《高中數(shù)學(xué) 第五章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 5.2 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算 5.2.1 復(fù)數(shù)的加法與減法教材基礎(chǔ)素材 北師大版選修2-2（通用）》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第五章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 5.2 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算 5.2.1 復(fù)數(shù)的加法與減法教材基礎(chǔ)素材 北師大版選修2-2（通用）（4頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、5.2.1 復(fù)數(shù)的加法與減法 隨著虛數(shù)的產(chǎn)生,數(shù)系得到了進(jìn)一步的擴(kuò)充.同時(shí),隨著科學(xué)和技術(shù)的進(jìn)步,逐步建立起來(lái)的復(fù)變數(shù)函數(shù)理論在應(yīng)用于堤壩滲水的問(wèn)題、建立巨大水電站時(shí)所提供的理論依據(jù)中越來(lái)越需要進(jìn)行大量的加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方運(yùn)算.早在1747年,法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家達(dá)蘭貝爾指出,如果按照多項(xiàng)式的四則運(yùn)算規(guī)則對(duì)虛數(shù)進(jìn)行運(yùn)算,那么它的結(jié)果總是a+bi的形式(a、b都是實(shí)數(shù)).他開(kāi)創(chuàng)了復(fù)數(shù)四則運(yùn)算的先河. 高手支招1細(xì)品教材 一、復(fù)數(shù)的加法 1.復(fù)數(shù)的加法法則 設(shè)z1=a+bi,z2=c+di是任意兩個(gè)復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)的加法按照以下法則進(jìn)行: z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+

2、c)+(b+d)i. 兩個(gè)復(fù)數(shù)和仍是一個(gè)復(fù)數(shù),其實(shí)部為a+c,虛部為b+d.因此,兩復(fù)數(shù)相加就是將兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相加作為和的實(shí)部,虛部相加作為和的虛部. 【示例1】 計(jì)算(7+5i)+(2+3i). 思路分析:實(shí)部相加作為和的實(shí)部,虛部相加作為和的虛部. 解:(7+5i)+(2+3i)=(7+2)+(5+3)i=9+8i. 【示例2】 計(jì)算:①(-2+3i)+(5-i);②(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a,b∈R). 思路分析:直接運(yùn)用復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算. 解:①原式=(-2+5)+(3-1)i=3+2i. ②原式=(a-2a)+[b-(-3b)-3]i=-a+

3、(4b-3)i. 2.復(fù)數(shù)加法的交換律、結(jié)合律 對(duì)任何z1,z2,z3∈C,復(fù)數(shù)運(yùn)算律如下: (1)交換律:z1+z2=z2+z1. 證明:設(shè)z1=a1+b1i,z2=a2+b2i. 則:z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i, 而z2+z1=(a2+b2i)+(a1+b1i)=(a2+a1)+(b2+b1)i, 由a1+a2=a2+a1,b1+b2=b2+b1及復(fù)數(shù)相等的定義得: (a1+a2)+(b1+b2)i=(a2+a1)+(b2+b1)i, ∴z1+z2=z2+z1. (2)結(jié)合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3

4、). 證明:設(shè)z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i. (z1+z2)+z3=［(a1+b1i)+(a2+b2i)］+(a3+b3i) =a1+b1i+a2+b2i+a3+b3i=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i z1+(z2+z3)=(a1+b1i)+［(a2+b2i)+(a3+b3i)］ =a1+b1i+a2+b2i+a3+b3i=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i, ∴(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). 狀元筆記 因?yàn)閺?fù)數(shù)可以用向量表示,而向量的加法遵循平行四邊形法則,所以復(fù)數(shù)的加法遵循平行四邊形法則. 3.復(fù)數(shù)加法的

5、幾何意義 復(fù)數(shù)用向量表示以后,如果復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量不在同一直線上,那么這些復(fù)數(shù)的加法就可按 向量加法的平行四邊形法則來(lái)進(jìn)行. 設(shè)及分別與復(fù)數(shù)a+bi,c+di對(duì)應(yīng),且、不在同一直線上,以及為兩條相鄰邊畫(huà)平行四邊形OZ1ZZ2,畫(huà)x軸的垂線PZ1、QZ2及RZ,并且畫(huà)Z1S⊥RS. 于是,點(diǎn)Z的坐標(biāo)是(a+c,b+d)，這說(shuō)明就是復(fù)數(shù)(a+c)+(b+d)i對(duì)應(yīng)的向量. 由此可知,求兩個(gè)復(fù)數(shù)的和,可以先畫(huà)出與這兩個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量、,如果、不在同一直線上,再以這兩個(gè)向量為兩條鄰邊作平行四邊形,那么與這個(gè)平行四邊形的對(duì)角線所表示的向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù),就是所求兩個(gè)復(fù)數(shù)的和. 如果兩個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)

