《2020版高考數(shù)學一輪復習 課后限時集訓29 等差數(shù)列及其前n項和 文(含解析)北師大版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學一輪復習 課后限時集訓29 等差數(shù)列及其前n項和 文(含解析)北師大版(5頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、課后限時集訓(二十九)
(建議用時:60分鐘)
A組 基礎(chǔ)達標
一、選擇題
1.在等差數(shù)列{an}中,若前10項的和S10=60,且a7=7,則a4=( )
A.4 B.-4 C.5 D.-5
C [法一:由題意得解得∴a4=a1+3d=5,故選C.
法二:由等差數(shù)列的性質(zhì)有a1+a10=a7+a4,∵S10==60,∴a1+a10=12.又∵a7=7,∴a4=5,故選C.]
2.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a2+a7+a12=24,則S13=( )
A.52 B.78
C.104 D.208
C [由a2+a7+a12=24得3a7=2
2、4,
即a7=8,
∴S13==13a7=13×8=104,故選C.]
3.在數(shù)列{an}中,若a1=1,a2=,=+(n∈N*),則該數(shù)列的通項為( )
A.a(chǎn)n= B.a(chǎn)n=
C.a(chǎn)n= D.a(chǎn)n=
A [由已知式=+可得-=-,知是首項為=1,公差為-=2-1=1的等差數(shù)列,所以=n,即an=.]
4.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,m≥2,m∈N*,則m=( )
A.3 B.4
C.5 D.6
C [∵{an}是等差數(shù)列,Sm-1=-2,Sm=0,∴am=Sm-Sm-1=2.
又Sm+1=3,∴am+1=Sm+1-
3、Sm=3,∴d=am+1-am=1.
又 Sm===0,
∴a1=-2,∴am=-2+(m-1)·1=2,∴m=5.]
5.(2019·銀川模擬)我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》有如下問題:“今有金箠,長五尺,斬本一尺,重四斤,斬末一尺,重二斤,問次一尺各重幾何?”意思是:“現(xiàn)有一根金箠,長五尺,一頭粗,一頭細,在粗的一端截下1尺,重4斤,在細的一端截下1尺,重2斤,問依次每一尺各重多少斤?”根據(jù)上述的已知條件,若金箠由粗到細是均勻變化的,問第二尺與第四尺的重量之和為( )
A.6斤 B.9斤
C.9.5斤 D.12斤
A [依題意,金箠由粗到細各尺的重量構(gòu)成一個等差數(shù)列,設(shè)首項a1
4、=4,則a5=2,由等差數(shù)列的性質(zhì)得a2+a4=a1+a5=6,所以第二尺與第四尺的重量之和為6斤.故選A.]
二、填空題
6.在等差數(shù)列{an}中,首項a1=0,公差d≠0,若ak=a1+a2+a3+…+a7,則k=________.
22 [ak=a1+(k-1)d=(k-1)d,a1+a2+a3+…+a7=7a4=7a1+21d=21d,所以k-1=21,得k=22.]
7.在等差數(shù)列{an}中,公差d=,前100項的和S100=45,則a1+a3+a5+…+a99=________.
10 [a2+a4+a6+…+a100=(a1+a3+a5+…+a99)+25,由S100=
5、45得a1+a3+a5+…+a99=10.]
8.(2019·青島模擬)若x≠y,數(shù)列x,a1,a2,y和x,b1,b2,b3,y各自成等差數(shù)列,則=________.
[由題意得a1-a2=,b1-b2=,所以=.]
三、解答題
9.已知等差數(shù)列的前三項依次為a,4,3a,前n項和為Sn,且Sk=110.
(1)求a及k的值;
(2)設(shè)數(shù)列{bn}的通項bn=,證明:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,并求其前n項和Tn.
[解] (1)設(shè)該等差數(shù)列為{an},則a1=a,a2=4,a3=3a,
由已知有a+3a=8,得a1=a=2,公差d=4-2=2,
所以Sk=ka1+·d=2k
6、+×2=k2+k.
