 于是寬為。 當(dāng)時，<0；當(dāng)時，>0. 因此，是函數(shù)的極小值，也是最小值點。所以，當(dāng)版心高為16dm，寬為8dm時，能使四周空白面積最小。 答：當(dāng)版心高為16dm，寬為8dm時，海報四周空白面積最小。 例2．飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響 （1）你是

4、否注意過，市場上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些？ （2）是不是飲料瓶越大，飲料公司的利潤越大？ 【背景知識】：某制造商制造并出售球型瓶裝的某種飲料．瓶子的制造成本是 分，其中 是瓶子的半徑，單位是厘米。已知每出售1 mL的飲料，制造商可獲利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半徑為 6cm 問題：（１）瓶子的半徑多大時，能使每瓶飲料的利潤最大？ 　　 （２）瓶子的半徑多大時，每瓶的利潤最?。? 解：由于瓶子的半徑為，所以每瓶飲料的利潤是 令 解得 （舍去） 當(dāng)時，；當(dāng)時，． 當(dāng)半徑時，它表示單調(diào)遞增，即半徑越大，利潤越高； 當(dāng)

5、半徑時， 它表示單調(diào)遞減，即半徑越大，利潤越低． （1）半徑為cm 時，利潤最小，這時，表示此種瓶內(nèi)飲料的利潤還不夠瓶子的成本，此時利潤是負(fù)值． （2）半徑為cm時，利潤最大． 換一個角度：如果我們不用導(dǎo)數(shù)工具，直接從函數(shù)的圖像上觀察，會有什么發(fā)現(xiàn)？ 有圖像知：當(dāng)時，，即瓶子的半徑為3cm時，飲料的利潤與飲料瓶的成本恰好相等；當(dāng)時，利潤才為正值． 當(dāng)時，，為減函數(shù)，其實際意義為：瓶子的半徑小于2cm時，瓶子的半徑越大，利潤越小，半徑為cm 時，利潤最小． 例3．磁盤的最大存儲量問題 計算機(jī)把數(shù)據(jù)存儲在磁盤上。磁盤是帶有磁性介質(zhì)的圓盤，并有操作系統(tǒng)將其格式化成磁道和扇區(qū)。磁道是指不

6、同半徑所構(gòu)成的同心軌道，扇區(qū)是指被同心角分割所成的扇形區(qū)域。磁道上的定長弧段可作為基本存儲單元，根據(jù)其磁化與否可分別記錄數(shù)據(jù)0或1，這個基本單元通常被稱為比特（bit）。 為了保障磁盤的分辨率，磁道之間的寬度必需大于，每比特所占用的磁道長度不得小于。為了數(shù)據(jù)檢索便利，磁盤格式化時要求所有磁道要具有相同的比特數(shù)。 問題：現(xiàn)有一張半徑為的磁盤，它的存儲區(qū)是半徑介于與之間的環(huán)形區(qū)域． （1） 是不是越小，磁盤的存儲量越大？ （2） 為多少時，磁盤具有最大存儲量（最外面的磁道不存儲任何信息）？ 解：由題意知：存儲量=磁道數(shù)×每磁道的比特數(shù)。 設(shè)存儲區(qū)的半徑介于與R之間，由于磁道之間

7、的寬度必需大于，且最外面的磁道不存儲任何信息，故磁道數(shù)最多可達(dá)。由于每條磁道上的比特數(shù)相同，為獲得最大存儲量，最內(nèi)一條磁道必須裝滿，即每條磁道上的比特數(shù)可達(dá)。所以，磁盤總存儲量 × （1）它是一個關(guān)于的二次函數(shù)，從函數(shù)解析式上可以判斷，不是越小，磁盤的存儲量越大． （2）為求的最大值，計算． 令，解得 當(dāng)時，；當(dāng)時，． 因此時，磁盤具有最大存儲量。此時最大存儲量為 例4．圓柱形金屬飲料罐的容積一定時，它的高與底與半徑應(yīng)怎樣選取，才能使所用的材料最省？ 解：設(shè)圓柱的高為h，底半徑為R，則表面積 S=2πRh+2πR2 由V=πR2h，得，則 S(R)= 2πR+

