《2020年高考數學一輪總復習 三角函數、三角形、平面向量 專題14 平面向量的數量積 文（含解析）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2020年高考數學一輪總復習 三角函數、三角形、平面向量 專題14 平面向量的數量積 文（含解析）（21頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、專題14平面向量的數量積 一、本專題要特別小心： 1.平面向量數量積的模夾角公式的應用 2. 平面向量數量積的坐標公式應用問題 3. 向量垂直的應用 4.向量的數量積問題等綜合問題 5. 向量夾角為銳角、鈍角時注意問題 6.向量數量積在解析幾何中應用 7.向量數量積在三角形中的應用。 二．【學習目標】 1．理解平面向量數量積的含義及其物理意義． 2．了解平面向量的數量積與向量投影的關系． 3．掌握數量積的坐標表達式，會進行平面向量數量積的運算． 4．能運用數量積表示兩個向量的夾角及判斷兩個平面向量的垂直關系． 5．會用向量方法解決一些簡單的平面幾何問題及力學問題．

2、 三．【方法總結】 1.要準確理解兩個向量的數量積的定義及幾何意義，熟練掌握向量數量積的五個重要性質及三個運算規(guī)律.向量的數量積的運算不同于實數乘法的運算律，數量積不滿足結合律：(a·b)·c≠a·(b·c)；消去律：a·b＝a·c b＝c；a·b＝0 a＝0或b＝0，但滿足交換律和分配律. 2.公式a·b＝|a||b|cos θ；a·b＝x1x2＋y1y2；|a|2＝a2＝x2＋y2的關系非常密切，必須能夠靈活綜合運用. 3.通過向量的數量積，可以計算向量的長度，平面內兩點間的距離，兩個向量的夾角，判斷相應的兩直線是否垂直. 4.a∥b?x1y2－x2y1＝0與a⊥b?x1x

3、2＋y1y2＝0要區(qū)分清楚. 四．【題型方法】 （一）向量的數量積 例1. 在矩形中，，，點為的中點，點在，若，則的值（　　） A． B．2 C．0 D．1 【答案】A 【解析】建立如圖所示的坐標系，可得，，，， ，， 解得， ，，. 故選A項． 練習1. 在中，，，點是所在平面內的一點，則當取得最小值時， A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，， ，，以A為坐標原點建如圖所示的平面直角坐標系， 則，設，則 ， 所以當x=2，y=1時取最小值，此時. 故選：B. 練習2. 如圖所示，已知點為的重心，，，則的值為__________

4、_. 【答案】72 【解析】連接延長交于， 因為為重心，所以為中點, 且, 因為, 所以， 則 ,故答案為72. （二）向量的投影 例2. 在同一平面內，已知A為動點，B，C為定點，且∠BAC=，，BC=1，P為BC中點．過點P作PQ⊥BC交AC所在直線于Q，則在方向上投影的最大值是（　?。? A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 建立如圖所示的平面直角坐標系，則B（-，0），C（，0），P（0，0）， 由可知，ABC三點在一個定圓上，且弦BC所對的圓周角為，所以圓心角為.圓心在BC的中垂線即軸上，且圓心到直線BC的距離為，即圓心為，半徑為.

5、 所以點A的軌跡方程為：，則 ，則， 由在方向上投影的幾何意義可得：在方向上投影為|DP|=|x|， 則在方向上投影的最大值是，故選：C． 練習1. 已知||=||=，動點滿足，且，則在方向上的投影的取值范圍是（　?。? A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知有=（）?（）=-+（μ-λ）=2λ-2μ， 又2=（）2=4（λ2+μ2+λμ），又2λ+μ=2，所以μ=2-2λ， 則在方向上的投影為==， 令t=3λ-2，則，則f（t）=， ①當t＞0時，f（t）==≤2，即0＜f（t）≤2； ②當t=0時，f（t）=0，③當t＜0時，f（t）=-，即-＜f（

6、t）＜0， 綜合①②③得＜f（t）≤2，即∈（]， 故選A． 練習2. 已知，，且，共線，則向量在方向上的投影為__________． 【答案】 【解析】由與共線得：，解得： 向量在方向上的投影為： 本題正確結果： 練習3. 已知，是夾角為的兩個單位向量，若，，則在方向上的投影等于________． 【答案】 【解析】因為，是夾角為的兩個單位向量 所以 因為，所以 因為，所以 設與的夾角為， 則 所以在方向上的投影等于 練習4.定義兩個非零平面向量的一種新運算，其中表示的夾角，則對于兩個非零平面向量，下列結論一定成立的有（ ） A．在方向上的投影為

