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1、
(福建專用)2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第八章第4課時(shí) 空間中的平行關(guān)系課時(shí)闖關(guān)(含解析)
一、選擇題
1.一條直線若同時(shí)平行于兩個(gè)相交平面,則這條直線與這兩個(gè)平面的交線的位置關(guān)系是( )
A.異面 B.相交
C.平行 D.不確定
解析:選C.以四棱柱為模型,一條側(cè)棱與和它平行的兩個(gè)側(cè)面的交線平行,可得出結(jié)論.
2.設(shè)m,n是平面α內(nèi)的兩條不同直線;l1,l2是平面β內(nèi)的兩條相交直線.則α∥β的一個(gè)充分而不必要條件是( )
A.m∥β且l1∥α B.m∥l1且n∥l2
C.m∥β且n∥β D.m∥β且n∥l2
解析:選B.∵m∥l1,
2、且n∥l2,又l1與l2是平面β內(nèi)的兩條相交直線,∴α∥β,而當(dāng)α∥β時(shí)不一定推出m∥l1且n∥l2,可能異面.故選B.
3.(2020·寧德調(diào)研)已知甲命題:“如果直線a∥b,那么a∥α”;乙命題:“如果a∥平面α,那么a∥b”.要使上面兩個(gè)命題成立,需分別添加的條件是( )
A.甲:b?α;乙:b?α
B.甲:b?α;乙:a?β且α∩β=b
C.甲:a?α,b?α;乙:a?β且α∩β=b
D.甲:a?α,b?α;乙:b∥α
解析:選C.根據(jù)直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理,知C正確.
4.下列命題中正確的個(gè)數(shù)是( )
①若直線a不在α內(nèi),則a∥α;
②若直線l上有無
3、數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi),則l∥α;
③若直線l與平面α平行,則l與α內(nèi)的任意一條直線都平行;
④如果兩條平行線中的一條與一個(gè)平面平行,那么另一條也與這個(gè)平面平行;
⑤若l與平面α平行,則l與α內(nèi)任何一條直線都沒有公共點(diǎn);
⑥平行于同一平面的兩直線可以相交.
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:選B.a∩α=A時(shí),a?α,故①錯(cuò);
直線l與α相交時(shí),l上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在α內(nèi),故②錯(cuò);
l∥α?xí)r,α內(nèi)的直線與l平行或異面,故③錯(cuò);
a∥b,b∥α?xí)r,a∥α或a?α,故④錯(cuò);
l∥α,l與α無公共點(diǎn),∴l(xiāng)與α內(nèi)任一直線都無公共點(diǎn),⑤正確;
長方體中A1C1與B1D1都與面
4、ABCD平行,∴⑥正確.故選B.
5.下列四個(gè)正方體圖形中,A、B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn),M、N、P分別為其所在棱的中點(diǎn),能得出AB∥平面MNP的圖形的序號是( )
A.①③ B.①④
C.②③ D.②④
解析:選B.對圖①,可通過面面平行得到線面平行.對圖④,通過證明AB∥PN得到AB∥平面MNP,故選B.
二、填空題
6.
如圖,在空間四邊形ABCD中,M∈AB,N∈AD,若=,則直線MN與平面BDC的位置關(guān)系是__________.
解析:在平面ABD中,=,
∴MN∥BD.
又MN?平面BCD,BD?平面BCD,
∴MN∥平面BCD.
答案:平
5、行
7.(2020·漳州調(diào)研)已知α、β是不同的兩個(gè)平面,直線a?α,直線b?β,命題p:a與b沒有公共點(diǎn);命題q:α∥β,則p是q的________條件.
解析:∵a與b沒有公共點(diǎn),不能推出α∥β,
而α∥β時(shí),a與b一定沒有公共點(diǎn),
即p ?/ q,q?p,
∴p是q的必要不充分條件.
答案:必要不充分
8.
空間四邊形ABCD的兩條對棱AC、BD的長分別為5和4,則平行于兩條對棱的截面四邊形EFGH在平移過程中,周長的取值范圍是________.
解析:設(shè)==k,∴==1-k,
∴GH=5k,EH=4(1-k),∴周長=8+2k.
又∵0<k<1,∴周長的范圍為
6、(8,10).
答案:(8,10)
三、解答題
9.
