青島版小學(xué)數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)(1-6年級知識點總結(jié)).docx
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1、青島版小學(xué)數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)目 錄第一部分 常用的數(shù)量關(guān)系-1第二部分 小學(xué)數(shù)學(xué)圖形計算公式-1第三部分 常用單位換算-2第四部分 基 本 概 念-3第一章 數(shù)和數(shù)的運算- -3第二章 度量衡-16第三章 代數(shù)初步知識-17第四章 空間與圖形-20第五章 簡單的統(tǒng)計 -24 【常用的數(shù)量關(guān)系】1、每份數(shù)份數(shù)=總數(shù); 總數(shù)每份數(shù)=份數(shù) ; 總數(shù)份數(shù)=每份數(shù) 2、1 倍數(shù)倍數(shù)=幾倍數(shù); 幾倍數(shù)1 倍數(shù)=倍數(shù); 幾倍數(shù)倍數(shù)=1 倍數(shù)3、速度時間=路程 ; 路程速度=時間 ; 路程時間=速度 4、單價數(shù)量=總價; 總價單價=數(shù)量 ; 總價數(shù)量=單價5、工作效率工作時間=工作總量; 工作總量工作效率=工作時間;
2、 工作總量工作時間=工作效率; 6、加數(shù)+加數(shù)=和; 和-一個加數(shù)=另一個加數(shù) 7、被減數(shù)-減數(shù)=差; 被減數(shù)-差=減數(shù); 差+減數(shù)=被減數(shù) 8、因數(shù)因數(shù)=積; 積一個因數(shù)=另一個因數(shù) 9、被除數(shù)除數(shù)=商 ; 被除數(shù)商=除數(shù); 商除數(shù)=被除數(shù) 【小學(xué)數(shù)學(xué)圖形計算公式】 1、正方形(C:周長, S:面積, a:邊長) 周長=邊長4; C=4a 面積=邊長邊長; S=aa 2、正方體(V:體積, a:棱長) 表面積=棱長棱長6; S 表=aa6 體積=棱長棱長棱長; V= aaa 3、長方形(C:周長, S:面積, a:邊長, b:寬 ) 周長=(長+寬)2; C=2(a+b) 面積=長寬 ; S
3、=ab 4、長方體(V:體積, S:面積, a:長, b:寬, h:高) (1)表面積=(長寬+長高+寬高)2; S=2(ab+ah+bh) (2)體積=長寬高; V=abh 5、三角形(S:面積, a:底, h:高) 面積=底高2 ; S=ah2 三角形的高=面積2底 三角形的底=面積2高 6、平行四邊形(S:面積, a:底, h:高) 面積=底高; S=ah 7、梯形(A=r2S:面積, a:上底, b:下底, h:高) 面積=(上底+下底)高2; S=(a+b)h2 8、圓形(S:面積, C:周長, :圓周率, d:直徑, r:半徑 ) (1)周長= 直徑=2 半徑; C=d=2r (2
4、)面積= 半徑半徑; S= r2 9、圓柱體(V:體積, S:底面積, C:底面周長, h:高, r:底面半徑 ) (1)側(cè)面積=底面周長高=Ch=dh=2rh (2)表面積=側(cè)面積+底面積2 (3)體積=底面積高 10、圓錐體(V:體積, S:底面積, h:高, r:底面半徑 ) 體積=底面積高3 11、總數(shù)總份數(shù)=平均數(shù) 12、和差問題的公式:已知兩數(shù)的和及它們的差,求這兩個數(shù)各是多少的應(yīng)用題,叫做和差應(yīng)用題,簡稱和差問題。 (和+差)2=大數(shù); (和-差)2=小數(shù) 13、 和倍問題的公式: 已知兩個數(shù)的和與兩個數(shù)的倍數(shù)關(guān)系,求兩個數(shù)各是多少的應(yīng)用題, 我們通常叫做和倍問題。 和(倍數(shù)-1
5、)= 小數(shù); 小數(shù)倍數(shù)=大數(shù)(或者:和-小數(shù)=大數(shù)) 14、差倍問題的公式:差倍問題即已知兩數(shù)之差和兩數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系,求出兩數(shù)。 差(倍數(shù)-1)= 小數(shù); 小數(shù)倍數(shù)=大數(shù)(或者:小數(shù)+差=大數(shù)) 15、相遇問題: 相遇路程=速度和相遇時間; 相遇時間=相遇路程速度和; 速度和=相遇路程相遇時間 16、濃度問題 溶質(zhì)的重量+溶劑的重量=溶液的重量; 溶液的重量濃度=溶質(zhì)的重量; 溶質(zhì)的重量溶液的重量100%=濃度; 溶質(zhì)的重量濃度=溶液的重量 17、利潤與折扣問題: 利潤=售出價-成本; 利潤率=利潤成本100%; 利息=本金利率時間; 漲跌金額=本金漲跌百分比; 稅后利息=本金利率時間(1-
6、利息稅) 【常用單位換算】(一)長度單位換算 1 千米=1000 米; 1 米=10 分米; 1 分米=10 厘米;1 米=100 厘米;1 厘米=10 毫米 (二)面積單位換算: 1 平方千米=100 公頃; 1 公頃=10000 平方米; 1 平方厘米=100 平方毫米 1 平方米=100 平方分米; 1 平方分米=100 平方厘米; (三)體積(容積)單位換算:1 立方米=1000 立方分米; 1 立方分米=1000 立方厘米; 1 立方分米=1 升; 四)重量單位換算: 1 立方厘米=1 毫升; 1 立方米=1000 升 1 噸=1000 千克; 1 千克=1000 克; 1 角=10
7、 分; 1 年=12 月; 1 千克=1 公斤 1 元=100 分 (五)人民幣單位換算: 1 元=10 角; (六)時間單位換算: 1 世紀=100 年; 【大月(31 天)有:1、3、5、7、8、10、12 月】 ; 【小月(30 天)有:4、6、9、11 月】 【平年:2 月有 28 天;全年有 365 天】 ; 1 日=24 小時; 【閏年:2 月有 29 天;全年有 366 天】 1 分=60 秒; 2 1 時=60 分=3600 秒;【基 本 概 念】第一章 數(shù)和數(shù)的運算一、概念 (一)整數(shù) 1.自然數(shù)、負數(shù)和整數(shù) (1)、自然數(shù) :我們在數(shù)物體的時候,用來表示物體個數(shù)的 1,2,
8、3叫做自然數(shù)。 一個物體也沒有,用 0 表示。0 也是自然數(shù)。 1 是自然數(shù)的基本單位,任何一個自然數(shù)都是由若干個 1 組成。 0 是最小的自然數(shù),沒有最大的自然數(shù)。 (2)、負數(shù):在正數(shù)前面加上“-”的數(shù)叫做負數(shù), “-”叫做負號。 (3)整數(shù) 正整數(shù)(1、2、3、4、) 零 (0 既不是正數(shù),也不是負數(shù)) 負整數(shù)(-1、-2、-3、-4) 2、零的作用 (1)表示數(shù)位。讀寫數(shù)時,某個單位上一個單位也沒有,就用 0 表示。 (2)占位作用。 (3)作為界限。如“零上溫度與零下溫度的界限” 。 3、計數(shù)單位 :一(個) 、十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬、億?都是計數(shù)單位。 每相鄰兩個計數(shù)單位
