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1、矩陣的特征值與特征向量分析及應(yīng)用矩陣的特征值與特征向量分析及應(yīng)用畢業(yè)論文摘 要 特征值和特征向量是高等代數(shù)中的一個(gè)重要概念，為對(duì)角矩陣的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).本文在特征值和特征向量定義的基礎(chǔ)上進(jìn)一步闡述了特征值和特征向量的關(guān)系.本文還研究矩陣的特征值和特征向量的求解方法.再列舉了特征值和特征向量相關(guān)的性質(zhì).最后給出了陣的特征值與特征向量在生活中的運(yùn)用，并應(yīng)用于實(shí)例.關(guān)鍵詞：矩陣 特征值 特征向量Abstract Eigenvalues and eigenvectors are important concepts of advanced algebra which laid the foundati

2、on for the diagonal matrix learning. This paper, on the basis of the definition of eigenvalues and eigenvectors, study the relationship of them. This also study the solution method of eigenvalues and eigenvectors. And then lists the related properties of eigenvalues and eigenvectors. Finally, use th

3、e matrix eigenvalues and eigenvectors in ordinary live, and application in real examples.Keywords: matrix ; eigenvalue ; eigenvector目 錄引言第一章、本征值和本征向量的關(guān)系1.1 本征值與本征向量的定義1.2 求解本征值與本征向量的方法探索第二章、矩陣的特征多項(xiàng)式和特征根2.1 矩陣的特征多項(xiàng)式和特征根的定義2.2 求解特征根和特征向量的方法2.3 線性變換的特征根與特征向量的求法第三章、特征值和特征向量在生活中的應(yīng)用3.1 經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染的增長(zhǎng)模型3.2 萊

4、斯利（Leslie）種群模型 四、結(jié)論引言矩陣是高等代數(shù)課程的一個(gè)基本概念， 是研究高等代數(shù)的基本工具.。線性空間、線性變換等,、都是以矩陣作為手段； 由此演繹出豐富多彩的理論畫(huà)卷.。求解矩陣的特征值和特征向量,，是高等數(shù)學(xué)中經(jīng)常碰到的問(wèn)題。一般的線性代數(shù)教材中，都是先計(jì)算特征多項(xiàng)式，然后求得特征值， 再通過(guò)解線性方程組得到對(duì)應(yīng)的特征向量。特征多項(xiàng)式和特征根在整個(gè)矩陣?yán)碚擉w系中具有舉足輕重的作用，并且在于生活現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用也很廣泛。第一章 本征值和本征向量的關(guān)系1.1本征值與本征向量的定義定義1設(shè)是數(shù)域F上線性空間V的一個(gè)線性變換如果對(duì)應(yīng)F中的一個(gè)數(shù)，存在V中的非零向量，使得（）= （1）那么就

5、叫做的一個(gè)本征值，而叫做的屬于特征根的一個(gè)本征向量顯然，如果是F的屬于本征值的一個(gè)本征向量，那么對(duì)于任意F,都有（）=（）=（）這樣，如果是的一個(gè)本征向量，那么由所生成的一維子空間U=|F在之下不變；反過(guò)來(lái)，如果V的一個(gè)一維子空間U在之下不變，那么U中每一個(gè)非零向量都是的屬于同一本征值的本征向量。其中（1）式的幾何意義是：本征向量與它在下的象（）保持在同一直線L（）上，0時(shí)方向相同，0時(shí)方向相反，0時(shí)，（）= 0例1 在V3中，是關(guān)于過(guò)原點(diǎn)的平面H的反 射，它是一個(gè)線性變換那么H中的每個(gè)非零 向量都是的屬于本征值1的本征向量，V就是平面H與H垂直的非零向量都是的屬于本征值 -1的本征向量，即V

6、-1就是直 線L（見(jiàn)圖1） 見(jiàn)圖1例2 設(shè)V表示定義在實(shí)數(shù)域上的可微分任意次的實(shí)函數(shù)的全體構(gòu)成的線性空間令(f(x)= f (x), 是V的線性變換對(duì)于每個(gè)實(shí)數(shù)，有(ex)=ex.所以，是的本征值，而ex是的屬于的本征向量1.2求解本征值與本征向量的方法探索問(wèn)題的轉(zhuǎn)化直接由定義來(lái)求線性變換的本征值與本征向量往往是困難的，我們可用線性變換的矩陣來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題設(shè)V是數(shù)域F上的n維線性空間，取定它的基1，2，n，令線性變換在這個(gè)基下的矩陣是A（ij）.如果k11+ k22+ knn是線性變換的屬于特征根的一個(gè)特征向量，那么，（）關(guān)于基1，2，n的坐標(biāo)是A而的坐標(biāo)是 這樣，就有 A=或（2） （I-A

