《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第二章 等式與不等式 2.2.4.1 均值不等式及其應(yīng)用練習(xí)（含解析）新人教B版必修第一冊(cè)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第二章 等式與不等式 2.2.4.1 均值不等式及其應(yīng)用練習(xí)（含解析）新人教B版必修第一冊(cè)（9頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、2.2.4　均值不等式及其應(yīng)用 最新課程標(biāo)準(zhǔn)：掌握基本不等式≤(a，b≥0)．結(jié)合具體實(shí)例，能用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大值或最小值問(wèn)題. 知識(shí)點(diǎn)一　數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式 1．?dāng)?shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式 一般地，如果A(a)，B(b)，則線段AB的長(zhǎng)為AB＝|a－b|. 2．中點(diǎn)坐標(biāo)公式 如果線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為x.若a0，b>0)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．其中和分別叫做

2、正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)． 　基本不等式≤(a，b∈R＋)的應(yīng)用： (1)兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)，它們的積有最大值，即若a>0，b>0，且a ＋b＝M，M為定值，則ab≤，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立．即：a ＋b＝M，M為定值時(shí)，(ab)max＝. (2)兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí)，它們的和有最小值，即若a>0，b>0，且ab ＝P，P為定值，則a ＋b≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a ＝b時(shí)等號(hào)成立． [基礎(chǔ)自測(cè)] 1．已知a，b∈R，且ab>0，則下列結(jié)論恒成立的是(　　) A．a(chǎn)2＋b2>2ab　B．a(chǎn)＋b≥2 C.＋> D.＋≥2 解析：對(duì)于A，當(dāng)a＝b時(shí)，a2＋b2＝2ab，

3、所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，C，雖然ab>0，只能說(shuō)明a，b同號(hào)，當(dāng)a，b都小于0時(shí)，B，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)閍b>0，所以>0，>0，所以＋≥2 ，即＋≥2成立． 答案：D 2．若a>1，則a＋的最小值是(　　) A．2 B．a(chǎn) C. D．3 解析：a>1，所以a－1>0， 所以a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝3. 當(dāng)且僅當(dāng)a－1＝即a＝2時(shí)取等號(hào)． 答案：D 3．下列不等式中，正確的是(　　) A．a(chǎn)＋≥4 B．a(chǎn)2＋b2≥4ab C.≥ D．x2＋≥2 解析：a<0，則a＋≥4不成立，故A錯(cuò)；a＝1，b＝1，a2＋b2<4ab，故B錯(cuò)，a＝4，b＝16，則

4、<，故C錯(cuò)誤；由基本不等式可知D項(xiàng)正確． 答案：D 4．已知x，y都是正數(shù)． (1)如果xy＝15，則x＋y的最小值是________． (2)如果x＋y＝15，則xy的最大值是________． 解析：(1)x＋y≥2＝2，即x＋y的最小值是2；當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝時(shí)取最小值． (2)xy≤2＝2＝， 即xy的最大值是. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝時(shí)xy取最大值． 答案：(1)2　(2) 第1課時(shí)　基本不等式 題型一　對(duì)基本不等式的理解[經(jīng)典例題] 例1　(1)下列不等式中，不正確的是(　　) A.a2＋b2≥2|a||b| B.≥2a－b(b≠0) C.2≥

5、－1(b≠0) D．2(a2＋b2)≥(a＋b)2 (2)給出下列命題： ①若x∈R，則x＋≥2； ②若a<0，b<0，則ab＋≥2； ③不等式＋≥2成立的條件是x>0且y>0.其中正確命題的序號(hào)是________． 【解析】　(1)A中，a2＋b2＝|a|2＋|b|2≥2|a||b|，所以A正確．由a2＋b2≥2ab，得a2≥2ab－b2.B中，當(dāng)b<0時(shí)，≤2a－b，所以B不正確．C中，b≠0，則2≥－1，所以C正確．D中，由a2＋b2≥2ab，得2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2，所以D正確． 1．舉反例、基本不等式?逐個(gè)判斷． 2．明確基本不等式成立的條

6、件?逐個(gè)判斷． 【答案】(1)B　 【解析】(2)只有當(dāng)x>0時(shí)，才能由基本不等式得到x＋≥2＝2，故①錯(cuò)誤；當(dāng)a<0，b<0時(shí)，ab>0，由基本不等式可得ab＋≥2＝2，故②正確；由基本不等式可知，當(dāng)>0，>0時(shí)，有＋≥2＝2成立，這時(shí)只需x與y同號(hào)即可，故③錯(cuò)誤． 基本不等式的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn) (1)正數(shù)：指式子中的a，b均為正數(shù)， (2)相等：即“＝”成立的條件． 【答案】(2)② 跟蹤訓(xùn)練1　設(shè)0

7、b<2b?a<0，求y＝x＋的最小值，并說(shuō)明x為何值時(shí)y取得最小值． 【解析】　因?yàn)閤>0，所以根據(jù)均值不等式有 x＋≥2＝2， 其中等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x2＝1，解得x＝1或x＝－1(舍)． 因此x＝1時(shí)，y取得最小值2. 教材反思 1．利用基本不等式求最值的策略 2．通過(guò)消元法利用基本不等式求最值的方法 消元法，即根據(jù)條件建立兩個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解．有時(shí)會(huì)出現(xiàn)多元