9、之間的進率都是 10。這樣的計數(shù)法叫做十進制計數(shù)法。 4、數(shù)位 :計數(shù)單位按照一定的順序排列起來,它們所占的位置叫做數(shù)位。 5、數(shù)的整除 :整數(shù) a 除以整數(shù) b(b 0) ,除得的商是整數(shù)而沒有余數(shù),我們就說 a 能被 b 整除,或者說 b 能整除 a 。 (1)如果數(shù) a 能被數(shù) b(b 0)整除,a 就叫做 b 的倍數(shù),b 就叫做 a 的約數(shù)(或 a 的因數(shù)) 。 倍數(shù)和約數(shù)是相互依存的。 如:因為 35 能被 7 整除,所以 35 是 7 的倍數(shù),7 是 35 的約數(shù)。 (2)一個數(shù)的約數(shù)的個數(shù)是有限的,其中最小的約數(shù)是 1,最大的約數(shù)是它本身。 例如:10 的約數(shù)有 1、2、5、10
10、,其中最小的約數(shù)是 1,最大的約數(shù)是 10。 (3)一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的,其中最小的倍數(shù)是它本身。 如:3 的倍數(shù)有:3、6、9、12?其中最小的倍數(shù)是 3 ,沒有最大的倍數(shù)。 (4)個位上是 0、2、4、6、8 的數(shù),都能被 2 整除,例如:202、480、304,都能被 2 整除。 (5)個位上是 0 或 5 的數(shù),都能被 5 整除,例如:5、30、405 都能被 5 整除。 (6)一個數(shù)的各位上的數(shù)的和能被 3 整除,這個數(shù)就能被 3 整除, 例如:12、108、204 都能被 3 整除。 (7)一個數(shù)各位數(shù)上的和能被 9 整除,這個數(shù)就能被 9 整除。 (8)能被 3 整除的數(shù)不
11、一定能被 9 整除,但是能被 9 整除的數(shù)一定能被 3 整除。 (9)一個數(shù)的末兩位數(shù)能被 4(或 25)整除,這個數(shù)就能被 4(或 25)整除。 例如:16、404、1256 都能被 4 整除,50、325、500、1675 都能被 25 整除。 (10)一個數(shù)的末三位數(shù)能被 8(或 125)整除,這個數(shù)就能被 8(或 125)整除。 例如:1168、4600、5000、12344 都能被 8 整除,1125、13375、5000 都能被 125 整除。 (11)能被 2 整除的數(shù)叫做偶數(shù)。 不能被 2 整除的數(shù)叫做奇數(shù)。 0 也是偶數(shù)。自然數(shù)按能否被 2 整除的特征可分為奇數(shù)和偶數(shù)。 (1
12、2)一個數(shù),如果只有 1 和它本身兩個約數(shù),這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)(或素數(shù)) 。 100 以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、 59、61、67、71、73、79、83、89、97。 (13)一個數(shù),如果除了 1 和它本身還有別的約數(shù),這樣的數(shù)叫做合數(shù)。 例如 4、6、8、9、12 都是合數(shù)。 (14)1 不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù),自然數(shù)除了 1 外,不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)。如果把自然數(shù)按其約數(shù) 的個數(shù)的不同分類,可分為質(zhì)數(shù)、合數(shù)和 1。 (15)每個合數(shù)都可以寫成幾個質(zhì)數(shù)相乘的形式。其中每個質(zhì)數(shù)都是這個合數(shù)的因數(shù),叫做這 個合數(shù)的質(zhì)因數(shù),例如
13、15=35,3 和 5 叫做 15 的質(zhì)因數(shù)。 (16)把一個合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來,叫做分解質(zhì)因數(shù)。 例如:把 28 分解質(zhì)因數(shù) 。(17) 幾個數(shù)公有的約數(shù), 叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)。 其中最大的一個, 叫做這幾個數(shù)的最大公約數(shù)。 例如: 12 的約數(shù)有 1、2、3、4、6、12; 18 的約數(shù)有 1、2、3、6、9、18。 其中,1、2、3、6 是 12 和 1 8 的公約數(shù),6 是它們的最大公約數(shù)。 (18)公約數(shù)只有 1 的兩個數(shù),叫做互質(zhì)數(shù),成互質(zhì)關(guān)系的兩個數(shù),有下列幾種情況: 1和任何自然數(shù)互質(zhì)。 相鄰的兩個自然數(shù)互質(zhì)。 兩個不同的質(zhì)數(shù)互質(zhì)。 當(dāng)合數(shù)不是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)時,這個合
14、數(shù)和這個質(zhì)數(shù)互質(zhì)。 兩個合數(shù)的公約數(shù)只有 1 時,這兩個合數(shù)互質(zhì),如果幾個數(shù)中任意兩個都互質(zhì),就說這幾 個數(shù)兩兩互質(zhì)。 如果較小數(shù)是較大數(shù)的約數(shù),那么較小數(shù)就是這兩個數(shù)的最大公約數(shù)。 如果兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù),它們的最大公約數(shù)就是 1。 (19)幾個數(shù)公有的倍數(shù),叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù),其中最小的一個,叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù), 如:2 的倍數(shù)有 2、4、6 、8、10、12、14、16、18 ? 3 的倍數(shù)有 3、6、9、12、15、18 ? 其中 6、12、18?是 2、3 的公倍數(shù),6 是它們的最小公倍數(shù)。 如果較大數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù),那么較大數(shù)就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。 如果兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù),那么
15、這兩個數(shù)的積就是它們的最小公倍數(shù)。 幾個數(shù)的公約數(shù)的個數(shù)是有限的,而幾個數(shù)的公倍數(shù)的個數(shù)是無限的。 (二)小數(shù) 1 、小數(shù)的意義 (1) 把整數(shù) 1 平均分成 10 份、 100 份、 1000 份? 得到的十分之幾、 百分之幾、 千分之幾? 可以用小數(shù)表示。 (2)一位小數(shù)表示十分之幾,兩位小數(shù)表示百分之幾,三位小數(shù)表示千分之幾?(3)一個小數(shù)由整數(shù)部分、小數(shù)部分和小數(shù)點部分組成。數(shù)中的圓點叫做小數(shù)點,小數(shù)點左邊 的數(shù)叫做整數(shù)部分,小數(shù)點右邊的數(shù)叫做小數(shù)部分。 (4)在小數(shù)里,每相鄰兩個計數(shù)單位之間的進率都是 10。小數(shù)部分的最高分數(shù)單位“十分之 一”和整數(shù)部分的最低單位“一”之間的進率也是
