《數(shù)學(xué) 第三章 概率 3.3 隨機(jī)數(shù)的含義與應(yīng)用 3.4 概率的應(yīng)用 新人教B版必修3》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《數(shù)學(xué) 第三章 概率 3.3 隨機(jī)數(shù)的含義與應(yīng)用 3.4 概率的應(yīng)用 新人教B版必修3（44頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、3.3隨機(jī)數(shù)的含義與應(yīng)用3.4概率的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過具體問題感受幾何概型的概念，體會(huì)幾何概型的意義.2.會(huì)求一些簡單的幾何概型的概率.3.了解隨機(jī)數(shù)的意義，能用計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬法估計(jì)事件的概率.4.應(yīng)用概率解決實(shí)際問題.題型探究問題導(dǎo)學(xué)內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練問題導(dǎo)學(xué)思考知識(shí)點(diǎn)一幾何概型的概念往一個(gè)方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一點(diǎn)上.這個(gè)試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限個(gè)，還是無限個(gè)？若沒有人為因素，每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性是否相等？出現(xiàn)的結(jié)果是無限個(gè)；每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相等的.答案1.幾何概型的定義事件A理解為區(qū)域的某一子區(qū)域A，如圖，A的概率只與子區(qū)域A的 (長度、面積或體積)成 ，而

2、與A的位置和 無關(guān).滿足以上條件的試驗(yàn)稱為 .梳理梳理幾何度量正比形狀幾何概型2.幾何概型的特點(diǎn)(1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有 .(2)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性 .無限多個(gè)相等思考知識(shí)點(diǎn)二幾何概型的概率公式既然幾何概型的基本事件有無限多個(gè)，難以像古典概型那樣計(jì)算概率，那么如何度量事件A所包含的基本事件數(shù)與總的基本事件數(shù)之比？可以用事件A所占有的幾何量與總的基本事件所占有的幾何量之比來表示.答案梳理梳理幾何概型的概率計(jì)算公式在幾何概型中，事件A的概率定義為： ，其中，表示_ ，A表示 .區(qū)域的幾何度量子區(qū)域A的幾何度量知識(shí)點(diǎn)三均勻隨機(jī)數(shù)1.隨機(jī)數(shù)隨機(jī)數(shù)就是在 ，并且得到這個(gè)范圍內(nèi)的

3、_.2.計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬法或蒙特卡羅方法建立一個(gè)概率模型，它與某些我們 有關(guān)，然后設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)脑囼?yàn)，并通過這個(gè)試驗(yàn)的結(jié)果來 .按照以上思路建立起來的方法稱為計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬法或蒙特卡羅方法.一定范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù)每一個(gè)數(shù)的機(jī)會(huì)一樣感興趣的量確定這些量題型探究 例例1下列關(guān)于幾何概型的說法錯(cuò)誤的是A.幾何概型是古典概型的一種，基本事件都要具有等可能性B.幾何概型中事件發(fā)生的概率與它的形狀或位置無關(guān)C.幾何概型在一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個(gè)D.幾何概型中每個(gè)結(jié)果的發(fā)生都具有等可能性答案解析類型一幾何概型的識(shí)別幾何概型和古典概型是兩種不同的概率模型，幾何概型中的基本事件有無限多個(gè)，古典概型中的基本事

4、件有有限個(gè).幾何概型特點(diǎn)的理解(1)無限性：在每次隨機(jī)試驗(yàn)中，不同的試驗(yàn)結(jié)果有無窮多個(gè)，即基本事件有無限多個(gè)；(2)等可能性：在每次隨機(jī)試驗(yàn)中，每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，即基本事件的發(fā)生是等可能的.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練1判斷下列概率模型是古典概型還是幾何概型.(1)先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，求出現(xiàn)兩個(gè)“4點(diǎn)”的概率；解答先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，所有可能結(jié)果有6636(種)，且它們的發(fā)生都是等可能的，因此屬于古典概型.(2)如圖所示，圖中有一個(gè)轉(zhuǎn)盤，甲、乙玩轉(zhuǎn)盤游戲，規(guī)定當(dāng)指針指向B區(qū)域時(shí)，甲獲勝，否則乙獲勝，求甲獲勝的概率.解答游戲中指針指向B區(qū)域時(shí)有無限多個(gè)結(jié)果，且它們的發(fā)生