由Sk=110,得k2+k-110=0,
解得k=10或k=-11(舍去),故a=2,k=10.
(2)證明:由(1)得Sn==n(n+1),
則bn==n+1,
故bn+1-bn=(n+2)-(n+1)=1,
即數(shù)列{bn}是首項為2,公差為1的等差數(shù)列,
所以Tn==.
10.(2019·長春模擬)已知等差數(shù)列{an}的公差不為零,a1=25,且a1,a11,a13成等比數(shù)列.
(1)求{an}的通項公式;
(2)求a1+a4+a7+…+a3n-2.
[解] (1)設(shè){an}的公差為d.由題意,得
a=a1a13,
即(a1+10d)2=a1(
7、a1+12d).
于是d(2a1+25d)=0.
又a1=25,所以d=0(舍去)或d=-2.
故an=-2n+27.
(2)令Sn=a1+a4+a7+…+a3n-2.
由(1)知a3n-2=-6n+31,故{a3n-2}是首項為25,公差為-6的等差數(shù)列.
從而Sn=(a1+a3n-2)
=(-6n+56)
=-3n2+28n.
B組 能力提升
1.若{an}是公差為1的等差數(shù)列,則{a2n-1+2a2n}是( )
A.公差為3的等差數(shù)列 B.公差為4的等差數(shù)列
C.公差為6的等差數(shù)列 D.公差為9的等差數(shù)列
C [an=n+a1-1,
∴a2n-1=2n+
8、a1-2,a2n=2n+a1-1,
∴a2n-1+2a2n=6n+3a1-4.
因此數(shù)列{a2n-1+2a2n}是公差為6的等差數(shù)列,故選C.]
2.在我國古代著名的數(shù)學專著《九章算術(shù)》里有一段敘述:今有良馬與駑馬發(fā)長安至齊,齊去長安一千一百二十五里,良馬初日行一百零三里,日增十三里;駑馬初日行九十七里,日減半里;良馬先至齊,復還迎駑馬,二馬相逢,問:幾日相逢?( )
A.9日 B.8日
C.16日 D.12日
A [根據(jù)題意,顯然良馬每日行程構(gòu)成一個首項a1=103,公差d1=13的等差數(shù)列,前n天共跑的里程為S=na1+d1=103n+n(n-1)=6.5n2+96.5n;駑
9、馬每日行程也構(gòu)成一個首項b1=97,公差d2=-0.5的等差數(shù)列,前n天共跑的里程為S=nb1+d2=97n-n(n-1)=-0.25n2+97.25n.兩馬相逢時,共跑了一個來回.設(shè)其第n天相逢,則有6.5n2+96.5n-0.25n2+97.25n=1 125×2,解得n=9,即它們第9天相遇,故選A.]
3.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,則正整數(shù)m的值為________.
5 [由題意知am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,則公差d=am+1-am=1.
由Sm=0得=0,解得a1=-am=-2,
則am=-2+(m
10、-1)×1=2,解得m=5.]
4.(2019·武漢模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1=2,n(an+1-n-1)=(n+1)(an+n)(n∈N*).
(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列,并求其通項公式;
(2)設(shè)bn=-15,求數(shù)列{|bn|}的前n項和Tn.
[解] (1)證明:∵n(an+1-n-1)=(n+1)(an+n)(n∈N*),
∴nan+1-(n+1)an=2n(n+1),∴-=2,
∴數(shù)列是等差數(shù)列,其公差為2,首項為2,
∴=2+2(n-1)=2n.
(2)由(1)知an=2n2,∴bn=-15=2n-15,
則數(shù)列{bn}的前n項和Sn==n2-14n.
令bn=2n-15≤0,n∈N*,解得n≤7.
∴n≤7時,數(shù)列{|bn|}的前n項和Tn=-b1-b2-…-bn=-Sn=-n2+14n.
n≥8時,數(shù)列{|bn|}的前n項和Tn=-b1-b2-…-b7+b8+…+bn=-2S7+Sn=-2×(72-14×7)+n2-14n=n2-14n+98.
∴Tn=
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