《2020年高考數(shù)學一輪總復習 三角函數(shù)、三角形、平面向量 專題20 平面向量的解題技法 文（含解析）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020年高考數(shù)學一輪總復習 三角函數(shù)、三角形、平面向量 專題20 平面向量的解題技法 文（含解析）（15頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、專題16 平面向量的解題技法 一、本專題要特別小心： 1.平面向量的幾何意義應用 2. 平面向量與三角形的心 3. 向量垂直的應用 4.向量的數(shù)量積問題等綜合問題 5. 向量夾角為銳角、鈍角時注意問題 6.向量數(shù)量積在解析幾何中應用 7.向量數(shù)量積在三角形中的應用。 二．【學習目標】 1．會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題． 2．會用向量方法解決簡單的力學問題與其他一些實際問題 三．【方法總結(jié)】 1.用向量解決平面幾何問題的步驟 (1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題； (2)通過向量運算，研究幾何元素之

2、間的關(guān)系，如距離、夾角等問題； (3)把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系. 2.應用向量解決問題的關(guān)鍵是要構(gòu)造合適的向量，觀察條件和結(jié)構(gòu)，選擇使用向量的某些性質(zhì)解決相應的問題，如用數(shù)量積解決垂直、夾角問題，用三角形法則、模長公式解決平面幾何線段長度問題，用向量共線解決三點共線問題等，總之，要應用向量，如果題設條件中有向量，則可以聯(lián)想性質(zhì)直接使用，如果沒有向量，則更需要有向量工具的應用意識，強化知識的聯(lián)系，善于構(gòu)造向量解決問題. 3.幾點注意事項 (1)在處理三點共線問題時，轉(zhuǎn)化為兩個向量共線解決，需說明兩個向量有公共點，兩直線不能平行，只能重合. (2)在解決夾角問題時，應注意向量的方向，

3、向量的夾角與所求角可能相等，也可能互補. (3)證明垂直問題一般要經(jīng)過向量的運算得到數(shù)量積a·b＝0，盡量用坐標運算. 四．【題型方法】 （一）平面向量的幾何意義法 例1. 如圖，AB，CD是半徑為1的圓O的兩條直徑，，則的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ,選B. 練習1. 如圖，平行四邊形ABCD的對角線相交于點O，E是OD的中點，AE的延長線與CD相交于點若，，，則( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，， ， 為直角三角形，且，， 平行行四邊形ABCD的對角線相交于點O，E是OD的中點

4、， ，，∴ ，， ， 故選：D． 練習2.已知D，E，F(xiàn)分別是△ABC的邊BC，CA，AB的中點，且，，則①＝－－；②＝＋；③＝－＋；④＋＋＝0.其中正確的等式的個數(shù)為( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】 ①如圖可知＝＋＝＋＝－－＝－－，故①正確． ②＝＋＝＋＝＋，故②正確． ③＝＋＝＋＝＋(－－)＝－＋，故③正確． ④＋＋＝－＋＋＝－(＋)＋＋ ＝－(＋)＋＋－＋＝0，故④正確． 故選：D. （二）平面向量坐標法 例2. 如圖，圓是邊長為的等邊三角形的內(nèi)切圓，其與邊相切于點，點為圓上任意一點， ，則的最大值為（ ）

5、 A． B． C．2 D． 【答案】C 【解析】以D點為原點，BC所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立坐標系， 設內(nèi)切圓的半徑為1，以（0，1）為圓心，1為半徑的圓； 根據(jù)三角形面積公式得到， 可得到內(nèi)切圓的半徑為 可得到點的坐標為： 故得到 故得到 ， 故最大值為：2. 故答案為：C. 練習1. 如圖，在正方形ABCD中，E為AB的中點，P為以A為圓心、AB為半徑的圓弧上的任意一點，設向量＝λ＋μ，則λ＋μ的最小值為( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以A為原點，以AB所在的直線為x軸，建立直角坐標系，設正方

6、形ABCD的邊長為1， 則C（1，1），D（0，1），A（0，0），B（1，0）． E為AB的中點，得 設 P（cosθ，sinθ），∴＝（1，1）． 再由向量＝λ（，﹣1）+μ（cosθ，sinθ）＝（+μcosθ，﹣λ+μsinθ ）＝（1，1）， ∴， ∴．由題意得． ,得＝0，故λ+μ在[0，]上是增函數(shù)， 當θ＝0時，即cosθ＝1，這時λ+μ取最小值為， 當θ＝時，即cosθ＝0，這時λ+μ取最大值為， 故λ+μ的取值范圍為[，5] 故選：B． 練習2. 已知，，，，為外接圓上的一動點，且，則的最大值是（　?。? A． B． C． D． 【答案】B 【解

7、析】以的中點為原點，以為軸，建立如圖所示的平面直角坐標系， 則外接圓的方程為， 設的坐標為，過點作垂直軸，∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵，∴ ∴，， ∴，， ∴，其中，， 當時，有最大值，最大值為， 故選：B． 練習3.已知正方形ABCD的邊長為1，動點P滿足，若，則的最大值為　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】以A為原點建立如圖所示的直角坐標系： 則，，，，設， ,則由得，化簡得：，又，，，，表示圓上的點到原點的距離得平方，其最大值等于圓心到原點的距離加半徑的平方，即， 故選：C． 練習4.如圖,原點是內(nèi)一點,頂點在

