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1、蘭州交通大學(xué)數(shù)學(xué)建模數(shù) 學(xué) 建 模 論 文銀行貸款問題模型 姓 名 1： 學(xué)號：姓 名 2： 學(xué)號： 姓 名 3： 學(xué)號：班 級：指導(dǎo)教師：2014年 5 月 24 日目錄摘要- 2一、問題敘述- 2二、問題分析- 2三、基本假定-54、 模型的建立及求解1、 等額本金還款法2、 等額本息還款法5、 模型的進(jìn)一步分析6、 模型的評價(jià)及推廣7、 參考文獻(xiàn)附：等額本息還款法和等額本金還款法的比較-5- 0 -摘要隨著社會的不斷發(fā)展，人們?nèi)找嬖鲩L的物質(zhì)需求也不斷升高，可是對于大部分人來說，要想完成一些經(jīng)濟(jì)活動，需要向銀行貸款，目前商業(yè)銀行已經(jīng)加大了個(gè)人貸款的力度，“門檻”也一降再降，申請個(gè)人貸款已經(jīng)

2、不是件難事。對于貸款，大多數(shù)銀行主要采用兩種還貸方式 ：等額本息還款法和等額本金還款法。若我們根據(jù)已知年利率，針對每月還款額和個(gè)月限滿后的最后一月付款后本利和為零，推導(dǎo)出等額本金還款法和等額本息還款法的還款總額、利息負(fù)擔(dān)總和、月供的公式。合理假設(shè)的前提下，運(yùn)用等差數(shù)列求和設(shè)計(jì)等額本金還款法償還貸款本息和每月還款額的模型，運(yùn)用迭代和等比數(shù)列求和兩種不同方法從不同角度推導(dǎo)等額本息還款法償還貸款本息和每月還款額的模型，通過計(jì)算討論比較償還貸款本息的多少。關(guān)鍵詞：貸款 利率 還款總額 等額本金還款 等額本息還款 一、問題敘述某家庭貸款30萬元購買一套房子，貸款(年)利率為7%，用15年的時(shí)間還清貸款。

3、不同的貸款方案將會產(chǎn)生不同的效益，根據(jù)問題的要求，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型解答出不同情況下每月還款額以及利息、還款的時(shí)間。對不同方法進(jìn)行比較，并選出最優(yōu)方案。問題如下：1. 等額本息還款的方式償還貸款；2. 等額本金還款的方式償還貸款；3. 首先前5年用等額本息還款中途用等額本金還款的方式償還貸款；4. 考慮收入增長的情況下，貸款人收入每年增加一次且增加額為k的方式償還貸款。2、 問題分析銀行貸款還款的利息方式計(jì)算方法有等額本息還款法和等額本金還款法。 等額本息還款法：利息和=本金年利率個(gè)月限月供=本息和/總個(gè)月數(shù)=本金（1+年利率個(gè)月限）/個(gè)月限/12個(gè)月 等額本金還款法：利息和=本金（總個(gè)月數(shù)+

4、1）/2年利率/12個(gè)月月供=固定每個(gè)月應(yīng)還本金+當(dāng)個(gè)月利息=本金/總個(gè)月數(shù)+（本金-固定每個(gè)月應(yīng)還本金已還個(gè)月數(shù)）年利率/12個(gè)月以上兩類還款法計(jì)算公式都為絕對公式，是在利率不變的前提條件下來計(jì)算總利息和月供的，所以假設(shè)銀行在貸款個(gè)月利率不變。由上面利息償還公式中可見，月利息是與上月剩余本金成正比的，由于在貸款初個(gè)月，剩余本金較多，所以可見，貸款初個(gè)月每月的利息較多，月還款額中償還利息的份額較重。隨著還款次數(shù)的增多，剩余本金將逐漸減少，月還款的利息也相應(yīng)減少，直到最后一個(gè)月，本金全部還清，利息付最后一次，下個(gè)月將既無本金又無利息，至此，全部貸款償還完畢。兩種貸款的償還原理就如上所述。上述兩個(gè)

