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1、專題27 直線、平面垂直的判定和性質(zhì)
一、考綱要求:
1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點,認識和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理.
2.能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡單命題.
二、概念掌握及解題上的注意點:
1.證明直線和平面垂直的常用方法
(1))利用判定定理.
(2))利用判定定理的推論(a∥b,a⊥α?b⊥α).
(3))利用面面平行的性質(zhì)(a⊥α,α∥β?a⊥β).
(4))利用面面垂直的性質(zhì).
當兩個平面垂直時,在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面.
(5))重視平面幾何知識,特別是勾股定理的應用.
2.面面垂
2、直的兩種證明方法
(1)定義法:利用面面垂直的定義,即判定兩平面所成的二面角為直二面角,將證明面面垂直問題轉(zhuǎn)化為證明平面角為直角的問題.
(2)定理法:利用面面垂直的判定定理,即證明其中一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線,把問題轉(zhuǎn)化成證明線線垂直加以解決.
3.三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化
4.平行與垂直的綜合應用問題的主要數(shù)學思想和處理策略
(1))處理平行與垂直的綜合問題的主要數(shù)學思想是轉(zhuǎn)化,要熟練掌握線線、線面、面面之間的平行與垂直的轉(zhuǎn)化.
(2))探索性問題一般是先根據(jù)條件猜測點的位置再給出證明,探索點的存在問題,點多為中點或三等分點中的某一個,也可以根據(jù)相似知識找點.
三、高考
3、考題題例分析:
例1.(2018課標卷I節(jié)選)如圖,四邊形ABCD為正方形,E,F(xiàn)分別為AD,BC的中點,以DF為折痕把△DFC折起,使點C到達點P的位置,且PF⊥BF.
(1)證明:平面PEF⊥平面ABFD;
(
【答案】見解析
例2.(2018課標II節(jié)選) 如圖,在三棱錐P﹣ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O為AC的中點.
(1)證明:PO⊥平面ABC;
【答案】見解析
【解析】:(1)證明:∵AB=BC=2,O是AC的中點,
∴BO⊥AC,且BO=2,
又PA=PC=PB=AC=2,
∴PO⊥AC,PO=2,
則PB2=PO2+BO
4、2,
則PO⊥OB,
∵OB∩AC=O,
∴PO⊥平面ABC;
例3.(2018課標卷III節(jié)選)如圖,邊長為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧所在平面垂直,M是上異于C,D的點.
(1)證明:平面AMD⊥平面BMC;
【答案】見解析
例4.(2018北京卷節(jié)選)如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,D,E,F(xiàn),G分別為AA1,AC,A1C1,BB1的中點,AB=BC=,AC=AA1=2.
(Ⅰ)求證:AC⊥平面BEF;
【答案】見解析
【解析】(I)證明:∵E,F(xiàn)分別是AC,A1C1的中點,∴EF∥CC1,
∵CC1⊥平面ABC
5、,∴EF⊥平面ABC,
又AC?平面ABC,∴EF⊥AC,
∵AB=BC,E是AC的中點,
∴BE⊥AC,
又BE∩EF=E,BE?平面BEF,EF?平面BEF,
∴AC⊥平面BEF.
3.已知在空間四邊形ABCD中,AD⊥BC,AD⊥BD,且△BCD是銳角三角形,則必有 ( )
A.平面ABD⊥平面ADC B.平面ABD⊥平面ABC
C.平面ADC⊥平面BDC D.平面ABC⊥平面BDC
4.設a,b是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,則能得出a⊥b的是 ( )
A.a(chǎn)⊥α,b∥β,α⊥β B.a(chǎn)⊥α,b⊥β,α∥β
C.a(chǎn)?α,b⊥β,α∥β
6、 D.a(chǎn)?α,b∥β,α⊥β
【答案】C
【解析】:選C 對于C項,由α∥β,a?α可得a∥β,又b⊥β,得a⊥b,故選C.
5.如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,P為△ABC所在平面外一點,PA⊥平面ABC,則四面體P -ABC中直角三角形的個數(shù)為( )
A.4 B.3
C.2 D.1
【答案】A
【解析】:選A 由PA⊥平面ABC可得△PAC,△PAB是直角三角形,且PA⊥BC.又∠ABC=90°,所以△ABC是直角三角形,且BC⊥平面PAB,所以BC⊥PB,即△PBC為直角三角形,故四面體P -ABC中共有4個直角三角形.
