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1、高二數學第二章 推理與證明人教實驗版（B）選修2—2 【本講教育信息】 一. 教學內容： 選修2—2 第二章 推理與證明 二. 教學目的： 1、了解合情推理的含義，掌握演繹推理的基本模式，能利用歸納推理、類比推理和演繹推理等進行簡單的推理，體會并認識它們在數學發(fā)現中的作用和重要性． 2、掌握直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程與特點． 3、掌握間接證明的一種基本方法―反證法；了解反證法的思考過程、特點． 4、了解數學歸納法的原理，能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題． 三. 教學重點、難點： 重點：合情推理、演繹推理以及證明方法

2、——直接證明和間接證明； 難點：對數學歸納法的理解 四. 知識分析： 【本章知識結構】 【重點知識回顧】 1、合情推理 前提為真時，結論可能為真的推理，叫做合情推理． 說明：歸納推理和類比推理是數學中常用的合情推理。 （l）歸納推理 根據一類事物的部分對象具有某種性質，推出這類事物的所有對象都具有這種性質的推理，叫做歸納推理（簡稱歸納）．歸納是從特殊到一般的過程． 說明：歸納推理的前提與結論只具有偶然性聯系，其結論不一定正確．結論的正確性還需要理論證明或實踐檢驗． 其一般步驟為： ①通過觀察個別情況發(fā)現某些相同性質； ②從已知的相同性質中推出一個明確表述的

3、一般性命題（猜想）。 （2）類比推理 根據兩類不同事物之間具有某些類似（或一致）性，推測其中一類事物具有與另一類事物類似（或相同）的性質的推理，叫做類比推理（簡稱類比）。 說明：在一般情況下，如果類比的相似性越多，相似的性質與推測的性質之間越相關，那么類比得出的命題就越可靠． 類比推理的一般步驟為： ①找出兩類事物之間的相似性或一致性； ②用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想）。 2、演繹推理 根據一般性的真命題（或邏輯規(guī)則）導出特殊性命題為真的推理，叫做演繹推理． 演繹推理的特征是：當前提為真時，結論必然為真．例如，由真命題a,b，遵循演繹推理規(guī)

4、則得出命題q，則q必然為真． 3、合情推理與演繹推理的區(qū)別 歸納和類比是常用的合情推理．從推理形式上看，歸納是由部分到整體，個別到一般的推理，類比是由特殊到特殊的推理，而演繹推理是由一般到特殊的推理．從推理所得的結論來看，合情推理的結論不一定正確，有待進一步證明；演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確的前提下，得到的結論一定正確． 4、證明 （l）直接證明 直接證明是從命題的條件或結論出發(fā)，根據已知的定義、公理、定理，直接推證結論的真實性．常用的直接證明方法有綜合法與分析法． 綜合法是從已知條件出發(fā)，經過逐步的推理，最后達到待證結論． 分析法則是從待證結論出發(fā)，一步一步尋求結論

5、成立的充分條件．最后達到題設的已知條件或已被證明的事實． 分析法的特點是：從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”,其逐步推理，實際上是要尋找它的充分條件， 綜合法的特點是：從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，實際上是尋找它的必要條件．分析法與綜合法各有其特點，有些具體的待證命題，用分析法或綜合法都可以證明出來，人們往往選擇比較簡單的一種． （2）反證法（間接證明） 一般地，由證明轉向證明：,t與假設矛盾，或與某個真命題矛盾，從而判定為假，推出q為真的方法，叫做反證法． 5、數學歸納法 （l）數學歸納法：設是一個與自然數相關的命題集合，如果①證明起始命題（或）成立；②

6、在假設成立的前提下，推出也成立，那么可以斷定，對一切正整數（或自然數）成立． （2）數學歸納法的框圖表示 （3）數學歸納法是推理邏輯，它的第一步稱為奠基步驟，是論證的基礎保證，即通過驗證落實傳遞的起點，這個基礎必須真實可靠；它的第二步稱為遞推步驟，是命題具有后繼傳遞性的保證，即只要命題對某個正整數成立，就能保證該命題對后繼正整數都成立，兩步合在一起為完全歸納步驟稱數學歸納法．這兩步各司其職但缺一不可．特別指出的是，第二步不是判斷命題的真假，而是證明命題是否具備遞推性．如果沒有第一步，而僅有第二步成立，命題也可能是假命題． 【專題分析】 一、推理 推理是由一個或幾個已知判斷作出一個