8、上, , , , , ,若,則（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】建立如圖所示的直角坐標系，則A（2，0），B（﹣，），C（﹣，﹣）， 因為，由向量相等的坐標表示可得：，得 ，即＝， 故選：D． 練習5.點是平行四邊形所在平面上一點，且，若，，，則__________． 【答案】 【解析】 方法一：如圖，以為軸建立直角坐標系，由題意可得各點坐標如下：，，，，設，因為，所以，所以解得即，所以，，所以 ． 方法二：因為，所以，所以，所以 ； ．所以 （三）平面向量基本定理綜合應用 例3.已知A、B、P三點共線，O為任意一點，若求證；

9、如圖所示，已知中，點B關(guān)于點A的對稱點為C，D在線段OB上，且，DC和OA相交于點設，．若，求實數(shù)的值． 【答案】（1）見解析；（2）= 【解析】證明：、B、P三點共線，可設， ， 又，，； 解：由C、D、E三點共線，可設，， ，又， ， ， ，而， ， ，解得， 故實數(shù)=． 練習1. 如圖，在中，D為BC的中點，G為AD的中點，過點G任作一直線MN分別交AB，AC于M，N兩點，若，，試問：是否為定值？ 【答案】見解析. 【解析】設，， 則，，． 所以，. 因為與共線，且不共線，所以有 即，得，所以為定值． （四）向量綜合 例4.如圖所示，

10、在中，，點在線段上，設，，，則的最小值為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】．∵，，三點共線， ∴．即．由圖可知．∴． 令，得， 令得或（舍）． 當時，，當時，． ∴當時，取得最小值. 故選：D． 練習1,。如圖，已知正方形的邊長為2，點為的中點．以為圓心，為半徑，作弧交于點．若為劣弧上的動點，則的最小值為__________． 【答案】 【解析】如圖，以A為原點，邊AB，AD所在直線為x，y軸建立平面直角坐標系，則： A（0，0），C（2，2），D（0，2），設P（cosθ，sinθ） ∴?（﹣cosθ，2﹣sinθ） ＝（2﹣co

11、sθ）（﹣cosθ）+（2﹣sinθ）2 ＝5﹣2（cosθ+2sinθ）sin（θ+φ），tanφ； ∴sin（θ+φ）＝1時，取最小值． 故答案為：5﹣2． 練習2.已知，，為平面上三個不共線的定點，平面上點滿足（是實數(shù)），且是單位向量，則這樣的點有（ ） A．0個 B．1個 C．2個 D．無數(shù)個 【答案】C 【解析】以為原點建立坐標系，設、， 則， 因為，所以， 所以 所以 所以， 因為是單位向量，所以 因為為平面上三個不共線的三點， 所以，顯然有兩解，故滿足條件的有兩個，故選C。 （五）向量與數(shù)學文化 例5.趙爽是我國古代數(shù)學家、天文學家，大

12、約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成的），類比“趙爽弦圖”，可類似地構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，設，則（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】設，因此，又由題意可得， 所以， 因此；延長交于，記，， 則，所以； 又由題意易知，則， 在三角形中，由正弦定理可得， 即，因此， ，所以， 因為，所以，即， 整理得，所以. 故選D （六）向量與解析幾何 例6. 已

13、知拋物線的準線方程為，焦點為為拋物線上不同的三點，成等差數(shù)列，且點B在x軸下方，若,則直線AC的方程為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根據(jù)拋物線的準線可知，故拋物線方程為，焦點坐標為.設，成等差數(shù)列，故，根據(jù)拋物線的定義有，即.將三點坐標代入，得，則，則，由，則.則中點坐標為，即，直線的斜率為.由點斜式得，化簡得.故選D. 練習1. 如圖，半圓O的直徑為2，A為直徑延長線上一點，OA=2，B為半圓上任意一點，以線段AB為腰作等腰直角△ABC（C、O兩點在直線AB的兩側(cè)），當∠AOB變化時，OC≤m恒成立，則m的最小值為______． 【答案】2+1

14、【解析】 解：根據(jù)題意，以O為坐標原點，OA為x軸建立坐標系，如圖： 則A（2，0），設∠AOB=θ，（0≤θ≤π），則B的坐標為（cosθ，sinθ）， 則=（cosθ-2，sinθ）， △ABC為等腰直角三角形，則AC⊥AB且|AC|=|AB|， 又由C、O兩點在直線AB的兩側(cè)，則=（sinθ，2-cosθ）， 則=（2+sinθ，2-cosθ）， 則||2=（2+sinθ）2+（2-cosθ）2=9+4（sinθ-cosθ）=9+4sin（θ-）， 所以當θ=時，||2取得最大值9+4， 則OC的最大值為2+1， 若OC≤m恒成立，則m≥2+1，即m的最小值為2+1； 故答案為：2+1． 15