16、 10。 2、小數(shù)的分類 (1)純小數(shù):整數(shù)部分是零的小數(shù),叫做純小數(shù)。例如: 0.25 、 0.368 都是純小數(shù)。 (2)帶小數(shù):整數(shù)部分不是零的小數(shù),叫做帶小數(shù)。 例如: 3.25 、 5.26 都是帶小數(shù)。(3)有限小數(shù):小數(shù)部分的數(shù)位是有限的小數(shù),叫做有限小數(shù)。 例如: 41.7 、 25.3 、 0.23 都是有限小數(shù)。 (4)無限小數(shù):小數(shù)部分的數(shù)位是無限的小數(shù),叫做無限小數(shù)。 例如: 4.33 ? 3.1415926 ? (5)無限不循環(huán)小數(shù):一個數(shù)的小數(shù)部分,數(shù)字排列無規(guī)律且位數(shù)無限,這樣的小數(shù)叫做無限 不循環(huán)小數(shù)。 例如: (6)循環(huán)小數(shù):一個數(shù)的小數(shù)部分,有一個數(shù)字或者幾
17、個數(shù)字依次不斷重復(fù)出現(xiàn),這個數(shù)叫做 循環(huán)小數(shù)。 例如: 3.555 ? 0.0333 ? 12.109109 ? (7)一個循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分,依次不斷重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字叫做這個循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)。 例如: 3.99 ?的循環(huán)節(jié)是“ 9 ” , 0.5454 ?的循環(huán)節(jié)是“ 54 ” 。 (8)純循環(huán)小數(shù):循環(huán)節(jié)從小數(shù)部分第一位開始的,叫做純循環(huán)小數(shù)。 例如: 3.111 ? 0.5656 ? (9)混循環(huán)小數(shù):循環(huán)節(jié)不是從小數(shù)部分第一位開始的,叫做混循環(huán)小數(shù)。 例如: 3.1222 ? 0.03333 ? (10)寫循環(huán)小數(shù)的時候,為了簡便,小數(shù)的循環(huán)部分只需寫出一個循環(huán)節(jié),并在這個循環(huán)節(jié)的首、
18、末位數(shù)字上各點一個圓點。如果循環(huán)節(jié)只有 一個數(shù)字,就只在它的上面點一個點。 例如: 3.777 ? 簡寫作:3.7 ; 0.5302302 ? 簡寫作:0.5302 。 (三)分數(shù) 1、分數(shù)的意義 (1)把單位“1”平均分成若干份,表示這樣的一份或者幾份的數(shù)叫做分數(shù)。 (2)在分數(shù)里,中間的橫線叫做分數(shù)線;分數(shù)線下面的數(shù),叫做分母,表示把單位“1”平均 分成多少份;分數(shù)線下面的數(shù)叫做分子,表示有這樣的多少份。 (3)把單位“1”平均分成若干份,表示其中的一份的數(shù),叫做分數(shù)單位。 2、分數(shù)的分類 真分數(shù):分子比分母小的分數(shù)叫做真分數(shù)。真分數(shù)小于 1。 假分數(shù):分子比分母大或者分子和分母相等的分數(shù)
19、,叫做假分數(shù)。假分數(shù)大于或等于 1。 帶分數(shù):假分數(shù)可以寫成整數(shù)與真分數(shù)合成的數(shù),通常叫做帶分數(shù)。 3、約分和通分 把一個分數(shù)化成同它相等但是分子、分母都比較小的分數(shù) ,叫做約分。 分子分母是互質(zhì)數(shù)的分數(shù),叫做最簡分數(shù)。 把異分母分數(shù)分別化成和原來分數(shù)相等的同分母分數(shù),叫做通分。 (四)百分數(shù) : 表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù) 叫做百分數(shù),也叫做百分率 或百分比。 百分數(shù)通常用%來表示。百分號是表示百分數(shù)的符號。 二 、方法 (一)數(shù)的讀法和寫法 1、整數(shù)的讀法:從高位到低位,一級一級地讀。讀億級、萬級時,先按照個級的讀法去讀,再 在后面加一個“億”或“萬”字。每一級末尾的 0 都不讀出
20、來,其它數(shù)位連續(xù) 有幾個 0 都只讀一個零。 2、整數(shù)的寫法:從高位到低位,一級一級地寫,哪一個數(shù)位上一個單位也沒有,就在那個數(shù)位 上寫 0。 3、小數(shù)的讀法:讀小數(shù)的時候,整數(shù)部分按照整數(shù)的讀法讀,小數(shù)點讀作“點” ,小數(shù)部分從 左向右順次讀出每一位數(shù)位上的數(shù)字。 4、小數(shù)的寫法:寫小數(shù)的時候,整數(shù)部分按照整數(shù)的寫法來寫,小數(shù)點寫在個位右下角,小數(shù) 部分順次寫出每一個數(shù)位上的數(shù)字。 5、分數(shù)的讀法:讀分數(shù)時,先讀分母再讀“分之”然后讀分子,分子和分母按照整數(shù)的讀法來 讀。 6、分數(shù)的寫法:先寫分數(shù)線,再寫分母,最后寫分子,按照整數(shù)的寫法來寫。 7、百分數(shù)的讀法:讀百分數(shù)時,先讀百分之,再讀百
21、分號前面的數(shù),讀數(shù)時按照整數(shù)的讀法來 讀。 8、百分數(shù)的寫法:百分數(shù)通常不寫成分數(shù)形式,而在原來的分子后面加上百分號“%”來表示。 (二)數(shù)的改寫 一個較大的多位數(shù),為了讀寫方便,常常把它改寫成用“萬”或“億”作單位的數(shù)。有時還可以根據(jù)需要,省略這個數(shù)某一位后面的數(shù),寫成近似數(shù)。 1、 準確數(shù): 在實際生活中, 為了計數(shù)的簡便, 可以把一個較大的數(shù)改寫成以萬或億為單位的數(shù)。 改寫后的數(shù)是原數(shù)的準確數(shù)。 例如把 1254300000 改寫成以萬做單位的數(shù)是 125430 萬;改寫成 以億做單位 的數(shù) 12.543 億。 2、近似數(shù):根據(jù)實際需要,我們還可以把一個較大的數(shù),省略某一位后面的尾數(shù),用
22、一個近似 數(shù)來表示。 例如: 1302490015 省略億后面的尾數(shù)是 13 億。 3、四舍五入法:要省略的尾數(shù)的最高位上的數(shù)是 4 或者比 4 小,就把尾數(shù)去掉;如果尾數(shù)的最高 位上的數(shù)是 5 或者比 5 大,就把尾數(shù)舍去,并向它的前一位進 1。例如:省略 345900 萬后面的尾數(shù)約是 35 萬。省略 4725097420 億后面的尾數(shù)約是 47 億。 4、大小比較 (1)比較整數(shù)大?。罕容^整數(shù)的大小,位數(shù)多的那個數(shù)就大,如果位數(shù)相同,就看最高位,最 高位上的數(shù)大,那個數(shù)就大;最高位上的數(shù)相同,就看下一位,哪一位上 的數(shù)大那個數(shù)就大。 (2)比較小數(shù)的大小:先看它們的整數(shù)部分, ,整數(shù)部分
23、大的那個數(shù)就大;整數(shù)部分相同的, 十分位上的數(shù)大的那個數(shù)就大; 十分位上的數(shù)也相同的, 百分位上的數(shù)大 的那個數(shù)就大? (3)比較分數(shù)的大小:分母相同的分數(shù),分子大的分數(shù)比較大;分子相同的數(shù),分母小的分數(shù) 大。分數(shù)的分母和分子都不相同的,先通分,再比較兩個數(shù)的大小。 (三)數(shù)的互化 1、小數(shù)化成分數(shù):原來有幾位小數(shù),就在 1 的后面寫幾個零作分母,把原來的小數(shù)去掉小數(shù)點 作分子,能約分的要約分。 2、分數(shù)化成小數(shù):用分母去除分子。能除盡的就化成有限小數(shù),有的不能除盡,不能化成有限 小數(shù)的,一般保留三位小數(shù)。 3、一個最簡分數(shù),如果分母中除了 2 和 5 以外,不含有其他的質(zhì)因數(shù),這個分數(shù)就能化
24、成有限 小數(shù);如果分母中含有 2 和 5 以外的質(zhì)因數(shù),這個分數(shù)就不能化成有限小數(shù)。 4、小數(shù)化成百分數(shù):只要把小數(shù)點向右移動兩位,同時在后面添上百分號。 5、百分數(shù)化成小數(shù):把百分數(shù)化成小數(shù),只要把百分號去掉,同時把小數(shù)點向左移動兩位。 6、分數(shù)化成百分數(shù):通常先把分數(shù)化成小數(shù)(除不盡時,通常保留三位小數(shù)),再把小數(shù)化成 百分數(shù)。 7、百分數(shù)化成小數(shù):先把百分數(shù)改寫成分數(shù),能約分的要約成最簡分數(shù)。 (四)數(shù)的整除 1、把一個合數(shù)分解質(zhì)因數(shù),通常用短除法。先用能整除這個合數(shù)的質(zhì)數(shù)去除,一直除到商是質(zhì) 數(shù)為止,再把除數(shù)和商寫成連乘的形式。 2、求幾個數(shù)的最大公約數(shù)的方法是:先用這幾個數(shù)的公約數(shù)連
25、續(xù)去除,一直除到所得的商只有 公約數(shù) 1 為止,然后把所有的除數(shù)連乘求積,這個積就是這幾個數(shù)的的最大公約數(shù) 。 3、求幾個數(shù)的最小公倍數(shù)的方法是:先用這幾個數(shù)(或其中的部分數(shù))的公約數(shù)去除,一直除 到互質(zhì)(或兩兩互質(zhì))為止,然后把所有的除數(shù)和商連乘求積,這個積就是這幾個數(shù)的最小 公倍數(shù)。 4、成為互質(zhì)關(guān)系的兩個數(shù):1 和任何自然數(shù)互質(zhì) ; 相鄰的兩個自然數(shù)互質(zhì); 當(dāng)合數(shù)不是質(zhì)數(shù) 的倍數(shù)時,這個合數(shù)和這個質(zhì)數(shù)互質(zhì); 兩個合數(shù)的公約數(shù)只有 1 時,這兩個合數(shù)互質(zhì)。 (五)約分和通分 (1)約分的方法:用分子和分母的公約數(shù)(1 除外)去除分子、分母;通常要除到得出最簡分 數(shù)為止。 (2)通分的方法:
26、先求出原來的幾個分數(shù)分母的最小公倍數(shù),然后把各分數(shù)化成用這個最小公 倍數(shù)作分母的分數(shù)。 三、性質(zhì)和規(guī)律 (一)商不變的規(guī)律 商不變的規(guī)律:在除法里,被除數(shù)和除數(shù)同時擴大或者同時縮小相同的倍,商不變。 (二)小數(shù)的性質(zhì) 小數(shù)的性質(zhì):在小數(shù)的末尾添上零或者去掉零小數(shù)的大小不變。 (三)小數(shù)點位置的移動引起小數(shù)大小的變化 1、小數(shù)點向右移動一位,原來的數(shù)就擴大 10 倍;小數(shù)點向右移動兩位,原來的數(shù)就擴大 100 倍;小數(shù)點向右移動三位,原來的數(shù)就擴大 1000 倍? 2、小數(shù)點向左移動一位,原來的數(shù)就縮小 10 倍;小數(shù)點向左移動兩位,原來的數(shù)就縮小 100 倍;小數(shù)點向左移動三位,原來的數(shù)就縮小
27、 1000 倍? 3、小數(shù)點向左移或者向右移位數(shù)不夠時,要用“0補足位。 (四)分數(shù)的基本性質(zhì) 分數(shù)的基本性質(zhì):分數(shù)的分子和分母都乘以或者除以相同的數(shù)(零除外) ,分數(shù)的大小不變。 (五)分數(shù)與除法的關(guān)系 1、被除數(shù)除數(shù)= 被除數(shù)/ 除數(shù) 2、因為零不能作除數(shù),所以分數(shù)的分母不能為零。 3、被除數(shù) 相當(dāng)于分子,除數(shù)相當(dāng)于分母。 四、運算的意義 (一)整數(shù)四則運算 1、整數(shù)加法:把兩個數(shù)合并成一個數(shù)的運算叫做加法。 在加法里,相加的數(shù)叫做加數(shù),加得的數(shù)叫做和。加數(shù)是部分數(shù),和是總數(shù)。 加數(shù)+加數(shù)=和 一個加數(shù)=和另一個加數(shù) 2、整數(shù)減法:已知兩個加數(shù)的和與其中的一個加數(shù),求另一個加數(shù)的運算叫做減
28、法。 在減法里,已知的和叫做被減數(shù),已知的加數(shù)叫做減數(shù),未知的加數(shù)叫做差。 被減數(shù)是總數(shù),減數(shù)和差分別是部分數(shù)。 加法和減法互為逆運算。 3、整數(shù)乘法:求幾個相同加數(shù)的和的簡便運算叫做乘法。 在乘法里,相同的加數(shù)和相同加數(shù)的個數(shù)都叫做因數(shù)。相同加數(shù)的和叫做積。 在乘法里,0 和任何數(shù)相乘都得 0; 1 和任何數(shù)相乘都的任何數(shù)。 一個因數(shù) 一個因數(shù) =積; 一個因數(shù)=積另一個因數(shù)4、整數(shù)除法:已知兩個因數(shù)的積與其中一個因數(shù),求另一個因數(shù)的運算叫做除法。 在除法里,已知的積叫做被除數(shù),已知的一個因數(shù)叫做除數(shù),所求的因數(shù)叫做商。 乘法和除法互為逆運算。 在除法里,0 不能做除數(shù)。 (因為 0 和任何
29、數(shù)相乘都得 0,所以任何一個數(shù)除以 0,均得不一個確定的商。 ) 被除數(shù)除數(shù)=商 除數(shù)=被除數(shù)商 被除數(shù)=商除數(shù) (二)小數(shù)四則運算 1、小數(shù)加法:小數(shù)加法的意義與整數(shù)加法的意義相同。是把兩個數(shù)合并成一個數(shù)的運算。 2、小數(shù)減法:小數(shù)減法的意義與整數(shù)減法的意義相同。已知兩個加數(shù)的和與其中的一個加數(shù), 求另一個加數(shù)的運算. 3、小數(shù)乘法:小數(shù)乘整數(shù)的意義和整數(shù)乘法的意義相同,就是求幾個相同加數(shù)和的簡便運算;一個 數(shù)乘純小數(shù)的意義是求這個數(shù)的十分之幾、百分之幾、千分之幾?是多少。 4、 小數(shù)除法: 小數(shù)除法的意義與整數(shù)除法的意義相同, 就是已知兩個因數(shù)的積與其中一個因數(shù), 求另一個因數(shù)的運算。 5