7、）=為0，所以齊次線性方程（2）有非零解。因而系數(shù)行列式（3） 反過(guò)來(lái)，如果F，滿足等式（3），則齊次線性方程組（2）有非零解（k1，k2，kn）， k11+ k22+ knn滿足等式（1），是的一個(gè)本征值，就是的屬于本征值的本征向量。由上面的分析，可以得到以下的結(jié)論：1）F是的本征值的充分必要條件是它滿足方程（3）；2）對(duì)于本征值子空間V中一切向量在1，2，n下的坐標(biāo)正好構(gòu)成齊次線性方程組（I-A）X=0的在F上的解空間實(shí)際上V與（I-A）X=0的解空間同構(gòu). V的一個(gè)基1，2，n可由齊次線性方程組（I-A）X= 0的一個(gè)基礎(chǔ)解系1，2，n給出. （其中i=(1，2，n)i, i=1,2,

8、,r）；例1：求矩陣的特征值和特征向量.解：A的特征多項(xiàng)式為：=A有三個(gè)不同的特征值將代入其次線性方程組得基礎(chǔ)解系，則A的屬于全部特征向量為.將代入其次線性方程組得基礎(chǔ)解系，則A的屬于全部特征向量為.將代入其次線性方程組得基礎(chǔ)解系，則A的屬于全部特征向量為第二章 矩陣的特征多項(xiàng)式和特征根2.1矩陣的特征多項(xiàng)式和特征根的定義定義2設(shè)A=(aij)是數(shù)域F上的一個(gè)n階矩陣，行列式叫做矩陣A的特征多項(xiàng)式fA(x)在C內(nèi)的根叫做矩陣A的特征根設(shè)0C是矩陣A的特征根，而x0Cn是一個(gè)非零的列向量，使Ax0=0 x0 , 就是說(shuō)，x0是齊次線性方程組(0I-A)X=0的一個(gè)非零解我們稱(chēng)x0是矩陣A的屬于特

9、征根0的特征向量。2.2線性變換的本征值與矩陣的特征根的關(guān)系1）如果關(guān)于某個(gè)基的矩陣是A,那么的本征值一定是A的特征根，但A的特征根卻不一定是的本征值，A的n個(gè)特征根中屬于數(shù)域F的數(shù)才是的本征值；（2）的本征向量是V中滿足（1）式的非零向量，而A的本征向量是Cn中的滿足 Ax0=x0的非零列向量x03）若F是A的特征根，則A的Fn中屬于的就是的屬于的特征向量關(guān)于給定基的坐標(biāo)2.3線性變換的特征根與特征向量的求法現(xiàn)在把求線性變換的特征根和特征向量的步驟歸納如下：1）在線性空間V中取一個(gè)基1，2，n，求出在這個(gè)基下的矩陣A；2) 計(jì)算特征多項(xiàng)式fA(x)=|XI-A|,求出它的屬于數(shù)域F的根1，2

10、，s；3) 對(duì)每個(gè)i(i=1,2, ,s)求齊次線性方程組(iI-A)X=0的基礎(chǔ)解系；4) 以上面求出的基礎(chǔ)解系為坐標(biāo)，寫(xiě)出V中對(duì)應(yīng)的向量組，它就是特征子空間Vi的一個(gè)基，從而可確定的特征向量例4設(shè)R上的三維線性空間V的線性變換在基1，2，3下的矩陣是 求的特征根和對(duì)應(yīng)的特征向量解的矩陣A已給出，先求特征多項(xiàng)式和特征根 fA(x)的根為11（二重根），2-2都是的特征根對(duì)特征根11，解齊次線性方程組（1I-A）X=0，即得基礎(chǔ)解系1（-2，1，0），2（0，0，1）對(duì)應(yīng)的特征向量組是-21+2,3，它是特征子空間V1的一個(gè)基，所以V1L（-21+2，3）而的屬于特征根1的一切特征向量為k1（