如圖是一個(gè)三棱柱(以A1B1C1為底面)被一平面截得的幾何體,截面為ABC,已知AA1=4,BB1=2,CC1=3,O為AB中點(diǎn),證明:OC∥平面A1B1C1.
證明:取A1B1中點(diǎn)D1,連接OD1、C1D1.
則OD1為梯形AA1B1B的中位線.
∴OD1=3且OD1∥AA1.
又在棱柱中,AA1∥CC1,CC1=3,
∴OD1綊CC1,
∴四邊形OD1C1C為平行四邊形.
∴OC∥D1C1.又OC?平面A1B1C1,D1C1?平面A1B1C1,
∴OC∥平面A1B1C1.
10.
已知如圖:E、F、G
7、、H分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中點(diǎn).求證:
(1)EG∥平面BB1D1D;
(2)平面BDF∥平面B1D1H.
證明:(1)取B1D1的中點(diǎn)O,連接GO,OB,易證四邊形BEGO為平行四邊形,故OB∥GE,由線面平行的判定定理即可證EG∥平面BB1D1D.
(2)由正方體得BD∥B1D1.
如圖,連接HB、D1F,易證四邊形HBFD1是平行四邊形,
故HD1∥BF.
又B1D1∩HD1=D1,BD∩BF=B,
所以平面BDF∥平面B1D1H.
一、選擇題
1.
(2020·三明調(diào)研)如圖所示,在三棱柱ABC-A′
8、B′C′中,點(diǎn)E、F、H、K分別為AC′、CB′、A′B、B′C′的中點(diǎn),G為△ABC的重心,從K、H、G、B′中取一點(diǎn)作為P,使得該棱柱恰有2條棱與平面PEF平行,則P為( )
A.K B.H
C.G D.B′
解析:選C.若K點(diǎn)為P,
∵P(K)F∥C′C,
∴P(K)F∥C′C∥A′A∥B′B,
則棱柱至少有三條棱與平面PEF平行,故A不正確;
若H點(diǎn)為P,
∵平面P(H)EF∥平面BC,
∴AC∥平面P(H)EF,AB∥平面P(H)EF,BC∥平面P(H)EF,
則棱柱至少有三條棱與平面PEF平行,故B不正確;
若G點(diǎn)為P,則棱柱中僅有AB、A′B′與平
9、面PEF平行,故C正確;
若B′點(diǎn)為P,則棱柱中任一棱都不與平面PEF平行,故D不正確.
故選C.
2.正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N,Q 分別是棱D1C1,A1D1,BC的中點(diǎn).點(diǎn)P在對角線BD1上,且=,給出下列四個(gè)命題:
①M(fèi)N∥平面APC;②C1Q∥平面APC;③A,P,M三點(diǎn)共線;④平面MNQ∥平面APC.
其中正確命題的序號為( )
A.①② B.①④
C.②③ D.③④
解析:選C.E,F(xiàn)分別為AC,MN的中點(diǎn),G為EF與BD1的交點(diǎn),顯然△D1FG∽△BEG,
故==,即BG=BD1,又=,即BP=BD1,故點(diǎn)G與點(diǎn)P重合,所以平
10、面APC和平面ACMN重合,MN?平面APC,故命題①不正確,命題④也不正確,結(jié)合選項(xiàng)可知選C.
二、填空題
3.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G、H分別是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中點(diǎn),N是BC的中點(diǎn),點(diǎn)M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng),則M滿足條件________時(shí),有MN∥平面B1BDD1.
解析:易知平面MHN∥平面B1BDD1.故當(dāng)M在FH上時(shí)MN∥平面B1BDD1.
答案:M∈FH
4.
(2020·高考福建卷)如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,點(diǎn)E為AD的中點(diǎn),點(diǎn)F在CD上.若EF∥平面AB1C,則線段EF的長度等于___
11、_____.
解析:由于在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,∴AC=2.又E為AD中點(diǎn),EF∥平面AB1C,EF?平面ADC,平面ADC∩平面AB1C=AC,
∴EF∥AC,∴F為DC中點(diǎn),∴EF=AC=.
答案:
三、解答題
5.
(2020·高考山東卷)在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD為平行四邊形,∠ACB=90°,EA⊥平面ABCD,EF∥AB,F(xiàn)G∥BC,EG∥AC,AB=2EF.
