《2020屆高考數學一輪總復習 第三單元 導數及其應用 第15講 導數的概念及運算練習 理（含解析）新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2020屆高考數學一輪總復習 第三單元 導數及其應用 第15講 導數的概念及運算練習 理（含解析）新人教A版（5頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、第15講　導數的概念及運算 1．(2019·江西贛州期中試卷)若f(x)＝x2－2x－4ln x，則f′(x)>0的解集為(C) A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－1,0) x>0， f′(x)＝2x－2－＝>0， 所以x∈(2，＋∞)． 2．(2018·西安市長安一中第六次質檢)已知y＝f(x)是可導函數，如圖，直線y＝kx＋2是曲線y＝f(x)在x＝3處的切線，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的導函數，則g′(3)＝(B) A．－1 B．0 C．2 D．4 由圖象可知曲線y＝f(x)在x＝3處的切

2、線的斜率等于－，所以f′(3)＝－，且f(3)＝1. 因為g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)， 所以g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1＋3×(－)＝0. 3．(2018·全國卷Ⅰ)設函數f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)為奇函數，則曲線y＝f(x)在點(0，0)處的切線方程為(D) A．y＝－2x B．y＝－x C．y＝2x D．y＝x (方法1)因為f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax， 所以f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a. 又f(x)為奇函數，所以f(－x)＝－f(x)恒成立， 即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x

3、3－(a－1)x2－ax恒成立， 所以a＝1，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1， 所以曲線y＝f(x)在點(0，0)處的切線方程為y＝x. (方法2)因為f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax為奇函數， 所以f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a為偶函數， 所以a＝1，即f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1， 所以曲線y＝f(x)在點(0，0)處的切線方程為y＝x. 4．(2016·山東卷)若函數y＝f(x)的圖象上存在兩點，使得函數的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則稱y＝f(x)具有T性質，下列函數中具有T性質的是(A) A．y＝sin x B．y＝ln

4、x C．y＝ex D．y＝x3 若y＝f(x)的圖象上存在兩點(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，使得函數圖象在這兩點處的切線互相垂直，則f′(x1)·f′(x2)＝－1. 對于A，y′＝cos x，若有cos x1·cos x2＝－1，則存在x1＝2kπ，x2＝2kπ＋π(k∈Z)時，結論成立； 對于B，y′＝，若有·＝－1，即x1x2＝－1，因為x＞0，所以不存在x1，x2，使得x1x2＝－1； 對于C，y′＝ex，若有ex1·ex2＝－1，即ex1＋x2＝－1，顯然不存在這樣的x1，x2； 對于D，y′＝3x2，若有3x·3x＝－1，即9xx＝－1，顯然不存在這樣

5、的x1，x2. 綜上所述，選A. 5．(2018·全國卷Ⅲ)曲線y＝(ax＋1)ex在點(0，1)處的切線的斜率為－2，則a＝__－3__． 因為y′＝(ax＋a＋1)ex，所以當x＝0時，y′＝a＋1， 所以a＋1＝－2，得a＝－3. 6．如圖，函數f(x)的圖象是折線段ABC，其中A，B，C的坐標分別為(0,4)，(2,0)，(6,4)， 則f[f(0)]＝　2　；li ＝　－2　.(用數字作答) f[f(0)]＝f(4)＝2. 因為直線AB的方程為y＝－2x＋4(0≤x≤2)， 所以y′＝－2. 所以li ＝f′(1)＝－2. 7．(2018·佛山一模節(jié)選)

6、已知函數f(x)＝(x－a)ln x＋x，(其中a∈R)．若曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線方程為y＝x，求a的值． f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝ln x－＋， 由題意知則 解得或所以a＝1. 8．(2018·廣東七校聯(lián)考)函數f(x)＝xcos x的導函數f′(x)在區(qū)間[－π，π]上的圖象大致是(A) 因為f′(x)＝cos x－xsin x，所以f′(0)＝1，所以排除C、D，令g(x)＝cos x－xsin x，則g′(x)＝－2sin x－xcos x， 當x∈(0，)時，g′(x)<0，所以g(x)即f′(x)在(0，)上

7、單調遞減，所以排除B，故選A. 9．(2018·重慶七校聯(lián)考)若對于曲線f(x)＝－ex－x(e為自然對數的底數)的任意切線l1，總存在曲線g(x)＝ax＋2cos x的切線l2，使得l1⊥l2，則實數a的取值范圍為　[－1,2]　. 設曲線f(x)和g(x)的切點分別為(x1，f(x1))，(x2，g(x2))， 易知k1＝－ex1－1，k2＝a－2sin x2，x1，x2∈R， 因為l1⊥l2，所以(－ex1－1)·(a－2sin x2)＝－1， 即a－2sin x2＝. 令u(x2)＝a－2sin x2，v(x1)＝， 則它們的值域分別為[a－2，a＋2]與(0,1)，

8、 由題意知，對任意的x1，總存在x2，使得上述等式成立， 所以(0,1)?[a－2，a＋2]，所以a－2≤0且a＋2≥1， 即－1≤a≤2.所以a的取值范圍為[－1,2]． 10．已知函數f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12，直線m：y＝kx＋9，且 f′(－1)＝0. (1)求a的值； (2)是否存在k的值，使直線m既是曲線y＝f(x)的切線，又是曲線y＝g(x)的切線？如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由． (1)f′(x)＝3ax2＋6x－6a， f′(－1)＝0，即3a－6－6a＝0，所以a＝－2. (2)直線m恒過定點(0,

9、9)，若直線m是曲線y＝g(x)的切線，設切點為(x0,3x＋6x0＋12)， 因為g′(x0)＝6x0＋6， 所以切線方程為y－(3x＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)， 將(0,9)代入，得x0＝±1. 當x0＝－1時，切線方程為y＝9； 當x0＝1時，切線方程為y＝12x＋9. 由f′(x)＝0，得－6x2＋6x＋12＝0， 解得x＝－1或x＝2. 在x＝－1處，y＝f(x)的切線方程為y＝－18； 在x＝2處，y＝f(x)的切線方程為y＝9. 所以y＝f(x)與y＝g(x)的公切線是y＝9. 又由f′(x)＝12，得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1， 在x＝0處，y＝f(x)的切線方程為y＝12x－11； 在x＝1處，y＝f(x)的切線方程為y＝12x－10. 所以y＝f(x)與y＝g(x)的公切線不是y＝12x＋9. 綜上所述，存在k＝0，使直線m：y＝9既是曲線y＝f(x)的切線，又是曲線y＝g(x)的切線． 5