7、 B． C． D．若，則與平行 【答案】BD 【解析】由向量投影的定義可知，A顯然不成立； ，故B成立； ，當時不成立，故C不成立； 由，得，即兩向量平行，故D成立。 綜上所述，故選BD。 （三）數量積與最值 例3. 在直角三角形中，，，，點在斜邊的中線上，則的最大值為( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因為，所以以的方向為軸的正方向，建立直角坐標系，如下圖所示： 所以 設， 所以，， ，所以當時，的最大值為，故本題選C. 練習1. 已知，是兩個單位向量，與，共面的向量滿足，則的最大值為（　?。? A． B．2 C． D．1

8、【答案】C 【解析】由-（）?+=0得：（）?（-）=0，即（）⊥（-）， 設=，=，=，則=，-=， 則點C在以AB為直徑的圓O上運動， 由圖知：當DC⊥AB時，|DC|≥|DC′|，設∠ADC=θ， 則|DC|=|DO|+|AO|=sinθ+cosθ=sin（），所以當時，|DC|取最大值， 故選：C． 練習2. 在直角梯形中， ， ，， 分別為， 的中點，以為圓心， 為半徑的圓交于，點在弧上運動（如圖）.若，其中， ，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】建立如圖所示的坐標系， 則A（0，0），B（2，0）

9、，D（0，1），C（2，2），E（2，1），F（1，1.5）， P（cosα，sinα）（0≤α）， 由λμ得，（cosα，sinα）＝λ（2，1）+μ（﹣1，） ?cosα＝2λ﹣μ，sinα＝λ?λ， ∴6λ+μ＝6（）2（sinα+cosα）＝2sin（） ∵，∴sin（） ∴2sin（）∈[2，2]，即6λ+μ的取值范圍是[2，2]． 故選：D． 練習3．如圖，已知點為等邊三角形的外接圓上一點，點是該三角形內切圓上一點，若，，則的最大值為（ ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解析】如圖，取中點，交外接圓于，交內切圓于，

10、此時為外接圓劣弧的中點，取得最大；為內切圓劣弧的中點，取得最小， 記的最大值為，的最小值為，而，， 故的最大值為， 故選C. 練習4. 已知平面向量，，當時，的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如圖，在中，已知，， 在OB上取點D，使得， 在AB上有動點C，使（）， 則， . 故選：C. （四）由數量積求參數 例4. 在中，，，，設點、滿足， ，若，則（ ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【解析】因為，則，所以 . 由已知，，則. 選. 練習1. 向量，，若，則______

11、___. 【答案】 【解析】向量，， 所以，又因為， 所以，即，解得，故答案為. 練習2。設向量，，，若，則實數__________ 【答案】1. 【解析】因為，， 所以，得。 （五）由向量數量積求范圍 例5. 三角形中，,，為線段上任意一點，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】設，， 結合題目中的條件得到原式等于：, 結合二次函數的性質得到范圍是：. 故答案為：B. 練習1. 在平面上，，，.若，則 的取值范圍是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，∴ ＝＝0， ∴.

12、∵，∴， ∴. ∴， ∵， ∴＋2＝2＋＋2(－)＝2－， ∵，∴0≤，∴0≤，∴ ，即||∈. 故答案為：D 練習2. 如圖，在直角梯形中， ， ∥， ， ，圖中圓弧所在圓的圓心為點C，半徑為，且點P在圖中陰影部分（包括邊界）運動．若，其中，則的取值范圍是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以 點為坐標原點， 方向為 軸， 軸正方向建立直角坐標系，如圖所示，則A(0，0),B(2，0),D(0，1),C(1，1),∴ =(2，0),=(-1,1)， 設點的坐標為 ，由意可知： ， 據此可得： ，則： ，目標函數： ， 其中

13、 為直線系 在y軸的截距， 當直線與圓相切時，目標函數取得最大值 . 當直線過點 時，目標函數取得最小值 ，則的取值范圍是 . 故選：B. 練習3. 已知向量，，若向量、的夾角為鈍角，則實數的取值范圍是__________。 【答案】 【解析】由題意可知： 且 解得：且，即 本題正確結果： 練習4.已知 （1）求與的夾角； （2）若，求實數的取值范圍． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）； ；; ;，. （2），兩邊平方可得， 即，解得，或； 的取值范圍為 （六）數量積的綜合應用 例6. 在中，邊上的中線，若動點滿足，則的最小值是____.