8、的問(wèn)題，解決方法是消元后利用基本不等式求解． 特別提醒：利用基本不等式求函數(shù)最值，千萬(wàn)不要忽視等號(hào)成立的條件． 跟蹤訓(xùn)練2　(1)已知x>0，y>0，且x＋y＝8，則 (1＋x)(1＋y)的最大值為(　　) A．16　　B．25 C．9 D．36 (2)若正實(shí)數(shù)x，y滿足x＋2y＋2xy－8＝0，則x＋2y的最小值(　　) A．3 B．4 C. D. 解析：(1)因?yàn)閤>0，y>0，且x＋y＝8， 所以(1＋x)(1＋y)＝1＋x＋y＋xy＝9＋xy≤9＋2＝9＋42＝25， 因此當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝4時(shí)， (1＋x)·(1＋y)取最大值2

9、5. (2)因?yàn)檎龑?shí)數(shù)x，y滿足x＋2y＋2xy－8＝0， 所以x＋2y＋2－8≥0. 設(shè)x＋2y＝t>0， 所以t＋t2－8≥0， 所以t2＋4t－32≥0， 即(t＋8)(t－4)≥0， 所以t≥4， 故x＋2y的最小值為4. 答案：(1)B　(2)B 1．展開(kāi)(1＋x)(1＋y)?將x＋y＝8代入?用基本不等式求最值． 2．利用基本不等式得x＋2y＋2－8≥0?設(shè)x＋2y＝t>0，解不等式求出x＋2y的最小值． 易錯(cuò)點(diǎn)　利用基本不等式求最值　 例　若正數(shù)x，y滿足x＋3y＝5xy，則3x＋4y的最小值是(　　) A.　　　B. C．5 D．6

10、 【錯(cuò)解】　由x＋3y＝5xy?5xy≥2， 因?yàn)閤>0，y>0，所以25x2y2≥12xy，即xy≥. 所以3x＋4y≥2≥2＝， 當(dāng)且僅當(dāng)3x＝4y時(shí)取等號(hào)， 故3x＋4y的最小值是. 錯(cuò)誤的根本原因是忽視了兩次使用基本不等式，等號(hào)成立的條件必須一致． 【正解】　由x＋3y＝5xy可得＋＝1，所以3x＋4y＝(3x＋4y)＝＋＋＋≥＋2＝＋＝5， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝1，y＝時(shí)取等號(hào)， 故3x＋4y的最小值是5. 【答案】　C 課時(shí)作業(yè) 13 一、選擇題 1．給出下列條件：①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0，其中能使＋≥2成

11、立的條件有(　　) A．1個(gè)　B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 解析：當(dāng)，均為正數(shù)時(shí)，＋≥2，故只須a、b同號(hào)即可，∴①③④均可以． 答案：C 2．已知t>0，則y＝的最小值為(　　) A．－1 B．－2 C．2 D．－5 解析：依題意得y＝t＋－4≥2－4＝－2，等號(hào)成立時(shí)t＝1，即函數(shù)y＝(t>0)的最小值是－2. 答案：B 3．若a≥0，b≥0，且a＋b＝2，則(　　) A．a(chǎn)b≤ B．a(chǎn)b≥ C．a(chǎn)2＋b2≥2 D．a(chǎn)2＋b2≤3 解析：∵a2＋b2≥2ab， ∴(a2＋b2)＋(a2＋b2)≥(a2＋b2)＋2ab， 即2(a2＋b2)

12、≥(a＋b)2＝4， ∴a2＋b2≥2. 答案：C 4．若a，b都是正數(shù)，則的最小值為(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 解析：因?yàn)閍，b都是正數(shù)，所以＝5＋＋≥5＋2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)b＝2a>0時(shí)取等號(hào)． 答案：C 二、填空題 5．不等式a2＋1≥2a中等號(hào)成立的條件是________． 解析：當(dāng)a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0時(shí)“＝”成立，此時(shí)a＝1. 答案：a＝1 6．設(shè)a＋b＝M(a>0，b>0)，M為常數(shù)，且ab的最大值為2，則M等于________． 解析：因?yàn)閍＋b＝M(a>0，b>0)， 由基本不等式可得，ab≤2＝， 因?yàn)閍b的最大值

13、為2， 所以＝2，M>0，所以M＝2. 答案：2 7．已知x>0，y>0，且＋＝1，則3x＋4y的最小值是________． 解析：因?yàn)閤>0，y>0，＋＝1， 所以3x＋4y＝(3x＋4y)＝13＋＋≥13＋3×2＝25(當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y＝5時(shí)取等號(hào))， 所以(3x＋4y)min＝25. 答案：25 三、解答題 8．已知x<，求f(x)＝4x－2＋的最大值． 解析：因?yàn)閤<，所以4x－5<0,5－4x>0. f(x)＝4x－5＋3＋＝－＋3 ≤－2＋3＝1. 當(dāng)且僅當(dāng)5－4x＝時(shí)等號(hào)成立， 又5－4x>0， 所以5－4x＝1，x＝1. 所以f(x)max＝f(1)＝1. 9．已知函數(shù)f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3時(shí)取得最小值，求a的值． 解析：因?yàn)閒(x)＝4x＋≥2＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)4x＝，即4x2＝a時(shí)，f(x)取得最小值． 又因?yàn)閤＝3，所以a＝4×32＝36. [尖子生題庫(kù)] 10．已知x∈，求函數(shù)y＝＋的最小值． 解析：y＝＋＝·(2x＋1－2x)＝10＋2·＋8·， 而x∈，2·＋8·≥2＝8， 當(dāng)且僅當(dāng)2·＝8·， 即x＝∈時(shí)取到等號(hào)，則y≥18， 所以函數(shù)y＝＋的最小值為18. - 9 -