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1、五　解析幾何(A) 1.(2018·江西九江模擬)給定橢圓C:+=1(a>b>0),稱圓心在原點O,半徑為的圓是橢圓C的“準圓”.若橢圓C的一個焦點為F(,0),其短軸上的一個端點到F的距離為. (1)求橢圓C的方程和其“準圓”方程; (2)點P是橢圓C的“準圓”上的一個動點,過點P作直線l1,l2,使得l1,l2與橢圓C都只有一個公共點,且l1,l2分別交其“準圓”于點M,N. ①當P為“準圓”與y軸正半軸的交點時,求l1,l2的方程; ②求證:|MN|為定值. 2.(2018·武侯區(qū)校級模擬)已知橢圓C的左右頂點分別為A,B,A點坐標為(-,0),P為橢圓C

2、上不同于A,B的任意一點,且滿足kAP·kBP=-. (1)求橢圓C的方程; (2)設(shè)F為橢圓C的右焦點,直線PF與橢圓C的另一交點為Q,PQ的中點為M,若|OM|=|QM|,求直線PF的斜率. 3.已知拋物線C頂點為原點,其焦點F(0,c)(c>0)到直線l:x-y-2=0的距離為,設(shè)P為直線l上的點,過點P作拋物線C的兩條切線PA,PB,其中A,B為切點. (1)求拋物線C的方程; (2)當點P(x0,y0)為直線l上的定點時,求直線AB的方程; (3)當點P在直線l上移動時,求|AF|·|BF|的最小值. 4.(2018·紅橋區(qū)一模)已知橢圓

3、C:+=1(a>b>0)的離心率為,橢圓C與y軸交于A,B兩點,且|AB|=2. (1)求橢圓C的方程; (2)設(shè)點P是橢圓C上的一個動點,且點P在y軸的右側(cè).直線PA,PB與直線x=4分別交于M,N兩點.若以MN為直徑的圓與x軸交于兩點E,F,求點P橫坐標的取值范圍及|EF|的最大值. 1.(1)解:由題意知c=,a=,所以b=1. 所以橢圓的方程為+y2=1, “準圓”的方程為x2+y2=4. (2)①解:因為“準圓”x2+y2=4與y軸正半軸的交點為P(0,2), 設(shè)過點P(0,2),且與橢圓有一個公共點的直線為y=kx+2, 聯(lián)立方程組 消去y, 得到(

4、1+3k2)x2+12kx+9=0, 因為橢圓與y=kx+2只有一個公共點, 所以Δ=144k2-4×9(1+3k2)=0, 解得k=±1. 所以l1,l2的方程分別為y=x+2,y=-x+2. ②證明:a.當l1,l2中有一條無斜率時,不妨設(shè)l1無斜率,因為l1與橢圓只有一個公共點, 則其方程為x=或x=-. 當l1的方程為x=時,此時l1與準圓交于點(,1),(,-1), 此時經(jīng)過點(,1)(或(,-1))且與橢圓只有一個公共點的直線是y=1(或y=-1), 即l2為y=1(或y=-1),顯然直線l1,l2垂直; 同理可證l1方程為x=-時,直線l1,l2垂直. b.

5、當l1,l2都有斜率時,設(shè)點P(x0,y0),其中+=4, 設(shè)經(jīng)過點P(x0,y0)與橢圓只有一個公共點的直線為y=t(x-x0)+y0, 聯(lián)立方程組 消去y得到x2+3[tx+(y0-tx0)]2-3=0, 即(1+3t2)x2+6t(y0-tx0)x+3(y0-tx0)2-3=0, Δ=[6t(y0-tx0)]2-4·(1+3t2)[3(y0-tx0)2-3]=0, 經(jīng)過化簡得到(3-)t2+2x0y0t+1-=0, 因為+=4, 所以有(3-)t2+2x0y0t+(-3)=0, 設(shè)l1,l2的斜率分別為t1,t2, 因為l1,l2與橢圓都只有一個公共點, 所以t1,

6、t2滿足上述方程(3-)t2+2x0y0t+(-3)=0, 所以t1·t2==-1, 即l1,l2垂直. 綜合a和b知l1,l2垂直, 因為l1,l2經(jīng)過點P(x0,y0),又分別交其“準圓”于點M,N,且l1,l2垂直, 所以線段MN為“準圓”x2+y2=4的直徑, 所以|MN|=4. 2.解:(1)設(shè)P(x,y)(x≠±), 所以kAP·kBP=-,所以·=-, 整理得+y2=1(x≠±), 因為A,B兩點在橢圓上, 所以橢圓C的方程為+y2=1. (2)由題可知,斜率一定存在且k≠0, 設(shè)過焦點F的直線方程為x=my+1,P(x1,y1),Q(x2,y2),M(

7、x0,y0), 聯(lián)立則(m2+2)y2+2my-1=0, 所以所以 所以|OM|=, 而|QM|=|PQ| =· =· =·. 因為|OM|=|QM|, 所以=·, 所以m2=,所以k2=2,所以k=±. 因此,直線PF的斜率為±. 3.解:(1)因為拋物線C的焦點F(0,c)(c>0)到直線l:x-y-2=0的距離為, 所以=, 得c=1, 所以F(0,1),即拋物線C的方程為x2=4y. (2)設(shè)切點A(x1,y1),B(x2,y2), 由x2=4y得y′=x, 所以切線PA:y-y1=x1(x-x1), 有y=x1x-+y1, 而=4y1, 即切

8、線PA:y=x1x-y1, 同理可得切線PB:y=x2x-y2. 因為兩切線均過定點P(x0,y0), 所以y0=x1x0-y1,y0=x2x0-y2, 由此兩式知點A,B均在直線y0=xx0-y上, 所以直線AB的方程為y0=xx0-y, 即y=x0x-y0. (3)設(shè)點P的坐標為(x′,y′), 由x′-y′-2=0, 得x′=y′+2, 則|AF|·|BF|=· =· =· =(y1+1)·(y2+1) =y1y2+(y1+y2)+1. 由 得y2+(2y′-x′2)y+y′2=0, 有y1+y2=x′2-2y′,y1y2=y′2, 所以|AF|·|B

9、F|=y′2+x′2-2y′+1 =y′2+(y′+2)2-2y′+1 =2(y′+)2+, 當y′=-,x′=時, 即P(,-)時,|AF|·|BF|取得最小值. 4.解:(1)由題意可得,2b=2,即b=1, e==,得=, 解得a2=4, 橢圓C的標準方程為+y2=1. (2)法一　設(shè)P(x0,y0)(0

10、為(x-4)2+(y-)2=(1-)2, 令y=0,則(x-4)2+=(1-)2, 因為+=1,所以=-, 所以(x-4)2+-5=0, 設(shè)交點坐標為(x1,0),(x2,0), 可得x1=4+,x2=4-, 因為這個圓與x軸相交,該方程有兩個不同的實數(shù)解, 所以5->0,解得x0∈(,2]. 則|x1-x2|=2(0,解得x0∈(,2]. 該圓的直徑為 |-1-[+1] |=|2-|, 圓心到x軸的距離為 |-1+[+1]|=||, 該圓在x軸上截得的弦長為2=2(