5、都是等可能的，而且不難發(fā)現(xiàn)“指針落在陰影部分”的概率可以用陰影部分的面積與總面積的比來衡量，即與區(qū)域面積有關(guān)，因此屬于幾何概型.命題角度命題角度1與長度有關(guān)的幾何概型與長度有關(guān)的幾何概型例例2某公共汽車站，每隔15分鐘有一輛車發(fā)出，并且發(fā)出前在車站?？?分鐘，求乘客到站候車時(shí)間大于10分鐘的概率.類型二幾何概型的計(jì)算解答如圖所示，設(shè)相鄰兩班車的發(fā)車時(shí)刻為T1，T2，T1T215.設(shè)T0T23，TT010，記“乘客到站候車時(shí)間大于10分鐘”為事件A.則當(dāng)乘客到站時(shí)刻t落到T1T上時(shí)，事件A發(fā)生.因?yàn)門1T153102，T1T215，引申探究引申探究1.本例中在題設(shè)條件不變的情況下，求候車時(shí)間不超

6、過10分鐘的概率.解答由原題解析圖可知，當(dāng)t落在TT2上時(shí)，候車時(shí)間不超過10分鐘，故所求概率2.本例中在題設(shè)條件不變的情況下，求乘客到達(dá)車站立即上車的概率.解答由原題解析圖可知，當(dāng)t落在T0T2上時(shí)，乘客立即上車，故所求概率若一次試驗(yàn)中所有可能的結(jié)果和某個(gè)事件A包含的結(jié)果(基本事件)都對(duì)應(yīng)一個(gè)長度，如線段長、時(shí)間區(qū)間長、距離、路程等，那么需要先求出各自相應(yīng)的長度，然后運(yùn)用幾何概型的概率計(jì)算公式求出事件A發(fā)生的概率.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練2平面上畫了一些彼此相距2a的平行線，把一枚半徑為r(ra)的硬幣任意擲在這個(gè)平面上，求硬幣不與任何一條平行線相碰的概率.解答記“硬幣不與任何一條平行線相

7、碰”為事件A，如圖，由圖可知：硬幣圓心在線段AB上的任意一點(diǎn)的出現(xiàn)是等可能的.圓心在線段CD(不含點(diǎn)C、D)上出現(xiàn)時(shí)硬幣不與平行線相碰，所以P(A)命題角度命題角度2與面積有關(guān)的幾何概型與面積有關(guān)的幾何概型例例3設(shè)點(diǎn)M(x，y)在區(qū)域(x，y)|x|1，|y|1上均勻分布出現(xiàn)，求：(1)xy0的概率；解答如圖，滿足|x|1，|y|1的點(diǎn)(x，y)組成一個(gè)邊長為2的正方形(ABCD)區(qū)域(含邊界)，S正方形ABCD4.(2)xy1的概率；解答設(shè)E(0,1)，F(xiàn)(1,0)，則xy1的圖象是EF所在的直線，滿足xy1的點(diǎn)在直線EF的左下方，即在五邊形ABCFE內(nèi)(不含邊界EF)，而S五邊形ABCFE

8、S正方形ABCDSEDF4(3)x2y21的概率.解答滿足x2y21的點(diǎn)是以原點(diǎn)為圓心的單位圓O，SO，所以P(x2y21)如果每個(gè)基本事件可以理解為從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，某個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生理解為恰好取到上述區(qū)域的某個(gè)指定區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)，且該區(qū)域中的每一個(gè)點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣，這樣的概率模型就可以視為幾何概型，并且這里的區(qū)域可以用面積表示，利用幾何概型的概率公式求解.反思與感悟 跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練3歐陽修賣油翁中寫到，(翁)乃取一葫蘆置于地，以錢覆其口，徐以杓酌瀝之，自錢孔入而錢不濕.若銅錢是直徑為3 cm的圓，中間有一個(gè)邊長為1 cm的正方形孔，若隨機(jī)向銅錢上滴一滴油(油滴的大小忽略

9、不計(jì))，則油滴正好落入孔中的概率是答案解析命題角度命題角度3與體積有關(guān)的幾何概型與體積有關(guān)的幾何概型例例4已知正四面體ABCD的體積為V，P是正四面體ABCD內(nèi)部的點(diǎn).(1)設(shè)“VPABC V”的事件為X，求概率P(X)；解答如圖，分別取DA、DB、DC上的點(diǎn)E、F、G，并使DE3EA，DF3FB，DG3GC，連接EF、FG、GE，則平面EFG平面ABC.解答在AB上取點(diǎn)H，使AH3HB，在AC上取點(diǎn)I，使AI3IC，在AD上取點(diǎn)J，使AJ3JD，連接JH、JI，分別交EF、EG于點(diǎn)M、N，連接MN、HI，則P在正四面體AHIJ內(nèi)部運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足VPBCD V.結(jié)合(1)可知，當(dāng)P在正四面體DE