(1)若M是線段AD的中點(diǎn),求證:GM∥平面ABFE;
(2)若AC=BC=2AE,求二面角ABFC的大?。?
解:
(1)證明:法一:因?yàn)镋F∥AB,F(xiàn)G∥B
12、C,EG∥AC,∠ACB=90°.
所以∠EGF=90°,
△ABC∽△EFG.
由于AB=2EF,
因此BC=2FG.
連接AF,
由于FG∥BC,F(xiàn)G=BC,
在?ABCD中,M是線段AD的中點(diǎn),
則AM∥BC,且AM=BC,
因此FG∥AM且FG=AM,
所以四邊形AFGM為平行四邊形,
因此GM∥FA.
又FA?平面ABFE,GM?平面ABFE,
所以GM∥平面ABFE.
法二:因?yàn)镋F∥AB,F(xiàn)G∥BC,EG∥AC,∠ACB=90°,
所以∠EGF=90°,
△ABC∽△EFG.
由于AB=2EF,
所以BC=2FG.
取BC的中點(diǎn)N,連接G
13、N,
因此四邊形BNGF為平行四邊形,
所以GN∥FB.
在?ABCD中,M是線段AD的中點(diǎn),連接MN,
則MN∥AB.
因?yàn)镸N∩GN=N,
所以平面GMN∥平面ABFE.
又GM?平面GMN,所以GM∥平面ABFE.
(2)
由題意知,平面ABFE⊥平面ABCD.
取AB的中點(diǎn)H,連接CH.
因?yàn)锳C=BC,
所以CH⊥AB,
則CH⊥平面ABFE.
過H向BF引垂線交BF于R,連接CR,則CR⊥BF,
所以∠HRC為二面角ABFC的平面角.
由題意,不妨設(shè)AC=BC=2AE=2,
在直角梯形ABFE中,連接FH,則FH⊥AB.
又AB=2,
14、所以HF=AE=1,BH=,
因此在Rt△BHF中,HR=.
由于CH=AB=,
所以在Rt△CHR中,tan∠HRC==.
因此二面角ABFC的大小為60°.
6.
(2020·高考福建卷)如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,E,H分別是棱A1B1,D1C1上的點(diǎn)(點(diǎn)E與B1不重合),且EH∥A1D1.過EH的平面與棱BB1,CC1相交,交點(diǎn)分別為F,G.
(1)證明:AD∥平面EFGH;
(2)設(shè)AB=2AA1=2a.在長方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn),記該點(diǎn)取自于幾何體A1ABFE-D1DCGH內(nèi)的概率為p.當(dāng)點(diǎn)E,F(xiàn)分別在棱A1B1,B1B
15、上運(yùn)動(dòng)且滿足EF=a時(shí),求p的最小值.
解:(1)證明:在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AD∥A1D1.
又∵EH∥A1D1,∴AD∥EH.
∵AD?平面EFGH,EH?平面EFGH.
∴AD∥平面EFGH.
(2)法一:設(shè)BC=b,則長方體ABCD-A1B1C1D1的體積
V=AB·AD·AA1=2a2b,
幾何體EB1F-HC1G的體積
V1=·B1C1=EB1·B1F.
∵EB+B1F2=a2,
∴EB1·B1F≤=,
當(dāng)且僅當(dāng)EB1=B1F=a時(shí)等號成立.
從而V1≤.
故p=1-≥1-=,
當(dāng)且僅當(dāng)EB1=B1F=a時(shí)等號成立.
∴p的最小值等于.
法二:設(shè)BC=b,則長方體ABCD-A1B1C1D1的體積
V=AB·AD·AA1=2a2b,
幾何體EB1F-HC1G的體積
V1=·B1C1=EB1·B1F.
設(shè)∠B1EF=θ(0°≤θ<90°),
則EB1=acos θ,B1F=asin θ.
∴EB1·B1F=a2sinθcosθ=sin2θ≤,
當(dāng)且僅當(dāng)sin2θ=1,即θ=45°時(shí),等號成立.
從而V1≤.
∴p=1-≥1-=,
當(dāng)且僅當(dāng)sin 2θ=1,即θ=45°時(shí),等號成立.
∴p的最小值等于.