30、、乘方: 求幾個相同因數(shù)的積的運算叫做乘方。例如 3 3 =32 (三)分數(shù)四則運算 1、分數(shù)加法:分數(shù)加法的意義與整數(shù)加法的意義相同。 是把兩個數(shù)合并成一個數(shù)的運算。 2、分數(shù)減法:分數(shù)減法的意義與整數(shù)減法的意義相同。已知兩個加數(shù)的和與其中的一個加數(shù), 求另一個加數(shù)的運算。 3、分數(shù)乘法:分數(shù)乘法的意義與整數(shù)乘法的意義相同,就是求幾個相同加數(shù)和的簡便運算。 4、乘積是 1 的兩個數(shù)叫做互為倒數(shù)。 5、 分數(shù)除法: 分數(shù)除法的意義與整數(shù)除法的意義相同。 就是已知兩個因數(shù)的積與其中一個因數(shù), 求另一個因數(shù)的運算。 (四)運算定律 1、加法交換律:兩個數(shù)相加,交換加數(shù)的位置,它們的和不變,即 a+
31、b=b+a 。 2、加法結(jié)合律:三個數(shù)相加,先把前兩個數(shù)相加,再加上第三個數(shù);或者先把后兩個數(shù)相加, 再和第一個數(shù)相加它們的和不變,即(a+b)+c=a+(b+c) 。 3、乘法交換律:兩個數(shù)相乘,交換因數(shù)的位置它們的積不變,即 ab=ba。 4、乘法結(jié)合律:三個數(shù)相乘,先把前兩個數(shù)相乘,再乘以第三個數(shù);或者先把后兩個數(shù)相乘, 再和第一個數(shù)相乘,它們的積不變,即(ab)c=a(bc) 。 5、乘法分配律:兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘,可以把兩個加數(shù)分別與這個數(shù)相乘再把兩個積相加, 即(a+b)c=ac+bc 。 6、減法的性質(zhì):從一個數(shù)里連續(xù)減去幾個數(shù),可以從這個數(shù)里減去所有減數(shù)的和,差不變, 即
32、a-b-c=a-(b+c) 。 (五)運算法則 1、整數(shù)加法計算法則:相同數(shù)位對齊,從低位加起,哪一位上的數(shù)相加滿十,就向前一位進一。2、整數(shù)減法計算法則:相同數(shù)位對齊,從低位加起,哪一位上的數(shù)不夠減,就從它的前一位退 一作十,和本位上的數(shù)合并在一起,再減。 3、整數(shù)乘法計算法則:先用一個因數(shù)每一位上的數(shù)分別去乘另一個因數(shù)各個數(shù)位上的數(shù),用因 數(shù)哪一位上的數(shù)去乘,乘得的數(shù)的末尾就對齊哪一位,然后把各次乘得的數(shù) 加起來。 4、整數(shù)除法計算法則:先從被除數(shù)的高位除起,除數(shù)是幾位數(shù),就看被除數(shù)的前幾位; 如果 不夠除,就多看一位,除到被除數(shù)的哪一位,商就寫在哪一位的上面。如果 哪一位上不夠商 1,要
33、補“0”占位。每次除得的余數(shù)要小于除數(shù)。 5、小數(shù)乘法法則:先按照整數(shù)乘法的計算法則算出積,再看因數(shù)中共有幾位小數(shù),就從積的右 邊起數(shù)出幾位,點上小數(shù)點;如果位數(shù)不夠,就用“0”補足。 6、除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法計算法則:先按照整數(shù)除法的法則去除,商的小數(shù)點要和被除數(shù)的小 數(shù)點對齊;如果除到被除數(shù)的末尾仍有余數(shù),就在余數(shù)后面添“0” ,再繼續(xù)除。 7、除數(shù)是小數(shù)的除法計算法則:先移動除數(shù)的小數(shù)點,使它變成整數(shù),除數(shù)的小數(shù)點也向右移動 幾位(位數(shù)不夠的補“0” ) ,然后按照除數(shù)是整數(shù)的除法法則進行計算。 8、同分母分數(shù)加減法計算方法:同分母分數(shù)相加減,只把分子相加減,分母不變。 9、異分母分數(shù)加
34、減法計算方法:先通分,然后按照同分母分數(shù)加減法的的法則進行計算。 10、帶分數(shù)加減法的計算方法:整數(shù)部分和分數(shù)部分分別相加減,再把所得的數(shù)合并起來。 11、分數(shù)乘法的計算法則:分數(shù)乘整數(shù),用分數(shù)的分子和整數(shù)相乘的積作分子,分母不變;分數(shù) 乘分數(shù),用分子相乘的積作分子,分母相乘的積作分母。 12、分數(shù)除法的計算法則:甲數(shù)除以乙數(shù)(0 除外) ,等于甲數(shù)乘乙數(shù)的倒數(shù)。 (六)運算順序 1、小數(shù)四則運算的運算順序和整數(shù)四則運算順序相同。 2、分數(shù)四則運算的運算順序和整數(shù)四則運算順序相同。 3、沒有括號的混合運算:同級運算從左往右依次運算;兩級運算 先算乘、除法,后算加減法。 4、有括號的混合運算:先
35、算小括號里面的,再算中括號里面的,最后算括號外面的。 5、第一級運算:加法和減法叫做第一級運算。 6、第二級運算:乘法和除法叫做第二級運算。 五、應(yīng)用 (一)整數(shù)和小數(shù)的應(yīng)用 1、簡單應(yīng)用題 (1)簡單應(yīng)用題:只含有一種基本數(shù)量關(guān)系,或用一步運算解答的應(yīng)用題,通常叫做簡單應(yīng)用題。 (2)解題步驟: A、 審題理解題意:了解應(yīng)用題的內(nèi)容,知道應(yīng)用題的條件和問題。讀題時,不丟字不添字邊 讀邊思考,弄明白題中每句話的意思。也可以復(fù)述條件和問題,幫助理解題意。 B、選擇算法和列式計算:這是解答應(yīng)用題的中心工作。從題目中告訴什么,要求什么著手,逐 步根據(jù)所給的條件和問題,聯(lián)系四則運算的含義,分析數(shù)量關(guān)系
36、,確定算法,進行解答并標 明正確的單位名稱。 C、檢驗:就是根據(jù)應(yīng)用題的條件和問題進行檢查看所列算式和計算過程是否正確,是否符合題 意。如果發(fā)現(xiàn)錯誤,馬上改正。 2 復(fù)合應(yīng)用題 (1)有兩個或兩個以上的基本數(shù)量關(guān)系組成的,用兩步或兩步以上運算解答的應(yīng)用題,通常叫 做復(fù)合應(yīng)用題。 (2)含有三個已知條件的兩步計算的應(yīng)用題。 求比兩個數(shù)的和多(少)幾個數(shù)的應(yīng)用題。 比較兩數(shù)差與倍數(shù)關(guān)系的應(yīng)用題。 (3)含有兩個已知條件的兩步計算的應(yīng)用題。 已知兩數(shù)相差多少(或倍數(shù)關(guān)系)與其中一個數(shù),求兩個數(shù)的和(或差) 。 已知兩數(shù)之和與其中一個數(shù),求兩個數(shù)相差多少(或倍數(shù)關(guān)系) 。 (4)解答連乘連除應(yīng)用題。
37、(5)解答三步計算的應(yīng)用題。 (6)解答小數(shù)計算的應(yīng)用題:小數(shù)計算的加法、減法、乘法和除法的應(yīng)用題,他們的數(shù)量關(guān)系、結(jié) 構(gòu)、和解題方式都與正式應(yīng)用題基本相同,只是在已知數(shù)或未知數(shù)中間含有小數(shù)。 (7) 解答加法應(yīng)用題: a.求總數(shù)的應(yīng)用題:已知甲數(shù)是多少,乙數(shù)是多少,求甲乙兩數(shù)的和是多少。 b.求比一個數(shù)多幾的數(shù)應(yīng)用題:已知甲數(shù)是多少和乙數(shù)比甲數(shù)多多少,求乙數(shù)是多少。 (8)解答減法應(yīng)用題: a.求剩余的應(yīng)用題:從已知數(shù)中去掉一部分,求剩下的部分。 b.求兩個數(shù)相差的多少的應(yīng)用題:已知甲乙兩數(shù)各是多少,求甲數(shù)比乙數(shù)多多少,或乙數(shù)比 甲數(shù)少多少。 c.求比一個數(shù)少幾的數(shù)的應(yīng)用題:已知甲數(shù)是多少,