11、-21+2）+k23，k1，k2R，不全為0對(duì)特征根2-2，解齊次線性方程組得基礎(chǔ)解系3（-1，1，1），對(duì)應(yīng)的的特征向量是-1+2+3，它可構(gòu)成V-2的一個(gè)基，所以V-2L（-1+2+3）因此的屬于特征根-2的一切特征向量為k（-1+2+3），kR，k0注意：求A的特征根時(shí)，要考慮給定的數(shù)域，若沒(méi)有指定數(shù)域，就在C內(nèi)討論；表示屬于某個(gè)特征根的特征向量(關(guān)于基礎(chǔ)解系)組合系數(shù)要取自指定的數(shù)域F(或C)，且不全為零第三章 特征值和特征向量在生活中的應(yīng)用矩陣的特征值和特征向量理論在經(jīng)濟(jì)分析、生命科學(xué)和環(huán)境保護(hù)等領(lǐng)域都有著廣泛而重要的應(yīng)用.其中，經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染的增長(zhǎng)模型，萊斯利（Leslie）種

12、群模型這兩種模型，矩陣的特征值和特征向量在其應(yīng)用起著重要的作用。3.1 經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染的增長(zhǎng)模型經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染是當(dāng)今世界亟待解決的兩個(gè)突出問(wèn)題.為研究某地區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染之間的關(guān)系，可建立如下數(shù)學(xué)模型： 設(shè)分別為某地區(qū)目前的環(huán)境污染水平與經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平，分別為該地區(qū)若干年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平，且有如下關(guān)系：令則上述關(guān)系的矩陣形式為 此式反映了該地區(qū)當(dāng)前和若干年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平之間的關(guān)系.如 則由上式得由此可預(yù)測(cè)該地區(qū)若干年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平. 一般地，若令分別為該地區(qū)t年后的環(huán)境污染水平與經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平，則經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染的增長(zhǎng)模型為令則上述關(guān)系

13、的矩陣形式為由此，有 由此可預(yù)測(cè)該地區(qū)t年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平.下面作進(jìn)一步地討論： 由矩陣A 的特征多項(xiàng)式 得A 的特征值為對(duì)度 ，解方程得特征向量對(duì)，解方程得特征向量顯然, 線性無(wú)關(guān)下面分三種情況分析： Case 1 一個(gè)性質(zhì):若是矩陣A的屬于特征值的特征向,則也是的屬于特征值的特征向量度 (*)由(*)及特征值與特征向量的性質(zhì)知， 即 或 此式表明：在當(dāng)前的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平 的前提下，t 年后，當(dāng)經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平達(dá)到較高程度時(shí)，環(huán)境污染也保持著同步惡化趨勢(shì). 不討論此種情況不是特征值, 不能類(lèi)似分析。但是可以由唯一線性表出來(lái)由(*)及特征值與特征向量的性質(zhì)即 由此可預(yù)測(cè)該

14、地區(qū)年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平. 因無(wú)實(shí)際意義而在Case 2中未作討論，但在Case3的討論中仍起到了重要作用. 由經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染的增長(zhǎng)模型易見(jiàn)，特征值和特征向量理論在模型的分析和研究中獲得了成功的應(yīng)用. 3.2 萊斯利（Leslie）種群模型 萊斯利種群模型研究動(dòng)物種群中雌性動(dòng)物的年齡分布與數(shù)量增長(zhǎng)之間的關(guān)系。 設(shè)某動(dòng)物種群中雌性動(dòng)物的最大生存年齡為L(zhǎng)(單位：年），將區(qū)間0,L作n等分得n個(gè)年齡組每個(gè)年齡組的長(zhǎng)度為 設(shè)第i個(gè)年齡組 的生育率（即每一雌性動(dòng)物平均生育的雌性幼體的數(shù)目）為i，存活率（即第i個(gè)年齡組中可存活到第i+1個(gè)年齡組的雌性動(dòng)物的數(shù)目與第i 個(gè)年齡組中雌性動(dòng)物的總