6、的向量在同一直線上,則畫(huà)一條直線,平移,使的起點(diǎn)與的終點(diǎn)Z1重合,就得向量,對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)就表示復(fù)數(shù)z1與復(fù)數(shù)z2的和. 【示例】 已知復(fù)數(shù)z滿足z+|z|=2+8i,求復(fù)數(shù)z. 思路分析:常規(guī)解法為設(shè)出z=a+bi(a,b∈R),代入等式后,可利用復(fù)數(shù)相等的充要條件求出a、b.也可以將復(fù)數(shù)從實(shí)部與虛部角度來(lái)理解,即將方程化為:z=(2-|z|)+8i,則其實(shí)部為2-|z|，虛部為8,然后利用復(fù)數(shù)求模運(yùn)算求得|z|. 解法1: 將z=a+bi(a,b∈R)代入等式,得a+bi+=2+8i, ∴∴z=-15+8i. 解法2: 將方程化為:z=(2-|z|)+8i,∵|z|∈R, ∴2

7、-|z|是z的實(shí)部,于是,|z|=,即|z|2=68-4|z|+|z|2, ∴|z|=17,∴z=(2-|z|)+8i=(2-17)+8i=-15+8i. 二、復(fù)數(shù)的減法 1.復(fù)數(shù)的減法法則 設(shè)z1=a+bi,z2=c+di是任意兩個(gè)復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)的減法按照以下法則進(jìn)行: z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 證明:根據(jù)復(fù)數(shù)的加法法則和復(fù)數(shù)相等的定義,有c+x=a,d+y=b,即x=a-c,y=b-d,∴(x+yi)=(a-c)+(b-d)i,∴(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 兩個(gè)復(fù)數(shù)差仍是一個(gè)復(fù)數(shù),其實(shí)部為a-c,虛部為b-d.

8、因此,兩復(fù)數(shù)相減就是將兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相減作為差的實(shí)部,虛部相減作為差的虛部. 【示例】 計(jì)算(1-3i)-(2+5i). 思路分析:實(shí)部相減作為差的實(shí)部,虛部相減作為差的虛部. 解:(1-3i)-(2+5i)=(1-2)+(-3-5)i=-1-8i. 狀元筆記 復(fù)數(shù)z1-z2所對(duì)應(yīng)的向量，實(shí)質(zhì)上就是從復(fù)數(shù)z2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)指向復(fù)數(shù)z1所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的向量;而兩復(fù)數(shù)z1與z2差的模就是這兩個(gè)復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離.兩復(fù)數(shù)的加法和減法的幾何意義均可用平行四邊形法則來(lái)表達(dá). 2.復(fù)數(shù)減法的幾何意義 復(fù)數(shù)減法的運(yùn)算同樣適應(yīng)向量的平行四邊形法則和三角形法則. 設(shè)與復(fù)數(shù)a+bi對(duì)應(yīng),與復(fù)數(shù)c+d

9、i對(duì)應(yīng),如圖以為一條對(duì)角線,為一邊畫(huà)平行四邊形,那么這個(gè)平行四邊形的另一邊所表示的向量就與復(fù)數(shù)(a-c)+(b-d)i對(duì)應(yīng). 這是因?yàn)榕c平行且相等,所以向量也與這個(gè)差對(duì)應(yīng),實(shí)際上,兩個(gè)復(fù)數(shù)差z-z1(即-)與連結(jié)兩個(gè)終點(diǎn),并指向被減數(shù)的向量對(duì)應(yīng),這是復(fù)數(shù)減法的幾何意義. 【示例】 已知z-|z|=-1+i,求復(fù)數(shù)z. 思路分析:設(shè)z=x+yi(x,y∈R)將原復(fù)數(shù)方程轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)方程問(wèn)題. 解:設(shè)z=x+yi(x,y∈R),由題意,得x+yi-=-1+i,即(x-)+yi=-1+i,根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義得: 解得∴z=i. 高手支招2基礎(chǔ)整理 本節(jié)內(nèi)容主要闡述了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算中的加法運(yùn)算、減法運(yùn)算,復(fù)數(shù)加減法的幾何意義.本節(jié)的知識(shí)結(jié)構(gòu)如下: