《2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 三角函數(shù)、三角形、平面向量 專題06 三角函數(shù)的恒等變形 文（含解析）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 三角函數(shù)、三角形、平面向量 專題06 三角函數(shù)的恒等變形 文（含解析）（13頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、專題06三角函數(shù)的恒等變形 一、本專題要特別小心： 1.角的范圍問題 2. 角的一致性問題 3. 三角化簡形式、名稱、角的一致原則 4.角成倍角的余弦之積問題 5.“1”的妙用 6.輔助角的替換作用 7. 角的范圍對函數(shù)性質(zhì)的影響 8. 用已知角表示未知角問題 二．方法總結(jié)： 1.三角函數(shù)的求值主要有三種類型，即給角求值、給值求值、給值求角. 2.三角函數(shù)式的證明應(yīng)從消去等式兩端的差異去思考，或“從左證到右”或“從右證到左”或“從兩邊到中間”去具體操作. 3.證明三角函數(shù)式恒等式，首先觀察條件與結(jié)論的差異，從解決差異入手，確定從結(jié)論開始，通過變換將已知表達(dá)式代入得出

2、結(jié)論，或變換已知條件得出結(jié)論，常用消去法等. 三．【題型方法】 （一）三角公式的變形 例1. ________． 【答案】2 【解析】因為， 又，所以， 所以. 故答案為2 練習(xí)1．＝_______________. 【答案】 【解析】由題== 故答案為 練習(xí)2.計算： __________． 【答案】 【解析】由，可得，所以，填。 練習(xí)3. __________． 【答案】8 【解析】注意到可化為.項證明一般結(jié)論如下：，由于，故原式. 練習(xí)4.已知為的最小正周期， ， 且，求的值． 【答案】 【解析】因為為的最小正周期，故． 因，又．故．

3、 由于，所以 （二）正切兩弦的互化 例2. 若鈍角滿足，則（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因為，所以， 又為鈍角，所以，則， 解得（正根舍去）. 故選：D 練習(xí)1. 化簡的值為__________． 【答案】 【解析】原式，故答案為. 練習(xí)2．在下列五個命題中： ①已知大小分別為與的兩個力，要使合力大小恰為，則它們的夾角為; ②已知， ，則； ③若A,B,C是斜的三個內(nèi)角，則恒有成立； ④； ⑤已知，則的大小為; 其中錯誤的命題有_________.（寫出所有錯誤命題的序號） 【答案】①②④⑤ 【解析】①由三角形

4、法則，不符。②不符。③，所以成立，對。④=，錯。⑤或，所以或，錯。填①②④⑤。 練習(xí)3.已知. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）（2） 【解析】（1）由題已知： ， ， 所以. （2）由（1）知， 所以. （三）角的一致性原則 例3. 已知0＜β＜＜α＜，cos（+α）=-，sin（+β）=，則cos（α+β）=（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由題意知，，，所以為第二象限角， 所以， 因為，所以為第二象限角，所以， 則 ， 故選：D． 練習(xí)1. ． ( ) A． B． C． D． 【答

5、案】A 【解析】 ，故選A. 練習(xí)2.（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ， 故選C. （四）角的相對性關(guān)系 設(shè)，且，則______． 【答案】 【解析】 故tan 又=故，則 練習(xí)1. 已知角滿足，若，則的值為_____________. 【答案】 【解析】設(shè)，即①，則由，可得② ，由 ①②求得，再由 ，求得 ，故答案為 . （五）和差倍半的靈活運(yùn)用 例5．等差數(shù)列滿足：，,且公差，若當(dāng)且僅當(dāng)時，數(shù)列前項和取得最大值，則的取值范圍是____________． 【答案】 【解析

6、】分析：先利用二倍角公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡等式的左邊，再利用等差中項進(jìn)行化簡，再利用數(shù)列通項的符號變化確定答案. 詳解：由， 得， 即， 即， 即， 即， 因為， 所以， 則， 即， 又，得； 若當(dāng)且僅當(dāng)時，數(shù)列前項和取得最大值， 則， 解得. 點(diǎn)睛：在處理等差數(shù)列的前項和的最值時，往往轉(zhuǎn)化為判定的符號變化： ①若，當(dāng)時，則當(dāng)且僅當(dāng)最大； ②若，當(dāng)時，則當(dāng)且僅當(dāng)最小； ③若最大，則. 練習(xí)1.已知，，，則__________． 【答案】 【解析】∵cosα+cosβ+cosγ=sinα+sinβ+sinγ=0， ∴cosγ=?cosα?co

7、sβ，sinγ=?sinα?sinβ， ∵=1， ∴=1， 整理得：2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)=1,即cosαcosβ+sinαsinβ=?， ∴cos(β?α)= ?， ∵0?α<β<2π，∴0<β?α<2π ∴β?α=或.① ∴同理可得：cos(γ?β)=? ?,解得：γ?β=或②。 cos(γ?α)= ?;解得：γ?α=或③。 ∵0?α<β<γ<2π，∴β?α=,γ?β=,γ?α=. 故β?α的值為. 練習(xí)2.已知且的值. 【答案】 【解析】 由 練習(xí)3.（1）證明：； （2）試結(jié)合（1）的結(jié)論，求的值. （可能

8、用到的公式：） 【答案】（1）；（2）. 【解析】試題分析：（1）將拆成，再用兩角和的正弦公式展開，用二倍角公式，同角的平方關(guān)系等，得出結(jié)論；（2）用（1）中的公式，再分解因式，求出的值。 試題解析：（1） = . （2）由（1）得， 即，所以， 解得或（舍去）或（舍去），所以. （六）三角函數(shù)與方程 例6. 方程的兩根為，，且，則（ ） A． B． C． D．或 【答案】B 【解析】∵方程的兩根為，，且， ∴，，再結(jié)合，故，， ∴，故． 又，∴，故選B

9、． 練習(xí)1.函數(shù)y= sinx+cosx+2sinxcosx的最大值為__________。 【答案】 【解析】令且，所以 則，所以 所以 對稱軸為 ，因為 所以當(dāng)時取得最大值為 練習(xí)2.已知圓與函數(shù)的圖象有唯一交點(diǎn)，且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則 ( ) A． B．2 C． D．3 【答案】B 【解析】根據(jù)題意，圓：與函數(shù)的圖象有唯一交點(diǎn)， 則圓在交點(diǎn)的切線與函數(shù)在交點(diǎn)處的切線重合； 又由交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則交點(diǎn)的坐標(biāo)為， 對于，其導(dǎo)數(shù)，則有， 則有， 變形可得， 則； 故選B． （七）三角函數(shù)綜合 例7. 已知，． 求當(dāng)時，的值域

10、； 若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個零點(diǎn)，求a的取值范圍． 【答案】（1）；（2）. 【解析】由題意：設(shè)，，則， 那么，， 當(dāng)時，轉(zhuǎn)化為 ， 當(dāng)時，取得最大值為0； 當(dāng)時，取得最小值為 故得的值域為； 由題意：設(shè)， 在內(nèi)，則 則， 那么轉(zhuǎn)化為，， 函數(shù)在內(nèi)有且只有一個零點(diǎn)，即在上只有一個零點(diǎn)． 令，即 當(dāng)時，可得，顯然a無解； 當(dāng)時，，可得． 驗證：，可得，，即在上有兩個零點(diǎn)． 當(dāng)時，要使在上只有一個零點(diǎn)． 則 即， 可得：． ，故得a的取值范圍是 練習(xí)1. 已知向量，，函數(shù)． （1）當(dāng)時，求的值域； （2）若對任意，，求實數(shù)的取值范圍． 【

11、答案】（1）（2） 【解析】（1） 當(dāng)時，，， 所以的值域為． （2）令，，由（1）得，問題等價于，恒成立，當(dāng)時，； 當(dāng)時，，恒成立， 因為，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立， 所以的最小值為2，故，綜上，實數(shù)的取值范圍為． 練習(xí)2.已知函數(shù). （1）求函數(shù)圖象的對稱軸方程； （2）求函數(shù)的在區(qū)間上的最值. 【答案】（1）；（2）最大值為，最小值為. 【解析】（1） . 令，得. 所以函數(shù)圖象的對稱中心為. （2）由（1）求解，得. 因為，所以. 故. 所以， 所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是上的最大值為，最小值為. 13