15、數(shù)之比）為bi 。 令 即為初始時(shí)刻該動(dòng)物種群中雌性動(dòng)物的年齡分布向量。取 設(shè)在時(shí)刻tk該動(dòng)物種群的第i個(gè)年齡組中雌性動(dòng)物的數(shù)目為 令則X(k)即為時(shí)刻tk該動(dòng)物種群中雌性動(dòng)物的年齡分布向量.顯然，隨著時(shí)間的變化，該動(dòng)物種群的各年齡組中雌性動(dòng)物的數(shù)目會(huì)發(fā)生變化. 易知，時(shí)刻tk該動(dòng)物種群的第一個(gè)年齡組中雌性動(dòng)物的數(shù)目等于在時(shí)段tk-1,tk內(nèi)各年齡組中雌性動(dòng)物生育的雌性幼體的數(shù)目之和，即 （2.1） 又tk時(shí)刻該動(dòng)物種群的第i+1個(gè)年齡組中雌性動(dòng)物的數(shù)目等于tk-1 時(shí)刻第i個(gè)年齡組中雌性動(dòng)物的存活量，即 （2.2） 聯(lián)立（2.1）和（2.2）得（2.3） 即 （2.4） 令萊斯利矩陣 則（2

16、.4）即為 于是（2.6） 由此，若已知初始時(shí)刻該動(dòng)物種群中雌性動(dòng)物的年齡分布向量X(0)，則可計(jì)算出tk時(shí)刻該動(dòng)物種群中雌性動(dòng)物的年齡分布向量X(k)，從而對(duì)該動(dòng)物種群中雌性動(dòng)物的數(shù)量作出科學(xué)的預(yù)測(cè)和分析. 例31 設(shè)某動(dòng)物種群中雌性動(dòng)物的最大生存年齡為15年，且以5年為間隔將雌性動(dòng)物分為3個(gè)年齡組0,5,5,10,10,15.由統(tǒng)計(jì)資料知，3個(gè)年齡組的雌性動(dòng)物的生育率分別為0，4，3，存活率分別為0.5，0.25，0，初始時(shí)刻3個(gè)年齡組的雌性動(dòng)物的數(shù)目分別為500，1000，500.試?yán)萌R斯利種群模型對(duì)該動(dòng)物種群中雌性動(dòng)物的年齡分布和數(shù)量增長(zhǎng)的規(guī)律進(jìn)行分析. 解： 由（2.6）得 下面求

17、 由矩陣L的特征多項(xiàng)式 得L的特征值為由矩陣L可相似對(duì)角化. 令矩陣 則P可逆，且 于是 從而 兩邊取極限得 于是，當(dāng)k充分大時(shí)， 由此式知，在初始狀態(tài)下，經(jīng)過(guò)充分長(zhǎng)的時(shí)間后，該動(dòng)物種群中雌性動(dòng)物的年齡分布將趨于穩(wěn)定，即3個(gè)年齡組中雌性動(dòng)物的數(shù)目之比為 且時(shí)刻該動(dòng)物種群的3個(gè)年齡組中雌性動(dòng)物的數(shù)目分別為且其總和為四、結(jié)論通過(guò)矩陣特征值與特征向量，以及矩陣的特征多項(xiàng)式和特征根的定義學(xué)習(xí)，理解特征值與特征向量求解方法。矩陣的特征值應(yīng)用于生活的中，為生活各類(lèi)問(wèn)題解決，創(chuàng)建有效的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)提供了有效的工具，為解決問(wèn)題提供有效的方法。是數(shù)學(xué)與其它科學(xué)研究的基礎(chǔ)和工具。學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)，聯(lián)系實(shí)際，通過(guò)數(shù)學(xué)的工具來(lái)解決生活上問(wèn)題。離開(kāi)數(shù)學(xué)別的科學(xué)研究是寸步難行的，所以我們必須重視數(shù)學(xué)，深入研究數(shù)學(xué)，從而促進(jìn)所有科學(xué)的發(fā)展。參考文獻(xiàn) 張禾瑞,郝鈵新.高等代數(shù)(第四版 )M.北京:高等教育出版社,2007，279 謝國(guó)瑞.線性代數(shù)及應(yīng)用M.北京:高等教育出版社,1999. 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組. 高等代數(shù)M . 北京:高等教育出版社,2000. 楊子胥. 高等代數(shù)習(xí)題解M . 濟(jì)南:山東科學(xué)技術(shù)出版社,1982. 戴斌祥，線性代數(shù)M，北京郵電大學(xué)出版社19