7、新的判斷的思維形式．由于數學中通常把判斷稱為命題，因而數學推理是由已知命題推出新的命題的思維形式．推理一般分為合情推理和演繹推理，合情推理包括歸納推理和類比推理，演繹推理包括：假言推理、三段論推理、關系推理以及完全歸納推理． 2 1、歸納推理 例1. 在數列中，，，猜想這個數列的通項公式。 解：中，， 所以猜想的通項公式 證明如下：因為，， 所以 即 所以數列 公差為的等差數列 所以 所以通項公式 例2. 在平面上有n條直線，任何兩條都不平行，并且任何三條都不交于同一點，問這些直線把平面分成多少部分？ 解：設n條直線分平面為部分，先實驗觀察特例

8、有如下結果： n與之間的關系不太明顯，但－有如下關系： 觀察上表發(fā)現如下規(guī)律：－＝n（n＝2，3，…）這是因為在n－1條直線后添加第n條直線被原n－1條直線截得的n段中的任何一段都將它所在的原平面一分為二，相應地增加n部分，所以＝＋n，即－=n，從而－=2，－＝3，－＝4，…，－＝n，將上面各式相加有－＝2＋3＋…＋n，所以＝＋2＋3＋…＋n＝2＋2＋3＋…＋n＝1＋（1＋2＋3＋…＋n）＝ 【點評】通過歸納推理得出的結論可能正確，也可能不正確，它的正確性需要通過嚴格的證明，猜想所得結論即可用演繹推理給出證明，雖然由歸納推理所得出的結論未必是正確的，但它所具有的由特殊到一般、由具

9、體到抽象的認識過程，對于數學的發(fā)展、科學的發(fā)明是十分有用的。通過觀察實驗，對有限的資料作歸納整理，提出帶有規(guī)律性的猜想，也是數學研究的基本方法之一。 歸納推理的一般步驟是： ①通過觀察個別情況發(fā)現某些相同性質； ②從已知的相同性質中推出一個明確表述的一般性命題（猜想）。 2、類比推理 例3. 著名的歐姆定律就是德國物理學家歐姆在1826年把電傳導系統(tǒng)與熱傳導系統(tǒng)作類比而導出的．電流I與熱量Q相當，電壓V同溫差△T相當，電阻R與比熱c的倒數相當． 在熱傳導系統(tǒng)中有關系式：Q=mc△T（m是質量） 于是，就可猜想在電傳導系統(tǒng)中有關系式：，這就是歐姆定理． 例4. （1）

10、定義集合A與B的運算：，則 （2）定義集合A與集合B的運算：寫出含有集合運算符號“*∪∩”對集合A和B都有的成立的一個等式． 分析：本題是學習——類比——應用新知識的一個題，這就要求同學們能類比課本上學習和研究集合運算的方法，來研究題目中的條件，一般抽象集合問題往往借助于韋恩圖求解。 解：（1）由圖①中可知AB如圖的陰影部分所示，若AB＝C，我們運用類比的方法，可得CA＝B． （2）由圖②可知，A*B如圖陰影部分所示． 運用數形結合，類比的思想方法，結合“*∪∩”符號進行探索，可求得： 或 或等． 3、演繹推理 例5. 在銳角三角形ABC中，AD⊥BC，B

11、E⊥AC，D、E是垂足． 求證：AB的中點M到D、E的距離相等． 分析：解答本題需要利用直角三角形斜邊上的中線性質作為大前提． 解：（l）因為有一個內角是直角的三角形是直角三角形 ——大前提 在△ABD中，AD⊥BC。即∠ADB＝90° ——小前提 所以△ABD是直角三角形 ——結論 （2）因為直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 ——大前提 而M是Rt△ABD斜邊AB的中點，DM是斜邊上的中線 ——小前提 所以 ——結

12、論 同理，所以 【點評】演繹推理的主要形式就是由大前提、小前提推出三段論式推理。三段論推理的依據用集合論的觀點來講就是：若集合M的所有元素都具有性質P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性質P。三段論的公式中包含三個判斷：第一個判斷稱為大前提，它提供了一個一般的原理；第二個判斷叫小前提，它指出了一個特殊情況；這兩個判斷聯合起來，揭示了一般原理和特殊情況的內在聯系，從而產生了第三個判斷——結論。演繹推理是一種必然性推理，它的前提和結論之間有蘊涵關系。因而，只要前提是真實的，推理的形式是正確的，那么結論必定是真實的，但錯誤的前提可能導致錯誤的結論。 二、證明 1、綜合法證明 綜合法