5、公式是月還款的基本公式.其他公式都可由此導(dǎo)出。三、基本假設(shè)1、貸款月利率不變(目前個(gè)人房貸5-30年的貸款年利率為7%)i=7%/12=5.83 ，每月還息近似用月利率按月計(jì)算計(jì)算，不到5年的也近似用該利率計(jì)算。2、假設(shè)貸款人5年后有現(xiàn)金凈現(xiàn)值（時(shí)間因素）3、貸款人有足夠能力支付每月房貸4、貸款人每月消費(fèi)十分理智5、貸款人沒有其他獲取錢的渠道，不足的款項(xiàng)只能從銀行合法獲得6、貸款人的目標(biāo)是在保證基本生活前提的條件下，努力償還貸款。四、模型的建立及求解模型一：等額本金還款法設(shè)：貸款本金為 A元平均每月應(yīng)還本金B(yǎng)元還款額為 x 元貸款年利率為r貸款月利率為 貸款個(gè)月為 m還款月數(shù)為 n設(shè)第n個(gè)月應(yīng)

6、付的金額為( i = 1.2.3. m ) (單位：元)因此，第一個(gè)月應(yīng)付的金額為 ： 第二個(gè)月應(yīng)付的金額為 ： 那么，第n個(gè)月應(yīng)付的金額為 ：累計(jì)應(yīng)付的還款總額為 ：利息負(fù)擔(dān)總和為 ： 將每個(gè)月還款制成表格如下：年份月數(shù)月利率()年利率(%)每月應(yīng)還利息月還款總額1125.8371642.1166673308.7833332245.8371525.5166673192.1833333365.8371408.9166673075.5833334485.8371292.3166672958.9833335605.8371175.7166672842.3833336725.8371059.1166

7、672725.7833337845.837942.51666672609.1833338965.837825.91666672492.58333391085.837709.31666672375.983333101205.837592.71666672259.383333111325.837476.11666672142.783333121445.837359.51666672026.183333131565.837242.91666671909.583333141685.837126.31666671792.983333151805.8379.7166666671676.383333支付利息

8、：Y=（n+1）a/2=158284.5（元）還款總額：M=（n+1）a/2+a=458284.5（元）若用C+語言編寫，其主程序如下：#include#includevoid main()double x,s=0,d;int i=1;do x=(300000-300000*（i-1）/180)*0.0051+300000/180;printf(第%d個(gè)月還款總額：%6.2fn,i,x);s=s+x;i+;while(i=180);printf(還款總額：%7.2f%n總利息：%7.2fn,s,d); 模型二:等額本息還款法設(shè)：貸款本金為 A元平均每月應(yīng)還本金B(yǎng)元還款額為 x 元貸款年利率為r

9、貸款月利率為 貸款個(gè)月為 m還款月數(shù)為 n設(shè)：（i=1n）是在第1個(gè)月還款前還欠銀行的金額 (i=1n) 是在第2個(gè)月還錢后欠銀行的金額. 則有：第1個(gè)月還款前欠銀行的金額：第1個(gè)月還款后欠銀行的金額： 第i個(gè)月還款前欠銀行的金額：第i個(gè)月還款后欠銀行的金額： 第n個(gè)月還款前欠銀行的金額：第n個(gè)月還款后欠銀行的金額：因?yàn)榈趎個(gè)月還款后，欠銀行的金額就還清. 也就是說：，即：解方程得：年份月數(shù)月利率()年利率(%)月還款總額1125.83725957.470632245.83713431.229733365.8379262.5804114485.8377183.3166725605.837593

10、9.7934166725.8375114.1257397845.8374527.2174068965.8374089.51797991085.8373751.275198101205.174018.466582111325.8373264.601217121445.8373084.503643131565.8372933.572279141685.8372805.541076151805.8372695.813968模型三：首先用等額本息還款中途用等額本金還款的方式償還貸款； 首先前5年貸款人用等額本息還款法，而后資金較有增長改用等額本金還款的方式償還剩余的10年貸款。在以上兩種模型的基礎(chǔ)上，

11、推導(dǎo)此模型。運(yùn)用EXCEL計(jì)算5年等額本息還款法的月還款總額和累計(jì)還款總額月數(shù)月利率()年利率(%)月還款總額累計(jì)還款總額15.83725957.4706325957.4725.83713431.2297339388.7003635.8379262.58041148651.2807745.8377183.31667255834.5974455.8375939.79341661774.3908665.8375114.12573966888.516675.8374527.21740671415.73485.8374089.51797975505.2519895.8373751.2751987925

