《數學總第四章 幾何初步與三角形 第二節(jié) 三角形與全等三角形》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《數學總第四章 幾何初步與三角形 第二節(jié) 三角形與全等三角形（47頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、第二節(jié)三角形與全等三角形知識點一知識點一 三角形的概念三角形的概念 1 1三角形：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次三角形：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形三角形有相接所組成的圖形叫做三角形三角形有3 3條邊、條邊、3 3個頂個頂點和點和3 3個內角三角形具有穩(wěn)定性個內角三角形具有穩(wěn)定性2 2三角形的分類三角形的分類(1)(1)按角分：按角分：(2)(2)按邊分：按邊分：知識點二知識點二 三角形的邊、角關系三角形的邊、角關系1 1三角形的邊的關系三角形的邊的關系(1)(1)三角形兩邊的和三角形兩邊的和 _ _ 第三邊第三邊(2)(2)三角形兩邊的差三角形兩邊的差

2、 _ _ 第三邊第三邊 大于大于小于小于2 2三角形的角的關系三角形的角的關系(1)(1)三角形三個內角的和等于三角形三個內角的和等于 _；直角三角形的；直角三角形的兩個銳角互余兩個銳角互余(2)(2)三角形的外角和等于三角形的外角和等于 _(3)(3)三角形的外角三角形的外角 _ _ 與它不相鄰的兩個內角的和，與它不相鄰的兩個內角的和，三角形的外角三角形的外角 _ _ 任意一個和它不相鄰的內角任意一個和它不相鄰的內角180180360360等于等于大于大于知識點三知識點三 三角形中的重要線段三角形中的重要線段1 1三角形的中線：在三角形中，連接一個頂點與它對邊三角形的中線：在三角形中，連接一

3、個頂點與它對邊 _ _ 的線段，叫做這個三角形的中線一個三角形有的線段，叫做這個三角形的中線一個三角形有3 3條中線，都在三角形的條中線，都在三角形的 _ _ 2 2三角形的高：從三角形的一個頂點向它的對邊所在直三角形的高：從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點與垂足之間的線作垂線，頂點與垂足之間的 _ _ 叫做三角形的高一叫做三角形的高一個三角形有個三角形有3 3條高，可能在三角形內部，也可能在三角形條高，可能在三角形內部，也可能在三角形上，還可能在三角形的外部上，還可能在三角形的外部 中點中點內部內部線段線段3 3三角形的角平分線：在三角形中，一個內角的角平分三角形的角平分線：在

4、三角形中，一個內角的角平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫做線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線一個三角形有三角形的角平分線一個三角形有3 3條角平分線，都在三角條角平分線，都在三角形的內部形的內部4 4三角形的中位線：連接三角形兩邊的中點的線段叫做三角形的中位線：連接三角形兩邊的中點的線段叫做三角形的中位線一個三角形有三角形的中位線一個三角形有3 3條中位線，都在三角形條中位線，都在三角形的內部三角形的中位線的內部三角形的中位線 _ _ 于第三邊且等于第三邊的于第三邊且等于第三邊的 _ _ 平行平行一半一半三角形的中線、高、角平分線、中位線都是線

5、段，注意三角形的中線、高、角平分線、中位線都是線段，注意區(qū)分三角形的角平分線與角的平分線的區(qū)別，前者是線區(qū)分三角形的角平分線與角的平分線的區(qū)別，前者是線段，后者是射線段，后者是射線知識點四知識點四 全等三角形全等三角形 1 1全等三角形的性質：全等三角形的全等三角形的性質：全等三角形的 _相等，相等， _相等全等三角形的對應線段相等全等三角形的對應線段( (高、中線、角高、中線、角平分線平分線) )、周長、面積分別對應、周長、面積分別對應 _ _ 對應邊對應邊對應角對應角相等相等2 2全等三角形的判定全等三角形的判定(1)(1)一般三角形全等的條件：一般三角形全等的條件： _， _， _， _

6、 _ (2)(2)直角三角形全等的條件：除上述四種判別方法外，直角三角形全等的條件：除上述四種判別方法外，還有還有 _ . .SSSSSSA AS SA AS SA AS SAAAAS SHLHL證明三角形全等的一般思路如下：證明三角形全等的一般思路如下：考點一考點一 三角形的三邊關系三角形的三邊關系 (5(5年年2 2考考) ) (2013 (2013河北河北) )如圖如圖1 1，M M是鐵絲是鐵絲ADAD的中點，將該鐵絲的中點，將該鐵絲首尾相接折成首尾相接折成ABCABC，且，且BB3030，CC100100，如圖，如圖2.2.則下列說法正確的是則下列說法正確的是( )( )A A點點M