10、FG的內(nèi)部及正四面體AHIJ的內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，即P在正四面體EMNJ內(nèi)部運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足VPABC V且VPBCD V，如果試驗(yàn)的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用體積表示，則其概率的計(jì)算公式為反思與感悟解決此類問題的關(guān)鍵是注意幾何概型的條件，分清所求的概率是與體積有關(guān)還是與長度有關(guān)，不要將二者混淆. 跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練4在一個(gè)球內(nèi)有一棱長為1的內(nèi)接正方體，一動(dòng)點(diǎn)在球內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則此點(diǎn)落在正方體內(nèi)部的概率為答案解析例例5在如圖所示的正方形中隨機(jī)撒一把豆子，計(jì)算落在圓中的豆子數(shù)與落在正方形中的豆子數(shù)之比并以此估計(jì)圓周率的值. 類型三均勻隨機(jī)數(shù)及隨機(jī)模擬方法解答隨機(jī)撒一把豆子，每個(gè)豆子落在正方形內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的，

11、落在每個(gè)區(qū)域的豆子數(shù)與這個(gè)區(qū)域的面積近似成正比，用隨機(jī)數(shù)模擬的關(guān)鍵是把實(shí)際問題中事件A及基本事件總體對(duì)應(yīng)的區(qū)域轉(zhuǎn)化為隨機(jī)數(shù)的范圍.用轉(zhuǎn)盤產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，這種方法可以親自動(dòng)手操作，但費(fèi)時(shí)費(fèi)力，試驗(yàn)次數(shù)不可能很大.用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，可以產(chǎn)生大量的隨機(jī)數(shù)，又可以自動(dòng)統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)的結(jié)果，同時(shí)可以在短時(shí)間內(nèi)進(jìn)行多次重復(fù)試驗(yàn)，可以對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的隨機(jī)性和規(guī)律性有更深刻的認(rèn)識(shí).反思與感悟跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練5取一根長度為5 m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，用均勻隨機(jī)模擬方法估計(jì)剪得兩段的長都不小于2 m的概率有多大？解答設(shè)剪得兩段的長都不小于2 m為事件A.(1)利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生n個(gè)05之間的均勻隨機(jī)數(shù)，xrand

12、()*5.(2)作伸縮變換：yx*(50)，轉(zhuǎn)化為0,5上的均勻隨機(jī)數(shù).(3)統(tǒng)計(jì)出2,3內(nèi)均勻隨機(jī)數(shù)的個(gè)數(shù)m.(4)則概率P(A)的近似值為當(dāng)堂訓(xùn)練1.下列概率模型是幾何概型的為A.已知a，b1,2,3,4，求使方程x22axb0有實(shí)根的概率B.已知a，b滿足|a|2，|b|3，求使方程x22axb0有實(shí)根的概率C.從甲、乙、丙三人中選2人參加比賽，求甲被選中的概率D.求張三和李四的生日在同一天的概率(一年按365天計(jì)算)23451對(duì)于選項(xiàng)B，a，b滿足的條件為坐標(biāo)平面內(nèi)某一區(qū)域，涉及面積問題，為幾何概型，其他三個(gè)選項(xiàng)均為古典概型.答案解析2.面積為S的ABC，D是BC的中點(diǎn)，向ABC內(nèi)部投

13、一點(diǎn)，那么點(diǎn)落在ABD內(nèi)的概率為向ABC內(nèi)部投一點(diǎn)的結(jié)果有無限個(gè)，屬于幾何概型.設(shè)點(diǎn)落在ABD內(nèi)為事件M，則P(M)答案解析23451234513.如圖，在邊長為1的正方形中隨機(jī)撒1 000粒豆子，有180粒落到陰影部分，據(jù)此估計(jì)陰影部分的面積為_.0.18設(shè)陰影部分的面積為S，S0.18.解析答案234514.在200 mL的水中有一個(gè)草履蟲，現(xiàn)從中隨機(jī)取出20 mL水樣利用顯微鏡觀察，則發(fā)現(xiàn)草履蟲的概率是_.記“從200 mL水中隨機(jī)取出20 mL水樣利用顯微鏡觀察，發(fā)現(xiàn)草履蟲”為事件A，則由幾何概型的概率計(jì)算公式可得P(A)0.1.答案解析0.123451解答5.在區(qū)間0,1上任取三個(gè)數(shù)a，b，c，若向量m(a，b，c)，求|m|1的概率.a，b，c0,1，(a，b，c)|0a1,0b1,0c1構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閱挝徽襟w(其中原點(diǎn)O為正方體的一個(gè)頂點(diǎn)).設(shè)“|m|1”為事件A，23451規(guī)律與方法1.幾何概型適用于試驗(yàn)結(jié)果是無窮多且事件是等可能發(fā)生的概率模型.2.幾何概型主要用于解決與長度、面積、體積有關(guān)的問題.3.注意理解幾何概型與古典概型的區(qū)別.4.理解如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為幾何概型的問題，利用幾何概型公式求解，概率公式為本課結(jié)束