38、 ,乙數(shù)比甲數(shù)少多少,求乙數(shù)是多少。 (9)解答乘法應(yīng)用題: a 求相同加數(shù)和的應(yīng)用題:已知相同的加數(shù)和相同加數(shù)的個數(shù),求總數(shù)。 b 求一個數(shù)的幾倍是多少的應(yīng)用題:已知一個數(shù)是多少,另一個數(shù)是它的幾倍,求另一個 數(shù)是多少。 (10)解答除法應(yīng)用題: a.把一個數(shù)平均分成幾份,求每一份是多少的應(yīng)用題:已知一個數(shù)和把這個數(shù)平均分成幾 份的,求每一份是多少。 b.求一個數(shù)里包含幾個另一個數(shù)的應(yīng)用題:已知一個數(shù)和每份是多少,求可以分成幾份。 c.求一個數(shù)是另一個數(shù)的的幾倍的應(yīng)用題:已知甲數(shù)乙數(shù)各是多少,求較大數(shù)是較小數(shù)的幾倍。 d.已知一個數(shù)的幾倍是多少,求這個數(shù)的應(yīng)用題。 (11)常見的數(shù)量關(guān)系:
39、總價= 單價數(shù)量; 路程= 速度時間; 工作總量=工作時間工效 ; 總產(chǎn)量=單產(chǎn)量數(shù)量 3、典型應(yīng)用題 : 具有獨特的結(jié)構(gòu)特征的和特定的解題規(guī)律的復(fù)合應(yīng)用題,通常叫做典型應(yīng)用題。 (1)平均數(shù)問題:平均數(shù)是等分除法的發(fā)展。 解題關(guān)鍵:在于確定總數(shù)量和與之相對應(yīng)的總份數(shù)。 算術(shù)平均數(shù):已知幾個不相等的同類量和與之相對應(yīng)的份數(shù),求平均每份是多少。 數(shù)量關(guān)系式:數(shù)量之和數(shù)量的個數(shù)=算術(shù)平均數(shù)。 加權(quán)平均數(shù):已知兩個以上若干份的平均數(shù),求總平均數(shù)是多少。 數(shù)量關(guān)系式: (部分平均數(shù)權(quán)數(shù))的總和(權(quán)數(shù)的和)=加權(quán)平均數(shù)。 差額平均數(shù):是把各個大于或小于標準數(shù)的部分之和被總份數(shù)均分,求的是標準數(shù)與各 數(shù)相
40、差之和的平均數(shù)。 數(shù)量關(guān)系式: (大數(shù)小數(shù))2=小數(shù)應(yīng)得數(shù)最大數(shù)與各數(shù)之差的和總份數(shù)=最大數(shù)應(yīng)給數(shù) 最大數(shù)與個數(shù)之差的和總份數(shù)=最小數(shù)應(yīng)得數(shù)。 例: 一輛汽車以每小時 100 千米 的速度從甲地開往乙地, 又以每小時 60 千米的速度從 乙地開往甲地。求這輛車的平均速度。 分析:求汽車的平均速度同樣可以利用公式。此題可以把甲地到乙地的路程設(shè)為“ 1 ” , 則汽車行駛的總路程為“ 2 ” ,從甲地到乙地的速度為 100 ,所用的時間為1/100, 汽車從乙地到甲地速度為 60 千米 ,所用的時間是 1/60 ,汽車共行的時間為:1/100+1/60=2/75,汽車的平均速度為: 2 2/75
41、=75(小時)。(2) 歸一問題:已知相互關(guān)聯(lián)的兩個量,其中一種量改變,另一種量也隨之而改變,其變化的規(guī)律是相同的,這種問題稱之為歸一問題。 根據(jù)求“單一量”的步驟的多少,歸一問題可以分為一次歸一問題和兩次歸一問題。 根據(jù)求出單一量之后,解題采用乘法還是除法,歸一問題可以分為正歸一問題和反歸一問題。 一次歸一問題:用一步運算就能求出“單一量”的歸一問題。又稱“單歸一?!?兩次歸一問題:用兩步運算就能求出“單一量”的歸一問題。又稱“雙歸一” 正歸一問題:用等分除法求出“單一量”之后,再用乘法計算結(jié)果的歸一問題。 反歸一問題:用等分除法求出“單一量”之后,再用除法計算結(jié)果的歸一問題。 解題關(guān)鍵:從
42、已知的一組對應(yīng)量中用等分除法求出一份的數(shù)量(單一量) ,然后以它為標 準,根據(jù)題目的要求算出結(jié)果。 數(shù)量關(guān)系式:單一量份數(shù)=總數(shù)量(正歸一) 總數(shù)量單一量=份數(shù)(反歸一) 例 : 一個織布工人,在七月份織布 4774 米 ,照這樣計算,織布 6930 米,需要多少天? 分析:必須先求出平均每天織布多少米,就是單一量。 693 0(477 431)=45(天) (3)歸總問題:是已知單位數(shù)量和計量單位數(shù)量的個數(shù),以及不同的單位數(shù)量(或單位數(shù)量的 個數(shù)) ,通過求總數(shù)量求得單位數(shù)量的個數(shù)(或單位數(shù)量) 。 特點:兩種相關(guān)聯(lián)的量,其中一種量變化,另一種量也跟著變化,不過變化的規(guī)律相反, 和反比例算法
43、彼此相通。 數(shù)量關(guān)系式:單位數(shù)量單位個數(shù)另一個單位數(shù)量 = 另一個單位數(shù)量 例: 修一條水渠,原計劃每天修 800 米 , 6 天修完。實際 4 天修完,每天修了多少米? 分析: 因為要求出每天修的長度, 就必須先求出水渠的長度。 所以也把這類應(yīng)用題叫做 “歸 總問題” 。不同之處是“歸一”先求出單一量,再求總量,歸總問題是先求出總量, 再求單一量。 800 6 4=1200 (米) (4)和差問題:已知大小兩個數(shù)的和,以及他們的差,求這兩個數(shù)各是多少的應(yīng)用題叫做和差問題。 解題關(guān)鍵:是把大小兩個數(shù)的和轉(zhuǎn)化成兩個大數(shù)的和(或兩個小數(shù)的和) ,然后再求另一個數(shù)。 解題規(guī)律: (和差)2 = 大數(shù)
44、 大數(shù)差=小數(shù) (和差)2=小數(shù) 和小數(shù)= 大數(shù) 例: 某加工廠甲班和乙班共有工人 94 人,因工作需要臨時從乙班調(diào) 46 人到甲班工作, 這時乙班比甲班人數(shù)少 12 人,求原來甲班和乙班各有多少人? 分析:從乙班調(diào) 46 人到甲班,對于總數(shù)沒有變化,現(xiàn)在把乙數(shù)轉(zhuǎn)化成 2 個乙班, 即 9 4 12 ,由此得到現(xiàn)在的乙班是( 9 4 12 ) 2=41 (人) ,乙班在調(diào) 出 46 人之前應(yīng)該為 41+46=87 (人) ,甲班為 9 4 87=7 (人) (5)和倍問題:已知兩個數(shù)的和及它們之間的倍數(shù)關(guān)系,求兩個數(shù)各是多少的應(yīng)用題, 叫做和倍問題。解題關(guān)鍵:找準標準數(shù)(即 1 倍數(shù))一般說來