7、M在在ABAB上上B B點點M M在在BCBC的中點處的中點處C C點點M M在在BCBC上，且距點上，且距點B B較近，距點較近，距點C C較遠較遠D D點點M M在在BCBC上，且距點上，且距點C C較近，距點較近，距點B B較遠較遠【分析】【分析】 利用三角形中利用三角形中“大角對大邊大角對大邊”及三角形的三及三角形的三邊關系解答即可邊關系解答即可講：忽略三角形三邊關系的條件講：忽略三角形三邊關系的條件判斷已知三條線段是否能夠組成三角形，必須滿足下列兩判斷已知三條線段是否能夠組成三角形，必須滿足下列兩個條件之一：個條件之一：如果選最長邊作為第三邊，則需判斷其余如果選最長邊作為第三邊，則需

8、判斷其余兩邊之和大于第三邊；兩邊之和大于第三邊；如果選最短邊作為第三邊，則需如果選最短邊作為第三邊，則需判斷其余兩邊之差小于第三邊在解答此類問題時，容易判斷其余兩邊之差小于第三邊在解答此類問題時，容易忽略三邊是否滿足組成三角形的條件忽略三邊是否滿足組成三角形的條件練：鏈接變式訓練練：鏈接變式訓練2 21 1(2017(2017淮安淮安) )若一個三角形的兩邊長分別為若一個三角形的兩邊長分別為5 5和和8 8，則第三邊長可能是則第三邊長可能是( )( )A A14 B14 B10 10 C C3 D3 D2 2B B2 2(2017(2017張掖張掖) )已知已知a a，b b，c c是是ABC

9、ABC的三條邊長，的三條邊長，化簡化簡|a|ab bc|c|c|ca ab|b|的結果為的結果為( )( )A A2 2a a2 2b b2 2c c B B2 2a a2 2b b C C2 2c c D D0 0D D考點二考點二 三角形的內角和定理及其推論三角形的內角和定理及其推論 (5(5年年3 3考考) )命題角度命題角度三角形的內角和定理三角形的內角和定理 (2013(2013河北河北) )一個正方形和兩個等邊三角形的位置一個正方形和兩個等邊三角形的位置如圖所示，若如圖所示，若335050，則，則1122( )( )A A9090 B B100100 C C130130 D D18

10、0180【分析】【分析】 設圍成的小三角形為設圍成的小三角形為ABCABC，分別用，分別用11，22，33表示出表示出ABCABC的三個內角，再利用三角形的內的三個內角，再利用三角形的內角和等于角和等于180180列式整理即可得解列式整理即可得解【自主解答】【自主解答】 如圖，如圖，BACBAC180180909011909011，ABCABC18018060603312012033，ACBACB1801806060221201202.2.在在ABCABC中，中，BACBACABCABCACBACB180180，9090111201203312012022180180，11221501503.

11、3.335050，11221501505050100100. .故選故選B.B.求與三角形有關的角度時，常利用三角形的內角和定理求與三角形有關的角度時，常利用三角形的內角和定理建立已知角與所求的角之間的數量關系，然后進行求解建立已知角與所求的角之間的數量關系，然后進行求解即可即可3 3(2017(2017長春長春) )如圖，在如圖，在ABCABC中，點中，點D D在在ABAB上，點上，點E E在在ACAC上，上，DEBC.DEBC.若若AA6262，AEDAED5454，則，則BB的大的大小為小為( )( )A A5454 B B6262 C C6464 D D7474C C4 4(2016(

12、2016大慶大慶) )如圖，在如圖，在ABCABC中，中，AA4040，D D點是點是ABCABC和和ACBACB角平分線的交點，則角平分線的交點，則BDCBDC _110110命題角度命題角度三角形的外角三角形的外角 (2014(2014河北河北) )如圖，平面上直線如圖，平面上直線a a，b b分別過線段分別過線段OKOK兩端點兩端點( (數據如圖數據如圖) )，則，則a a，b b相交所成的銳角是相交所成的銳角是( )( )A A2020 B B3030 C C7070 D D8080【分析】【分析】 根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，

13、列式計算即可得解兩個內角的和，列式計算即可得解【自主解答】【自主解答】 根據外角性質，根據外角性質，a a，b b相交所成的銳相交所成的銳角是角是10010070703030. .故選故選B.B.求角度時，要熟練掌握三角形外角性質：三角形的一個求角度時，要熟練掌握三角形外角性質：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和外角等于與它不相鄰的兩個內角的和5 5(2017(2017張家口一模張家口一模) )已知兩個三角板按如圖方式疊已知兩個三角板按如圖方式疊放，則放，則11( )( )A A3030 B B4545 C C6060 D D7575D D6 6(2017(2017長安區(qū)一模長安區(qū)一

14、模) )如圖，已知直線如圖，已知直線abab，則則112233( )( )A A180180 B B150150 C C135135 D D9090A A考點三考點三 三角形中的重要線段三角形中的重要線段 (5(5年年3 3考考) ) (2017 (2017河北河北) )如圖，如圖，A A，B B兩點被池塘隔開，不能直接兩點被池塘隔開，不能直接測量其距離于是，小明在岸邊選一點測量其距離于是，小明在岸邊選一點C C，連接，連接CACA，CBCB，分，分別延長到點別延長到點M M，N N，使，使AMAMACAC，BNBNBCBC，測得，測得MNMN200 200 m m，則，則A A，B B間的距