12、6.52718105.174018.46658283274.99376115.8373264.60121786539.59498125.8373084.50364389624.09862135.8372933.57227992557.6709145.8372805.54107695363.21198155.8372695.81396898059.02595165.8372696.813968100755.8399 585.8372738.813968214925.0266595.8372739.813968217664.8405605.8372740.813968220405.6545由此表可

13、知，經(jīng)5年的等額本息還款，貸款人已經(jīng)償還欠款220405.6545元，還有300000-220405.6545=79594.3455元未償還，剩余的這部分貸款采用等額本金還款方式償還。月數(shù)月利率()年利率(%)每月應(yīng)還利息月還款總額15.837464.03503431127.32123425.837460.16807561123.45427635.837456.3011171119.58731745.837452.43415841115.72035855.837448.56719981111.853465.837444.70024121107.98644175.837440.833282611

14、04.11948385.837436.96632391100.25252495.837433.09936531096.385565105.837429.23240671092.518607115.837425.36544811088.651648125.837421.49848951084.784689135.837417.63153081080.917731145.837413.76457221077.050772155.837409.89761361073.183814165.837406.0306551069.3168551195.8377.733917238671.0201172120

15、5.8373.866958619667.1531586后10年用等額本金還款的方式償還剩余貸款，總還款數(shù)額為107668.4636元，故前5年用等額本息還款中途用等額本金還款的方式償還貸款總計(jì)還款數(shù)額為107668.4636+220405.6545=328074.1181元模型四:考慮收入增長的情況下，貸款人收入每年增加一次且增加額為k的方式償還貸款。同模型三一樣，貸款人先期資金較貧乏，采用等額本息還款方式，在考慮收入增長的情況下，假設(shè)收入平均每年只增長一次，第k年增長額為k.設(shè)：貸款本金為 A元每月月收入為Y元每月平均消費(fèi)為C元貸款月利率為 還款月數(shù)為 n第i年末工資增加額度第i年每月需要還

16、款的錢數(shù)（即月供）每i年的補(bǔ)償額（在A中提取一部分錢用于補(bǔ)償某幾個(gè)月的收入，使每個(gè)月月還款數(shù)趨于相同）銀行按等額本息貸款的公式由模型2推導(dǎo)可知：整理以上公式的還款月數(shù)為：則其有關(guān)約束條件為第一年月供為=Y-C+第二年月供為=(Y+)+-C+第三年月供為=（Y+)+-C+第n年月供為=（Y+）+-C+又有綜合以上各式假設(shè)n=5，即第5年月供時(shí)。將以上式子簡化為如下矩陣有：其中，第1、2、3、4列分別為、所取到的值，第5列為的值，第6、7、8、9列分別是、所取到的值。在此模型中，此時(shí)未知量為和，合理賦值=1000元時(shí)，運(yùn)用C語言編程#include#includevoid main()double

17、 i=0.00583,Y=8000,A=300000;n=log(x/(x-A*i)/(log(1+i);X1=Y-C+B1；X2=(Y+K1)-C+B2；X3=(Y+K1+K2)-C+B3；X4=(Y+K1+K2+K3)-C+B4；X5=(Y+K1+K2+K3+K4)-C+B5；X1=X2=X3=X4=X5；12*（B1+B2+B3+B4）+(n-48)*B5=A;printf(“x1=%8f A=%8f n=%8f);5、 模型的進(jìn)一步分析如何選擇適合自己的方式，并且需要考慮下面幾個(gè)方面：要考慮現(xiàn)有經(jīng)濟(jì)實(shí)力。 借款人在完成購房首個(gè)月付款后，如果還剩有一定積蓄，且在一段時(shí)個(gè)月內(nèi)沒有合適的投向

18、、用途或投資理財(cái)能力欠強(qiáng)，那么專家提議可選擇“本金法”。充足的積蓄既可以自如應(yīng)付還款前個(gè)月較大的壓力，又可降低借款的利息支出，好處看得見。對于一些臨近退休收入遞減的中老年職工家庭，這是一個(gè)不錯(cuò)的選擇。要把握未來收入預(yù)個(gè)月。 長個(gè)月穩(wěn)定的職業(yè)是保障穩(wěn)定收入的基礎(chǔ)，由于“本息法”前個(gè)月還款壓力較小，更適合于就業(yè)時(shí)間短、收入處于上升個(gè)月的年輕人。而且，由于每個(gè)月還款金額是固定的，在借款人家庭收入相對固定的情況下，一般不會感到太大的壓力。要合理設(shè)定還款個(gè)月限。 借款個(gè)月限長意味著還款總額高，但月還數(shù)額小又降低還款壓力。對青年家庭來說，未來的歲月里需要花費(fèi)的還很多，盡可能延長借款個(gè)月也許是不錯(cuò)的選擇。對