8、2πR2=+2πR2 令 +4πR=0 解得，R=，從而h====2 即h=2R 因為S(R)只有一個極值，所以它是最小值 答：當(dāng)罐的高與底直徑相等時，所用材料最省 變式：當(dāng)圓柱形金屬飲料罐的表面積為定值S時，它的高與底面半徑應(yīng)怎樣選取，才能使所用材料最省？ 提示：S=2+h= V(R)=R= )=0 ． 四．課堂練習(xí) 1．用總長為14.8m的鋼條制作一個長方體容器的框架，如果所制作的容器的底面的一邊比另一邊長0.5m,那么高為多少時容器的容積最大？并求出它的最大容積．（高為1.2 m，最大容積） 5．課本 練習(xí)課本P104 五．回顧總結(jié)

9、 建立數(shù)學(xué)模型 1．利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路： 解決數(shù)學(xué)模型 作答 用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題 優(yōu)化問題 用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題 優(yōu)化問題的答案 2．解決優(yōu)化問題的方法：通過搜集大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，建立與其相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，再通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問題得到解決．在這個過程中，導(dǎo)數(shù)往往是一個有利的工具。 例4．汽油的使用效率何時最高 我們知道，汽油的消耗量（單位：L）與汽車的速度（單位：km/h）之間有一定的關(guān)系，汽油的消耗量是汽車速度的函數(shù)．根據(jù)你的生活經(jīng)驗，思考下面兩個問題： （1）是不是汽車的速度越快，汽車的消耗量越大？ （2）“汽油的使用率最高”的含

10、義是什么？ 分析：研究汽油的使用效率（單位：L/m）就是研究秋游消耗量與汽車行駛路程的比值．如果用表示每千米平均的汽油消耗量，那么，其中，表示汽油消耗量（單位：L），表示汽油行駛的路程（單位：km）．這樣，求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求的最小值的問題． 通過大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，并對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、研究，人們發(fā)現(xiàn)，汽車在行駛過程中，汽油平均消耗率（即每小時的汽油消耗量，單位：L/h）與汽車行駛的平均速度（單位：km/h）之間有如圖所示的函數(shù)關(guān)系． 從圖中不能直接解決汽油使用效率最高的問題．因此，我們首先需要將問題轉(zhuǎn)化為汽油平均消耗率（即每小時的汽油消耗量，單位：L/h）與汽

11、車行駛的平均速度（單位：km/h）之間關(guān)系的問題，然后利用圖像中的數(shù)據(jù)信息，解決汽油使用效率最高的問題． 解：因為 這樣，問題就轉(zhuǎn)化為求的最小值．從圖象上看，表示經(jīng)過原點與曲線上點的直線的斜率．進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，當(dāng)直線與曲線相切時，其斜率最?。诖饲悬c處速度約為90 因此，當(dāng)汽車行駛距離一定時，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此時的車速約為90．從數(shù)值上看，每千米的耗油量就是圖中切線的斜率，即，約為 L． _ x _ x _ 60 _ 60 x x 例5．在邊長為60 cm的正方形鐵片的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起

12、(如圖)，做成一個無蓋的方底箱子，箱底的邊長是多少時，箱底的容積最大？最大容積是多少？ 解法一：設(shè)箱底邊長為xcm，則箱高cm，得箱子容積 ． 令 ＝0，解得 x=0（舍去），x=40， 并求得V(40)=16 000 由題意可知，當(dāng)x過?。ń咏?）或過大（接近60）時，箱子容積很小，因此，16 000是最大值 答：當(dāng)x=40cm時，箱子容積最大，最大容積是16 000cm3 解法二：設(shè)箱高為xcm，則箱底長為(60-2x)cm，則得箱子容積 ．（后面同解法一，略） 由題意可知，當(dāng)x過小或過大時箱子容積很小，所以最大

13、值出現(xiàn)在極值點處． 事實上，可導(dǎo)函數(shù)、在各自的定義域中都只有一個極值點，從圖象角度理解即只有一個波峰，是單峰的，因而這個極值點就是最值點，不必考慮端點的函數(shù)值 例6．在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，生產(chǎn)x單位產(chǎn)品的成本稱為成本函數(shù)同，記為C(x)，出售x單位產(chǎn)品的收益稱為收益函數(shù)，記為R(x)，R(x)－C(x)稱為利潤函數(shù)，記為P(x)。 （1）、如果C(x)＝，那么生產(chǎn)多少單位產(chǎn)品時，邊際最低？(邊際成本：生產(chǎn)規(guī)模增加一個單位時成本的增加量) （2）、如果C(x)=50x＋10000，產(chǎn)品的單價P＝100－0.01x，那么怎樣定價，可使利潤最大？ 變式：已知某商品生產(chǎn)成本C與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為