15、離為間的距離為 m m. .【分析】利用三角形的中位線定理計算即可【分析】利用三角形的中位線定理計算即可三角形的中位線定理中，既涉及位置關系三角形的中位線定理中，既涉及位置關系平行，又平行，又涉及數量關系涉及數量關系倍分當圖形中出現多個線段中點時，倍分當圖形中出現多個線段中點時，往往連接兩個中點構建三角形的中位線往往連接兩個中點構建三角形的中位線7 7(2014(2014河北河北) )如圖，如圖，ABCABC中，中，D D，E E分別是邊分別是邊ABAB，ACAC的中點若的中點若DEDE2 2，則，則BCBC( )( )A A2 B2 B3 C3 C4 D4 D5 5C C8 8(2015(2

16、015河北河北) )如圖，點如圖，點A A，B B為定點，定直線為定點，定直線lABAB，P P是是l上一動點，點上一動點，點M M，N N分別為分別為PAPA，PBPB的中點，對于的中點，對于下列各值：下列各值：線段線段MNMN的長；的長；PABPAB的周長；的周長；PMNPMN的面積；的面積；直線直線MNMN，ABAB之間的距離；之間的距離；APBAPB的大小的大小其中會隨點其中會隨點P P的移動而變化的是的移動而變化的是( )( )A A B B C C D DB B考點四考點四 全等三角形的性質與判定全等三角形的性質與判定 (5(5年年5 5考考) ) (2016 (2016河北河北)

17、 )如圖，點如圖，點B B，F F，C C，E E在直線在直線l l上上(F(F，C C之間不能直接測量之間不能直接測量) )，點，點A A，D D在在l l異側，測得異側，測得ABABDEDE，ACACDFDF，BFBFEC.EC.(1)(1)求證：求證：ABCABCDEFDEF；(2)(2)指出圖中所有平行的線段，并說明理由指出圖中所有平行的線段，并說明理由 【分析】【分析】 (1)(1)先證明先證明BCBCEFEF，再利用判定定理，再利用判定定理SSSSSS即可即可證明全等；證明全等；(2)(2)首先根據全等三角形的性質得出角相等，首先根據全等三角形的性質得出角相等，然后證明對應線段平行

18、即可然后證明對應線段平行即可講：應用全等三角形性質與判定的誤區(qū)講：應用全等三角形性質與判定的誤區(qū) 在解答與全等三角形的性質與判定有關的問題時，注在解答與全等三角形的性質與判定有關的問題時，注意以下兩點：意以下兩點：(1)(1)在判定兩個三角形全等或應用其性質時，在判定兩個三角形全等或應用其性質時，要找對對應邊、對應角；要找對對應邊、對應角；(2)(2)當兩個三角形具備當兩個三角形具備“SSSSA”A”條條件時，兩個三角形不一定全等件時，兩個三角形不一定全等練：鏈接變式訓練練：鏈接變式訓練10109 9(2017(2017邯鄲一模邯鄲一模) )如圖，如圖，ABCABC和和EFCEFC都是等腰直都

19、是等腰直角三角形，角三角形，ACBACBECFECF9090，點，點E E在在ABAB邊上邊上(1)(1)求證：求證：ACEACEBCFBCF；(2)(2)若若BFEBFE6060，求，求AECAEC的度數的度數(1)(1)證明：證明：ACBACBECFECF9090，ACEACEBCF.BCF.CACACBCB，CECECFCF，ACEACEBCF.BCF.(2)(2)解：解：EFCEFC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，EFCEFC4545. .BFEBFE6060，BFCBFC105105. .又又ACEACEBCFBCF，AECAECBFCBFC105105. .1010(2017(

20、2017長安區(qū)二模長安區(qū)二模) )如圖，在正方形如圖，在正方形ABCDABCD中，點中，點E E在在邊邊CDCD上，連接上，連接BEBE，AQBEAQBE于點于點Q Q，DPAQDPAQ于點于點P.P.(1)(1)求證：求證：APAPBQBQ；(2)(2)圖中，除了圖中，除了AQAQAPAPPQPQ外，請你再寫出三對線段，使外，請你再寫出三對線段，使得每對線段長度的差都等于線段得每對線段長度的差都等于線段PQPQ的長，將滿足要求的線的長，將滿足要求的線段填在下面的橫線上段填在下面的橫線上( (不添加輔助線不添加輔助線) )： PQPQ； PQPQ； PQ.PQ.(1)(1)證明：證明：四邊形四邊形ABCDABCD是正方形，是正方形，ABABDADA，BADBAD9090，BAQBAQDAPDAP9090. .DPAQDPAQ，AQBEAQBE，BQABQAAPDAPD9090. .ADPADPDAPDAP9090，ADPADPBAQ.BAQ.ABQABQDAPDAP，APAPBQ.BQ.(2)(2)解：由解：由(1)(1)知知ABQABQDAPDAP，AQAQDPDP，APAPBQ.BQ.AQAQAPAPPQPQ，DPDPAPAPPQPQ，DPDPBQBQPQPQ，AQAQBQBQPQ.PQ.