19、于年長者來說，在能承受的前提下，盡可能壓縮借款個(gè)月，以免退休時(shí)收入驟減、債個(gè)月還遙遙無個(gè)月而影響晚年生活質(zhì)量。不同的還款方式，只是為滿足不同收入、不同年齡、不同消費(fèi)觀念人們的不同需要或消費(fèi)偏好而設(shè)定。從靜態(tài)看，三種還款方式存在著利息差，但從動態(tài)看，在考慮時(shí)間因素情況下，三種還款方式完全不存在差異！正因?yàn)楹雎粤速Y金的時(shí)間價(jià)值因素，很多借款人誤以為自己選擇等額本息還款法多付了利息。但是，不管采取哪種貸款還款方式，銀行都沒有做吃虧的買賣；客戶也不存在節(jié)省利息支出的實(shí)惠。六、模型的評價(jià)及推廣一個(gè)好的模型不能由于初始的數(shù)據(jù)的微小誤差而導(dǎo)致結(jié)果的較大改變。我們對最少還款在一定條件下做了隨機(jī)的微小波動，分別

20、對模型1、模型2加以檢驗(yàn)，從檢驗(yàn)的結(jié)果可以得出兩個(gè)模型的穩(wěn)定性比較好。（一）模型的優(yōu)缺點(diǎn)與改進(jìn)方向1、模型的優(yōu)點(diǎn)：（1）采用的數(shù)學(xué)模型有成熟的理論基礎(chǔ)，可信度較高。（2）本文建立的模型與實(shí)際緊密聯(lián)系，考慮現(xiàn)實(shí)情況的多樣性，從而使模型更貼近實(shí)際，更實(shí)用。（3）本文用數(shù)學(xué)工具，嚴(yán)密對模型求解，具有科學(xué)性。2、模型缺點(diǎn)：（1）模型復(fù)雜因素較多，不能對其進(jìn)行全面考慮。（2）利率的精確度不同可能造成一定誤差（3）經(jīng)濟(jì)社會中隨機(jī)因素較多，使模型不能將其準(zhǔn)確反應(yīng)出來3、模型的改進(jìn)（1）考慮通貨膨脹等市場經(jīng)濟(jì)中的因素（2）考慮國家政策、重大事件比如加息對人們還貸行為的影響（3）對利率有更準(zhǔn)確的計(jì)算方法（4）考

21、慮不同人群的消費(fèi)觀念和收入水平（二）模型推廣根據(jù)前面模型所建立的還款系統(tǒng)，可以很好的解決人們的房屋貸款問題。在建模過程中，簡化了很多因素，因而與實(shí)際問題有所偏差，因此，要想建立更好的還款方案，可以對一個(gè)實(shí)際的房屋貸款方案進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬，將得到的實(shí)際數(shù)據(jù)輸入計(jì)算機(jī)程序，便可以得出更優(yōu)的還款方案。七、參考文獻(xiàn)1 吳建國，數(shù)學(xué)建模案里例精編，北京：中國水利水電出版社,20062 李尚志，數(shù)學(xué)建模競賽教程，南京：江蘇教育出版社，1996 3 馮偉，黃力偉，王勤，尹成義，數(shù)學(xué)建模原理與案例：科學(xué)出版 4 朱道元，數(shù)學(xué)建模案例精選，北京：科學(xué)出版社 ，2003 5 周開利，鄧春暉，MATLAB基礎(chǔ)及其應(yīng)用

22、教程：北京大學(xué)出版社，2007 6 姜啟源，數(shù)學(xué)模型，北京：高等教育出版社，19937 冬雪，關(guān)于貸款償還方式的數(shù)學(xué)模型，http:/ ，2013.6.2附件： 等額本息還款法和等額本金還款法的比較1、等額還款法，即借款人每月按相等的金額償還貸款本息，其中每月貸款利息按月初剩余貸款本金計(jì)算并逐月結(jié)清。 由于每月的還款額相等，因此，在貸款初個(gè)月每月的還款中，剔除按月結(jié)清的利息后，所還的貸款本金就較少；而在貸款后個(gè)月因貸款本金不斷減少、每月的還款額中貸款利息也不斷減少，每月所還的貸款本金就較多。 這種還款方式，實(shí)際占用銀行貸款的數(shù)量更多、占用的時(shí)間更長，同時(shí)它還便于借款人合理安排每月的生活和進(jìn)行理