45、,題中說是“誰”的幾倍,把誰就確定為標準數(shù)。求出倍數(shù)和之后,再求出標準的數(shù)量是多少。根據(jù)另一個數(shù)(也可能是 幾個數(shù))與標準數(shù)的倍數(shù)關(guān)系,再去求另一個數(shù)(或幾個數(shù))的數(shù)量。 解題規(guī)律:和倍數(shù)和=標準數(shù) 標準數(shù)倍數(shù)=另一個數(shù) 例:汽車運輸場有大小貨車 115 輛,大貨車比小貨車的 5 倍多 7 輛,運輸場有大貨車和小汽車各有多少輛? 分析:大貨車比小貨車的 5 倍還多 7 輛,這 7 輛也在總數(shù) 115 輛內(nèi),為了使總數(shù)與 ( 5+1 )倍對應(yīng),總車輛數(shù)應(yīng)( 115-7 )輛 。 列式為: ( 115-7 )( 5+1 ) =18 (輛) , 18 5+7=97 (輛) (6)差倍問題:已知兩個數(shù)
46、的差,及兩個數(shù)的倍數(shù)關(guān)系,求兩個數(shù)各是多少的應(yīng)用題。 解題規(guī)律:兩個數(shù)的差(倍數(shù)1 )= 標準數(shù) 標準數(shù)倍數(shù)=另一個數(shù)。 例:甲乙兩根繩子,甲繩長 63 米 ,乙繩長 29 米 ,兩根繩剪去同樣的長度,結(jié)果甲所剩的長度是乙繩長的 3 倍,甲乙兩繩所剩長度各多少米? 各減去多少米? 分析:兩根繩子剪去相同的一段,長度差沒變,甲繩所剩的長度是乙繩的 3 倍,實際比乙繩多 ( 3-1 )倍,以乙繩的長度為標準數(shù)。 列式: ( 63-29 )( 3-1 ) =17 (米)? 乙繩剩下的長度, 17 3=51 (米)? 甲繩剩下的長度, 29-17=12 (米)? 剪去的長度。 (7)行程問題:關(guān)于走路
47、、行車等問題,一般都是計算路程、時間、速度,叫做行程問題。解答這類問題首先要搞清楚速度、時間、路程、方向、杜速度和、速度差等概念, 了解他們之間的關(guān)系,再根據(jù)這類問題的規(guī)律解答。 解題關(guān)鍵及規(guī)律: 同時同地相背而行:路程=速度和時間。 同時相向而行:相遇時間=速度和時間 同時同向而行(速度慢的在前,快的在后) :追及時間=路程速度差。 同時同地同向而行(速度慢的在后,快的在前) :路程=速度差時間。 例: 甲在乙的后面 28 千米 ,兩人同時同向而行,甲每小時行 16 千米 ,乙每小時行 9 千米 ,甲幾小時追上乙? 分析:甲每小時比乙多行( 16-9 )千米,也就是甲每小時可以追近乙( 16
48、-9 )千米, 這是速度差。已知甲在乙的后面 28 千米 (追擊路程) , 28 千米 里包含著幾個 ( 16-9 )千米,也就是追擊所需要的時間。 列式: 2 8 (16-9)=4 (小時) (8)流水問題:一般是研究船在“流水”中航行的問題。它是行程問題中比較特殊的一種類型,它也是一種和差問題。它的特點主要是考慮水速在逆行和順行中的不同作用。 船速:船在靜水中航行的速度。 水速:水流動的速度。 順水速度:船順流航行的速度。 逆水速度:船逆流航行的速度。順速=船速水速 逆速=船速水速 解題關(guān)鍵:因為順流速度是船速與水速的和,逆流速度是船速與水速的差,所以流水問題 當(dāng)作和差問題解答。 解題時要
49、以水流為線索。 解題規(guī)律:船行速度=(順水速度+ 逆流速度)2 流水速度=(順流速度-逆流速度)2 路程=順流速度順流航行所需時間 路程=逆流速度逆流航行所需時間 例: 一只輪船從甲地開往乙地順水而行,每小時行 28 千米,到乙地后,又逆水航行,回到甲地。逆水比順水多行 2 小時,已知水速每小時 4 千米。求甲乙兩地相距多少千米? 分析:此題必須先知道順水的速度和順水所需要的時間,或者逆水速度和逆水的時間。已知順水速度和水流速度,因此不難算出逆水的速度,但順水所用的時間,逆水所用的時間不知道,只知道順水比逆水少用 2 小時,抓住這一點,就可以就能算出順水 從甲地到乙地的所用的時間,這樣就能算出
50、甲乙兩地的路程。 列式為: 284 2=20 (千米) ; 2 0 2 =40 (千米) ; 40 ( 4 2 ) =5 (小時) ; 28 5=140 (千米) 。 (9) 還原問題:已知某未知數(shù),經(jīng)過一定的四則運算后所得的結(jié)果,求這個未知數(shù)的應(yīng)用題, 我們叫做還原問題。 解題關(guān)鍵:要弄清每一步變化與未知數(shù)的關(guān)系。 解題規(guī)律:從最后結(jié)果出發(fā),采用與原題中相反的運算(逆運算)方法,逐步推導(dǎo)出原數(shù)。 根據(jù)原題的運算順序列出數(shù)量關(guān)系,然后采用逆運算的方法計算推導(dǎo)出原數(shù)。解答還原問題時注意觀察運算的順序。若需要先算加減法,后算乘除法時別忘記寫 括號。 例: 某小學(xué)三年級四個班共有學(xué)生 168 人,如
51、果四班調(diào) 3 人到三班,三班調(diào) 6 人到二 班,二班調(diào) 6 人到一班,一班調(diào) 2 人到四班,則四個班的人數(shù)相等,四個班原有學(xué)生多少人? 分析:當(dāng)四個班人數(shù)相等時,應(yīng)為 168 4 ,以四班為例,它調(diào)給三班 3 人,又從一 班調(diào)入 2 人,所以四班原有的人數(shù)減去 3 再加上 2 等于平均數(shù)。 四班原有人數(shù)列式為: 168 4-2+3=43 (人) 一班原有人數(shù)列式為: 168 4-6+2=38 (人) 二班原有人數(shù)列式為: 168 4-6+6=42 (人) 三班原有人數(shù)列式為: 168 4-3+6=45 (人) 。 (10)植樹問題:這類應(yīng)用題是以“植樹”為內(nèi)容。凡是研究總路程、株距、段數(shù)、棵樹
52、四種數(shù)量關(guān)系的應(yīng)用題,叫做植樹問題。 解題關(guān)鍵:解答植樹問題首先要判斷地形,分清是否封閉圖形,從而確定是沿線段植樹還是沿周長植樹,然后按基本公式進行計算。 解題規(guī)律: a.沿線段植樹 棵樹=段數(shù)+1 棵樹=總路程株距+1 株距=總路程(棵樹-1) 總路程=株距(棵樹-1) b.沿周長植樹 棵樹=總路程株距 株距=總路程棵樹 總路程=株距棵樹 例: 沿公路一旁埋電線桿 301 根,每相鄰的兩根的間距是 50 米 。后來全部改裝,只埋 了 201 根。求改裝后每相鄰兩根的間距。 分析:本題是沿線段埋電線桿,要把電線桿的根數(shù)減掉一。 列式為: 50 ( 301-1 )( 201-1 ) =75 (米
53、) (11 )盈虧問題:是在等分除法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。 他的特點是把一定數(shù)量的物品,平均分配給一定數(shù)量的人, 在兩次分配中, 一次有余, 一次不足 (或兩次都有余) , 或兩次都不足) ,已知所余和不足的數(shù)量,求物品適量和參加分配人數(shù)的問題,叫做盈虧問題。 解題關(guān)鍵:盈虧問題的解法要點是先求兩次分配中分配者沒份所得物品數(shù)量的差,再求兩 次分配中各次共分物品的差(也稱總差額) ,用前一個差去除后一個差,就得到分配者的數(shù),進而再求得物品數(shù)。 解題規(guī)律:總差額每人差額=人數(shù) 總差額的求法可以分為以下四種情況: a.第一次多余,第二次不足,總差額=多余+ 不足 b.第一次正好,第二次多余或不足 ,總
54、差額=多余或不足 c.第一次多余,第二次也多余,總差額=大多余-小多余 d.第一次不足,第二次也不足, 總差額= 大不足-小不足 例: 參加美術(shù)小組的同學(xué), 每個人分的相同的支數(shù)的色筆, 如果小組 10 人, 則多 25 支, 如果小組有 12 人,色筆多余 5 支。求每人 分得幾支?共有多少支色鉛筆? 分析:每個同學(xué)分到的色筆相等。這個活動小組有 12 人,比 10 人多 2 人,而色筆多出 了( 25-5 ) =20 支 , 2 個人多出 20 支,一個人分得 10 支。 列式為: ( 25-5 )( 12-10 ) =10 (支) ; 10 12+5=125 (支) 。 (12)年齡問題