6.如圖,O為正方體ABCD-A
7、1B1C1D1的底面ABCD的中心,則下列直線中與B1O垂直的是 ( )
A.A1D
B.AA1
C.A1D1
D.A1C1
【答案】D
【解析】 易知AC⊥平面BB1D1D.
∵A1C1∥AC,∴A1C1⊥平面BB1D1D.
又B1O?平面BB1D1D,∴A1C1⊥B1O,故選D.
7.設α,β為兩個不同的平面,直線l?α,則“l(fā)⊥β”是“α⊥β”成立的 ( )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C
8、.充要條件
D.既不充分也不必要條件
【答案】A
8.已知m和n是兩條不同的直線,α和β是兩個不重合的平面,下面給出的條件中一定能推出m⊥β的是 ( )
A.α⊥β且m?α B.α⊥β且m∥α
C.m∥n且n⊥β D.m⊥n且n∥β
【答案】C
【解析】 對于選項A,α⊥β且m?α,可得m∥β或m與β相交或m?β,故A不成立;對于選項B,α⊥β且m∥α,可得m?β或m∥β或m與β相交,故B不成立;對于選項C,m∥n且n⊥β,則m⊥β,故C正確;對于選
9、項D,由m⊥n且n∥β,可得m∥β或m與β相交或m?β,故D不成立,故選C.
9.設a,b是夾角為30°的異面直線,則滿足條件“a?α,b?β,且α⊥β”的平面α,β( )
A.不存在 B.有且只有一對
C.有且只有兩對 D.有無數(shù)對
【答案】D
10.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱CD的中點,則 ( )
A.A1E⊥DC1 B.A1E⊥BD
C.A1E⊥BC1 D.A1E⊥AC
【答案】C
【解析】 如圖,∵A1E在平面ABCD上的投影為AE,而AE不與AC,BD垂直,∴B,D錯;
∵A1E在平面BC
10、C1B1上的投影為B1C,且B1C⊥BC1,
∴A1E⊥BC1,故C正確;
(證明:由條件易知,BC1⊥B1C,BC1⊥CE,又CE∩B1C=C,
∴BC1⊥平面CEA1B1.又A1E?平面CEA1B1,∴A1E⊥BC1)
∵A1E在平面DCC1D1上的投影為D1E,而D1E不與DC1垂直,故A錯.
故選C.
11.如圖,在正方形ABCD中,E、F分別是BC、CD的中點,G是EF的中點,現(xiàn)在沿AE、AF及EF把這個正方形折成一個空間圖形,使B、C、D三點重合,重合后的點記為H,那么,在這個空間圖形中必有
11、 ( )
A.AG⊥平面EFH B.AH⊥平面EFH
C.HF⊥平面AEF D.HG⊥平面AEF
【答案】B
12.如圖,在正方形ABCD中,E,F(xiàn)分別是BC,CD的中點,沿AE,AF,EF把正方形折成一個四面體,使B,C,D三點重合,重合后的點記為P,P點在△AEF內(nèi)的射影為O,則下列說法正確的是 ( )
A.O是△AEF的垂心
B.O是△AEF的內(nèi)心
12、
C.O是△AEF的外心
D.O是△AEF的重心
【答案】A
【解析】 由題意可知PA,PE,PF兩兩垂直,
所以PA⊥平面PEF,從而PA⊥EF,
而PO⊥平面AEF,則PO⊥EF,因為PO∩PA=P,
所以EF⊥平面PAO,
所以EF⊥AO,同理可知AE⊥FO,AF⊥EO,
所以O為△AEF的垂心.
二、填空題
13.如圖,∠BAC=90°,PC⊥平面ABC,則在△ABC,△PAC的邊所在的直線中,與PC垂直的直線是________;與AP垂直的直線是________.
【答案】AB,BC,AC;AB
【解析】∵PC⊥平面ABC,
∴PC垂直于直線AB,BC,AC.
∵AB⊥AC,AB⊥PC,AC∩PC=C,
∴AB⊥平面PAC,
∴AB⊥AP,故與AP垂直的直線是AB.
22.如圖,高為1的等腰梯形ABCD中,AM=CD=AB=1,M為AB的三等分點.現(xiàn)將△AMD沿MD折起,使平面AMD⊥平面MBCD,連接AB,AC.
(1)在AB邊上是否存在點P,使AD∥平面MPC,請說明理由;
(2)當點P為AB邊中點時,求點B到平面MPC的距離.
【答案】見解析
在△MPC中,MP=AB=,
MC=,PC==,
∴S△MPC=××=.
∴點B到平面MPC的距離為==.
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