14、C=100+4q，價格p與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為．求產(chǎn)量q為何值時，利潤L最大？ 分析：利潤L等于收入R減去成本C，而收入R等于產(chǎn)量乘價格．由此可得出利潤L與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式，再用導(dǎo)數(shù)求最大利潤． 解：收入， 利潤 令，即，求得唯一的極值點 答：產(chǎn)量為84時，利潤L最大 例7．一條水渠，斷面為等腰梯形，如圖所示，在確定斷面尺寸時，希望在斷面ABCD的面積為定值S時，使得濕周l=AB+BC+CD最小，這樣可使水流阻力小，滲透少，求此時的高h(yuǎn)和下底邊長b. 解：由梯形面積公式，得S= (AD+BC)h,其中AD=2DE+BC，DE=h,BC=b ∴AD=h+b, ∴S=

15、 ① ∵CD=,AB=CD.∴l(xiāng)=×2+b ② 由①得b=h,代入②,∴l(xiāng)= l′==0,∴h=, 當(dāng)h<時，l′<0,h>時，l′>0. ∴h=時，l取最小值，此時b= 例8．已知矩形的兩個頂點位于x軸上，另兩個頂點位于拋物線y ＝4－x2在x軸上方的曲線上，求這種矩形中面積最大者的邊長． 【解】設(shè)位于拋物線上的矩形的一個頂點為（x，y），且x ＞0，y ＞0， 則另一個在拋物線上的頂點為（－x，y）， 在x軸上的兩個頂點為（－x，0）、（x，0），其中0＜ x ＜2． 設(shè)矩形的面積為S，則S ＝2 x（4－x2），0＜ x ＜2． 由S′（x）＝8－6 x2＝0，得

16、x ＝，易知 x ＝是S在（0，2）上的極值點， 即是最大值點， 所以這種矩形中面積最大者的邊長為和． 【點評】 應(yīng)用題求解，要正確寫出目標(biāo)函數(shù)并明確題意所給的變量制約條件．應(yīng)用題的分析中如確定有最小值，且極小值唯一，即可確定極小值就是最小值． 練習(xí)：1：一書店預(yù)計一年內(nèi)要銷售某種書15萬冊，欲分幾次訂貨，如果每次訂貨要付手續(xù)費30元，每千冊書存放一年要耗庫費40元，并假設(shè)該書均勻投放市場，問此書店分幾次進(jìn)貨、每次進(jìn)多少冊，可使所付的手續(xù)費與庫存費之和最少？ 【解】假設(shè)每次進(jìn)書x千冊，手續(xù)費與庫存費之和為y元， 由于該書均勻投放市場，則平均庫存量為批量之半，即，故有 y

17、＝×30＋×40，y′＝－＋20， 令y′＝0，得x ＝15，且y″＝，f″(15)＞0， 所以當(dāng)x ＝15時，y取得極小值，且極小值唯一， 故 當(dāng)x ＝15時，y取得最小值，此時進(jìn)貨次數(shù)為＝10（次）． 即該書店分10次進(jìn)貨，每次進(jìn)15000冊書，所付手續(xù)費與庫存費之和最少． 2：有甲、乙兩城，甲城位于一直線形河岸，乙城離岸40千米，乙城到岸的垂足與甲城相距50千米，兩城在此河邊合設(shè)一水廠取水，從水廠到甲城和乙城的水管費用分別為每千米500元和700元，問水廠應(yīng)設(shè)在河邊的何處，才能使水管費用最?。? 【解】設(shè)水廠D點與乙城到岸的垂足B點之間的距離為x千米，總費用為y元， 則CD ＝． y ＝500（50－x）＋700 ＝25000－500 x ＋700， y′＝－500＋700 · (x 2＋1600)· 2 x ＝－500＋， 令y′＝0，解得x ＝． 答：水廠距甲距離為50－千米時，總費用最?。? 【點評】 當(dāng)要求的最大（小）值的變量y與幾個變量相關(guān)時，我們總是先設(shè)幾個變量中的一個為x，然后再根據(jù)條件x來表示其他變量，并寫出y的函數(shù)表達(dá)式f（x）．