13、是我們在已經儲存了大量的知識，積累了豐富的經驗的基礎上所用的一種方法，其優(yōu)點是敘述起來簡潔、直觀、條理、清楚，綜合法可使我們從已知的知識中進一步獲得新知識． 例6. 由實數構成的集合A滿足條件：若，證明： （1）若，則集合A必有另外兩個元素，并求出這兩個元素； （2）非空集合A中至少有三個不同元素。 解：（1）∵ ∴ 由于－1≠1，有 由 如此循環(huán)可知集合A中的另外兩個數 （2）∵集合A非空，故存在 ∴ 即a≠0時，有 即如此循環(huán)出現三個數a， 若，方程無實根 若方程也無實根 若方程無實根 ∴a，互不相等，故集合A中至少有三個不

14、同的元素 2、分析法證明 分析法是一種從未知到已知的邏輯推理方法．在探求問題的證明時，它可以幫助我們構思，因而在一般分析問題時，較多地采用分析法，只是找到思路后，往往用綜合法加以敘述，正如恩格斯所說“沒有分析就沒有綜合”，在數學證明中不能把分析法和綜合法絕對分開． 例7. 若。 解： 要證 由 ∴ ∴ 3、反證法證明 反證法的理論基礎是互為逆否命題的等價性，從邏輯角度看，命題：“若p則q”的否定是“若p則”，由此進行推理，如果發(fā)生矛盾，那么就說明“若p則”為假，從而可以導出“若p則q”為真，從而達到證明的目的．反證法是高中數學的一種重要的證明方法

15、，在不等式和立體幾何的證明中經常用到，在高考題中也經常出現，它所反映出的“正難則反”的解決問題的思想方法更為重要。 （1）證明否定性、唯一性命題 例8. 求證：兩條相交直線有且只有一個交點． 分析：結論中以“有且只有”形式出現，是唯一性命題，常用反證法。 證明：假設結論不成立，即有兩種可能：①無交點，②不只有一個交點． ①若直線a、b無交點，那么a//b，與已知矛盾； ②若直線a、b不只有一個交點，則至少有兩個交點A和B，這樣同時經過點A、B就有兩條直線，這與“經過兩點有且只有一條直線”相矛盾． 綜上所述，兩條相交直線有且只有一個交點． （2）用反證法證明“至多”、“至少”

16、類型問題 例9. 已知a、b、c（0，1），求證：。 證明：假設三式都大于 即 ① ② ③ ①×②×③得 又∵ ∴ ④ 同理 ⑤ ⑥ ④×⑤×⑥得 矛盾，假設錯誤，原命題成立。 （3）用反證法證幾何問題 例10. 如圖所示，AB、CD為圓的兩條相交弦，且不全為直徑，求證：AB、CD不能互相平分。 證明：假設AB、CD互相平分，則ACBD為平行四邊形 所以∠ACB=∠ADB，∠CAD=∠CBD 因為ABCD為圓內接四邊形 所以∠ACB＋∠ADB=180°，∠CAD＋∠CBD=180° 因此∠ACB=90°，∠

17、CAD=90° 所以對角線AB、CD均為直徑，與已知矛盾 因此，AB、CD不能互相平分 【點評】（1）反證法的步驟： ①假設命題的結論不成立，即假設結論的反面成立； ②從這個假設出發(fā)，經過推理論證，得出矛盾； ③由矛盾判斷假設不成立，從而肯定命題的結論成立。 （2）反證法導出結果的幾種情況： ①導出非p為真，即與原命題的條件矛盾； ②導出q為真，即與假設“非q為真”矛盾； ③導出一個恒假命題，即與定義、公理、定理矛盾； ④導出自相矛盾的命題。 4、數學歸納法證明 數學歸納法是專門證明與正整數有關的命題的一種方法．它是一種完全歸納法，它的證明共分兩步，其中第一步是命

18、題成立的基礎，稱為“歸納基礎”（或稱特殊性）．第二步解決的是延續(xù)性問題（又稱傳遞性）．運用數學歸納法證明有關命題要注意以下幾點： （1）兩個步驟缺一不可； （2）第二步中，證明“當 n＝k + 1 時結論正確”的過程里，必須利用“歸納假設”即必須用上“當 n＝k 時結論正確”這一結論． （3）在第二步的證明中，“當 n＝k 時結論正確”這一歸納假設起著已知的作用；“當 n＝k +1 時結論正確”則是求證的目標．在這一步中，一般首先要湊出歸納假設里給出的形式，以便利用歸納假設，然后再去湊出當 n＝k + 1 時的結論． 數學歸納法可以用來證明與正整數有關的代數恒等式、三角恒等式、不