14、【答案】 【解析】令，，則， 故可化為， ，代入得 化簡得 則 故當時，取得最小值 故答案為 練習1. 在平面直角坐標系中，為坐標原點，點，，滿足. （1）求的值； （2）已知，，，若函數的最大值為3，求實數的值. 【答案】（1）2；（2）. 【解析】（1）由題意知，，即， 所以，即. （2）易知，，， 則，， 所以， 令， 則，，其對稱軸方程是. 當時，的最大值為，解得； 當時，的最大值為，解得（舍去）. 綜上可知，實數的值為. 練習2. 如圖，以為始邊作角與，它們的終邊分別與單位圓相交于點，，已知點的坐標為. （1）求的值； （2）若

15、，求的值. 【答案】（1）；（2）0. 【解析】（1）由題意知，，， ∴. （2）由題意知，，則. ∵，∴， ∴，即. 練習3. 已知向量，，，其中，分別為直角坐標系內軸與軸正方向上的單位向量. （1）若,,三點共線時，求實數的值; （2）若是直角三角形，且為直角，求實數的值與向量在方向上的投影. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由題知,, ， ,,共線即為,共線 解得（或由求解） （2）由題知 解得 向量在方向上的投影為 練習4. ．已知中，，，邊上一點滿足，. (I)證明：為的內角平分線； (Ⅱ)若，求. 【答案】(Ⅰ)見解析.（Ⅱ

16、）. 【解析】（I）因為 所以， 又因為，，所以， 所以為的內角平分線. （方法二：提示：根據向量加法的平行四邊形法則，結合菱形對角線平分內角可以證得） （Ⅱ）中，，中，， ∵，，， ∴， 中，， 中，， ∴，. （七）向量數量積在三角和幾何上應用 例7. 如圖所示，在平面上，點，點在單位圓上且 . （1）若點，求的值： （2）若，四邊形的面積用表示，求的取值范圍. 【答案】（1）﹣，（2）． 【解析】（1）由條件得B（﹣，），∠AOB=θ， ∴ tanθ==﹣， ∴ tan2θ = = = ， ∴tan（2θ+）= = =﹣．

17、 （2）由題意得=||||sin（π﹣θ）=sinθ． ∵=（1，0），=（cosθ，sinθ）， ∴ =+=（1+cosθ，sinθ）， ∴ ?=1+cosθ， ∴ +?=sinθ+cosθ+1=sin（θ+）+1（0＜θ＜π）， ∵ ＜＜， ∴﹣＜sin（）≤1， ∴ ?． ∴+?的取值范圍為． 練習1.根據平面向量基本定理，若為一組基底，同一平面的向量可以被唯一確定地表示為 =，則向量與有序實數對一一對應，稱為向量的基底下的坐標；特別地，若分別為軸正方向的單位向量，則稱為向量的直角坐標. （I）據此證明向量加法的直角坐標公式：若，則； （II）如圖，直角中，，點在上

18、，且，求向量在基底下的坐標. 【答案】（I）見解析.（II）. 【解析】（I）證明：根據題意： ? ∴，（4分）∴. （II）解：法一（向量法）：根據幾何性質，易知， 從而，所以， 化簡得：，所以在基底下的坐標為. 法二（向量法）：同上可得：，所以. 上法也可直接從開始∴. 法三（向量法）：設，則利用共線可解得. 法四（坐標法）：以為坐標原點，方向為軸正方向建立直角坐標系（以下坐標法建系同），則，由幾何意義易得的直角坐標為. 設，則=，又知，則由三點共線易得. 法六（坐標法）：完全參照《必修4》P99例8（2）的模型和其解答過程，此處略. 法七（幾何圖形法

19、）：將分解在方向，利用平幾知識算出邊的關系亦可. 法八（向量法）：設，則①； 由②，由①，②解得. 所以在基底下的坐標為. 練習2.．如圖，在中，， ，點在的延長線上，點是邊上的一點，且存在非零實數，使. （Ⅰ）求與的數量積； （Ⅱ）求與的數量積. 【答案】(Ⅰ)-18；(Ⅱ) . 【解析】（Ⅰ）在中， 由余弦定理得， 所以， 所以是等腰三角形，且， 所以, 所以 （Ⅱ）由, 得， 所以點在的角平分線上， 又因為點是邊上的一點， 所以由角平分線性質定理得， 所以. 因為， 所以. 設， 則，． 由，得， 所以， 又， 所以 21