23、財(cái)（如以租養(yǎng)房等），對于精通投資、擅長于“以錢生錢”的人來說，無疑是最好的選擇！ 2、等額本金還款法，即借款人每月按相等的金額（貸款金額/貸款月數(shù)）償還貸款本金，每月貸款利息按月初剩余貸款本金計(jì)算并逐月結(jié)清，兩者合計(jì)即為每月的還款額。 由于每月所還本金固定，而每月貸款利息隨著本金余額的減少而逐月遞減，因此，等額本金還款法在貸款初個(gè)月月還款額大，此后逐月遞減（月遞減額月還本金月利率）。例如同樣是借30萬元、15年個(gè)月的公積金貸款，等額本息還款法的月還款額為2866.956115元，而等額本金還款法的首月還款額為3666.666467元（以后每月遞減11.1111元）,比前者高出799.71035

24、2元。由于后者提前歸還了部分貸款本金 ，較前者實(shí)際上是減少占用和縮短占用了銀行的錢，當(dāng)然貸款利息總的計(jì)算下來就少一些（15年下來共計(jì)為35052.1186元），而并不是借款人得到了什么額外實(shí)惠！ 此種還款方式，適合生活負(fù)擔(dān)會越來越重（養(yǎng)老、看病、孩子讀書等）或預(yù)計(jì)收入會逐步減少的人使用。 可見，等額本金還款方式，不是節(jié)省利息的選擇。如果真正有什么節(jié)省利息的良方，那就是應(yīng)當(dāng)學(xué)會理智消費(fèi)，根據(jù)自己的經(jīng)濟(jì)實(shí)力，量體裁衣、量入為出，盡量少貸款、貸短款，才是唯一可行的方法。 兩種還貸方式比較 1、計(jì)算方法不同。 等額本息還款法。即借款人每月以相等的金額償還貸款本息。 等額本金還款法。即借款人每月等額償還

25、本金，貸款利息隨本金逐月遞減， 2、兩種方法支付的利息總額不一樣。在相同貸款金額、利率和貸款年限的條件下，“本金還款法”的利息總額要少于“本息還款法”； 3、還款前幾年的利息、本金比例不一樣。“本息還款法”前幾年還款總額中利息占的比例較大(有時(shí)高達(dá)90%左右)，“本金還款法”的本金平攤到每一次，利息借一天算一天，所以二者的比例最高時(shí)也就各占50%左右。 4、還款前后個(gè)月的壓力不一樣。因?yàn)椤氨鞠⑦€款法”每月的還款金額數(shù)是一樣的，所以在收支和物價(jià)基本不變的情況下，每次的還款壓力是一樣的；“本金還款法”每次還款的本金一樣，但利息是由多到少、依次遞減，同等情況下，后個(gè)月的壓力要比前個(gè)月輕得多。等額本息

26、還款法：本金逐月遞增，利息逐月遞減，月還款數(shù)不變。即借款人每月按相等的金額償還貸款本息，其中每月貸款利息按月初剩余貸款本金計(jì)算并逐月結(jié)清。等額本金還款法：本金保持相同，利息逐月遞減，月還款數(shù)遞減。適合于有計(jì)劃提前還貸。即借款人每月按相等的金額（貸款金額/貸款月數(shù)）償還貸款本金，每月貸款利息按月初剩余貸款本金計(jì)算并逐月結(jié)清，兩者合計(jì)即為每月的還款額。按照整個(gè)還款個(gè)月計(jì)算，等額本息還款法支付的利息多于等額本金還款法。兩種還款方式中，等額本金還款法每個(gè)月歸還本金的數(shù)額是相等的，而等額本息還款法每個(gè)月歸還的本息之和的數(shù)額是相等的，但是銀行都是按當(dāng)年實(shí)際占用銀行貸款額和規(guī)定的利率計(jì)算應(yīng)收取的利息。- 15 -