19、等式、整除性問題及幾何問題． （4）不完全歸納法是從特殊出發(fā)，通過實驗、觀察、分析、綜合、抽象概括出一般性結論的一種重要方法，運用不完全歸納法可通過對數列前 n 項的計算、觀察、分析，推測出它的通項公式或推測出這個數列的有關性質，應明確用不完全歸納去探索數學問題時，必須用數學歸納法對結論的正確性予以證明． 例11. 求證：。 證明：（1）當n=1時，左邊，右邊，等式成立 （2）假設n=k時， 那么當時， 所以時，等式成立 由（1）（2）知對于任何，等式成立 三、歸納、猜想、證明 近年來，高考試題中已出現過這類題型，這類題型是高考的熱點之一，

20、它對培養(yǎng)創(chuàng)造性思維具有很好的訓練作用．這類題型是：第一步給出命題（與正整數有關）的結構；第二步要求計算出最初的三個至四個初始值；第三步要求通過已計算出的初始值，應用不完全歸納法，發(fā)現其命題的一般性規(guī)律，作出科學的猜想和判斷（要敢于猜想、善于猜想），最后由數學歸納法對所作的猜想——一般性結論，作出完整科學的證明． 例12. 在各項為正的數列中，數列的前n項和滿足 （1）求； （2）由（1）猜想到數列的通項公式，并用數學歸納法證明你的猜想。 解：（1） ∵ ∴ 得 （2）猜想 證明如下：①n=1時，命題成立； ②假設n=k時，成立 則時 即

21、 ∴ ∴ 即時，命題成立 據①②可知對任意的成立 【模擬試題】 一、選擇題（本大題共有12小題，每小題5分，共60分，其中只有一個正確答案。） 1. 我們把平面幾何里相似形的概念推廣到空間：如果兩個幾何體大小不一定相等，但形狀完全相同，就把它們叫做相似體。下面幾何體中，一定屬于相似體的是（ ） ①兩個球體；②兩個長方體；③兩個正四面體；④兩個正三棱柱；⑤兩個正四棱柱 A. ①⑤ B. ②③④ C. ①③ D. ①③⑤ 2. （1）已知，求證，用反證法證明時，可假設 （2）已知，求證方程的兩根的絕對值都小于1。用反證法證明時可假設

22、方程有一根的絕對值大于或等于1，即假設，以下結論正確的是（ ） A. （1）與（2）的假設都錯誤 B. （1）與（2）的假設都正確 C. （1）的假設正確；（2）的假設錯誤 D. （1）的假設錯誤；（2）的假設正確 3. 用數學歸納法證明不等式的過程中，由n=k遞推到n=k+1時不等式左邊（ ） A. 增加了一項 B. 增加了兩項 C. 增加了（B）中兩項但減少了一項 D. 以上各種情況均不對 4. 分析法是從要證的不等式出發(fā)，尋求使它成立的（ ） A. 充分條件 B. 必要條件 C. 充要條件 D. 既不充分

23、又不必要條件 5. 用數學歸納法證明：時，第一步即證下述哪個不等式（ ） A. 1<2 B. C. D. 6. F(n)是一個關于自然數n的命題，若F(k)真，則真，現已知F（7）不真，則有①F(8)不真；②F(8)為真；③F(6)不真；④F(6)為真；⑤F(5)不真；⑥F(5)真。其中真命題是（ ） A. ③⑤ B. ①② C. ④⑥ D. ③④ 7. 設x、y、z，，則a、b、c三數（ ） A. 至少有一個不大于2 B. 都小于2 C. 至少有一個不小于2 D. 都大于2 8. 用數學歸

24、納法證明“1＋2＋22＋……＋2n－1=2n－1（）”的過程中，第二步假設n=k時等式成立，則當n=k+1時應得到（ ） A. B. C. D. 9. 如圖1所示，是一個水平擺放的小正方體木塊，圖2，圖3是由這樣的小正方體木塊疊放而成的，按照這樣的規(guī)律繼續(xù)疊放下去，至第七個疊放的圖形中，小正方體木塊總數應為（ ） A. 25 B. 66 C. 91 D. 120 10. 類比“兩角和與差的正余弦公式”的形式，對于給定的兩個函數，，，其中a>0，且a≠1，下面正確的運算公式是（ ） ①； ②； ③； ④； A. ①