55、:將差為一定值的兩個數(shù)作為題中的一個條件,這種應(yīng)用題被稱為“年齡問題” 。 解題關(guān)鍵:年齡問題與和差、和倍、差倍問題類似,主要特點是隨著時間的變化,年歲不斷增長,但大小兩個不同年齡的差是不會改變的,因此,年齡問題是一種“差不 變”的問題,解題時,要善于利用差不變的特點。 例: 父親 48 歲,兒子 21 歲。問幾年前父親的年齡是兒子的 4 倍? 分析:父子的年齡差為 48-21=27 (歲) 。由于幾年前父親年齡是兒子的 4 倍,可知父子年齡的倍數(shù)差是( 4-1 )倍。這樣可以算出幾年前父子的年齡,從而可以求出幾年 前父親的年齡是兒子的 4 倍。 列式為: 21( 48-21 )( 4-1 )
56、 =12 (年) (13)雞兔問題:已知“雞兔”的總頭數(shù)和總腿數(shù)。求“雞”和“兔”各多少只的一類應(yīng)用題。 通常稱為“雞兔問題”又稱雞兔同籠問題 解題關(guān)鍵:解答雞兔問題一般采用假設(shè)法,假設(shè)全是一種動物(如全是“雞”或全是“兔” , 然后根據(jù)出現(xiàn)的腿數(shù)差,可推算出某一種的頭數(shù)。 解題規(guī)律: (總腿數(shù)雞腿數(shù)總頭數(shù))一只雞兔腿數(shù)的差=兔子只數(shù) 兔子只數(shù)=(總腿數(shù)-2總頭數(shù))2 如果假設(shè)全是兔子,可以有下面的式子: 雞的只數(shù)=(4總頭數(shù)-總腿數(shù))2 兔的頭數(shù)=總頭數(shù)-雞的只數(shù) 例: 雞兔同籠共 50 個頭, 170 條腿。問雞兔各有多少只?兔子只數(shù): ( 170-2 50 ) 2 =35 (只) 雞的只
57、數(shù): 50-35=15 (只) (二)分數(shù)和百分數(shù)的應(yīng)用 1、分數(shù)加減法應(yīng)用題:分數(shù)加減法的應(yīng)用題與整數(shù)加減法的應(yīng)用題的結(jié)構(gòu)、數(shù)量關(guān)系和解題方 法基本相同,所不同的只是在已知數(shù)或未知數(shù)中含有分數(shù)。 2、分數(shù)乘法應(yīng)用題:是指已知一個數(shù),求它的幾分之幾是多少的應(yīng)用題。 特征:已知單位“1”的量和分率,求與分率所對應(yīng)的實際數(shù)量。 解題關(guān)鍵:準確判斷單位“1”的量。找準要求問題所對應(yīng)的分率,然后根據(jù)一個數(shù)乘分數(shù) 的意義正確列式。 3、分數(shù)除法應(yīng)用題: (1)求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾(或百分之幾)是多少。 特征:已知一個數(shù)和另一個數(shù),求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾或百分之幾。 “一個數(shù)”是比較量, “
58、另一個數(shù)”是標準量。求分率或百分率,也就是求他們的倍數(shù)關(guān)系。 解題關(guān)鍵:從問題入手,搞清把誰看作標準的數(shù)也就是把誰看作了“單位一” ,誰和單位一 的量作比較,誰就作被除數(shù)。 甲是乙的幾分之幾(百分之幾):甲是比較量,乙是標準量,用甲除以乙。 甲比乙多(或少)幾分之幾(百分之幾) :甲減乙比乙多(或少幾分之幾)或(百分之幾) 。 關(guān)系式: (甲數(shù)減乙數(shù))/乙數(shù) 或(甲數(shù)減乙數(shù))/甲數(shù) 。 (2)已知一個數(shù)的幾分之幾(或百分之幾 ) ,求這個數(shù)。 特征:已知一個實際數(shù)量和它相對應(yīng)的分率,求單位“1”的量。 解題關(guān)鍵:準確判斷單位“1”的量把單位“1”的量看成 x 根據(jù)分數(shù)乘法的意義列方程,或者根據(jù)
59、分數(shù)除法的意義列算式,但必須找準和分率相對應(yīng)的已知實際數(shù)量。 4、百分率: 發(fā)芽率=發(fā)芽種子數(shù)/試驗種子數(shù)100% 小麥的出粉率= 面粉的重量/小麥的重量100% 產(chǎn)品的合格率=合格的產(chǎn)品數(shù)/產(chǎn)品總數(shù)100% 職工的出勤率=實際出勤人數(shù)/應(yīng)出勤人數(shù)100% 5、 工程問題: 是分數(shù)應(yīng)用題的特例,它與整數(shù)的工作問題有著密切的聯(lián)系。它是探討工作總量、工作效率和工作時間三個數(shù)量之間相互關(guān)系的一種應(yīng)用題。 解題關(guān)鍵:把工作總量看作單位“1” ,工作效率就是工作時間的倒數(shù),然后根據(jù)題目的具體情況,靈活運用公式。 數(shù)量關(guān)系:工作總量=工作效率工作時間 工作效率=工作總量工作時間 工作時間=工作總量工作效率
60、 工作總量工作效率和=合作時間 6、納稅:納稅就是把根據(jù)國家各種稅法的有關(guān)規(guī)定,按照一定的比率把集體或個人收入的一部分繳納給國家。 繳納的稅款叫應(yīng)納稅款。 應(yīng)納稅額與各種收入的(銷售額、營業(yè)額、應(yīng)納稅所得額 ?)的比率叫做稅率。 7、利息: 存入銀行的錢叫做本金。 取款時銀行多支付的錢叫做利息。 利息與本金的比值叫做利率。 利息=本金利率時間 第二章 度量衡一、長度 (一) 什么是長度:長度是一維空間的度量。(二) 長度常用單位:公里(km) 、米(m) 、分米(dm) 、厘米(cm) 、毫米(mm) 、微米(um) (三) 單位之間的換算: 1 毫米 1000 微米; 1 厘米10 毫米;
61、1 分米 10 厘米; 1 米 1000 毫米; 1 千米1000 米; 二、面積 (一)什么是面積 面積,就是物體所占平面的大小。對立體物體的表面的多少的測量一般稱表面積。 (二)常用的面積單位 平方毫米、 平方厘米、 平方分米、 平方米、 平方千米 (三)面積單位的換算:1 平方厘米100 平方毫米; 1 平方分米=100 平方厘米 ; 1 平方米 100 平方分米; 1 公傾 10000 平方米; 1 平方公里 100 公頃; 三、體積和容積 (一)什么是體積、容積 體積就是物體所占空間的大小。 容積是指箱子、油桶、倉庫等所能容納物體的體積,通常叫做它們的容積。 (二)常用單位 1、體積
62、單位: 立方米、 立方分米、 立方厘米 2、容積單位: 升、 毫升 (三)單位換算 1、體積單位: 1 立方米=1000 立方分米; 1 立方分米=1000 立方厘米; 2、容積單位: 1 升=1000 毫升; 1 升=1 立方米; 1 毫升=1 立方厘米 四、質(zhì)量 (一)什么是質(zhì)量:質(zhì)量是指表示表示物體有多重。 (二)常用單位: 噸(t) 、 千克(kg) 、 克(g) (三)常用換算: 一噸=1000 千克; 1 千克=1000 克 五、時間 (一)什么是時間:是指有起點和終點的一段時間。 (二)常用單位: 世紀、 年 、 月 、 日 、 時 、 分、 秒。 (三)單位換算: 1 世紀=100 年; 1 年=365 天( 平年 ) ; 1 年=366 天( 閏年 ) ; 一、三、五、七、八、十、十二是大月;大月有 31 天。 四、六、九、十一是小月小月;小月有 30 天。 平年 2 月有 28 天; 閏年 2 月有 29 天。 1 天= 24 小時;1
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