25、③ B. ②④ C. ①④ D. ①②③④ 11. 在等差數列中，若，公差d>0，則有，類比上述性質，在等比數列中，若的一個不等關系是（ ） A. B. C. D. 12. 已知實數a、b、c滿足，abc>0，則的值（ ） A. 一定是正數 B. 一定是負數 C. 可能是0 D. 正、負不能確定 二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分，將答案填在橫線上。） 13. （2020·保定）如圖，在楊輝三角形中，從上往下數共有n（）行，在這些數中非1的數字之和是____________。

26、 14. 觀察下式：，…，則得出結論：____________________________________。 15. 已知數列的前n項和為，且，試歸納猜想出的表達式為________________________。 16. 若記號“※”表示求兩個實數a和b的算術平均數的運算，即a※b=，則兩邊均含有運算符號“※”和“＋”，且對于任意3個實數a、b、c都能成立的一個等式可以是____________________________________。 三、解答題（本大題共6小題，17~21每題12分，第22題14分，每題必須寫出必要的解答過程，文字說明。） 17.

27、已知f(x)對任意實數a,b都有，且當x>0時，。 （1）求證：f(x)是R上的增函數； （2）f(4)=5，解不等式。 18. 設二次函數中的a、b、c均為整數，且f(0)、f(1)均為奇數，求證：方程f(x)=0無整數根。 19. 在Rt△ABC中，若∠C=90°，則，則在立體幾何中，給出四面體性質的猜想。 20. 求證：。（） 21. 若不等式對一切大于1的自然數n都成立，求自然數m的最大值。 22. 已知數列中，（a為常數），是的前n項和，且的等差中項。 （1）求； （2）猜想的表達式，并用數學歸納法加以證明。 【試題答案】 1

28、. C（只有①③是相似體。） 2. D（對（2）的結論：“兩根絕對值都小于1”的否定是“兩根絕對值不都小于1”。） 3. B 4. A 5. C ∵且n>1，∴n的初始值為，此時原不等式即為。 6. A “”等價于“F(k+1)假F(k)假”，故應選A。 7. C（，因此a、b、c至少有一個不小于2，故選C。） 8. D（當n=k時，等式為。那么當n=k+1時，左邊=1＋2＋，因此只需在歸納假設兩端同時添加，即1＋2＋22＋……＋＋。） 9. C（。） 10. D（將S(x)，C(x)逐個檢驗。） 11. B 12. B（∵

29、且（由abc>0知a,b,c均不為0） ∴0， 因此。） 13. （所有數字之和除掉1的和 。） 14. （各等式的左邊是第n個自然數到第個連續(xù)自然數的和，右邊是奇數的平方，故得出結論：= 。） 15. （由，∴，∴） 16. a※b＋c=b※a＋c（∵a※b=，b※a=，∴a※b＋c=b※a＋c。） 17. 解：（1）設，由得 ∵，∴ ∴ ∴f(x)為增函數 （2）∵，∴ ∴ ∴ 解得 18. 證明：假設方程f(x)=0有一個整數根k，則 （1） ∵f(0)=c，f(1)=a+b+c均為奇數，則a+b

30、必為偶數 當k為偶數時，令，則必為偶數，與（1）式矛盾； 當k為奇數時，令，則為一奇數與一偶數乘積，必為偶數，也與（1）式矛盾。 綜上可知方程f(x)=0無整數根 19. 解：如圖，在Rt△ABC中 于是把結論類比到四面體中，我們猜想，三棱錐中，若三個側面兩兩互相垂直，且分別與底面所成的角為α、β、，則 。 20. 證明：（1）當n=2時，右邊，不等式成立。 （2）假設當n=k（）時命題成立，即 則當時， 所以當時不等式也成立 由（1），（2）可知，原不等式對一切均成立。 21. 解：設，則 ∴n=2時，f(n)有最小值 由，得m<14 ∴m的最大值為13 22. 解：（1） （2）猜想 證明：①當n=1時，左邊，右邊 ∴當n=1時等式成立；當n=2時，左邊，右邊 ∴當n=2時等式成立 ②假設當n=k（）時，等式成立， 即，則當時， ∴ ∵ ∴，將代入，得 ∴當n=k+1時，等式也成立 由①②可知，對于任意的正整數n，等式恒成立