《2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 三角函數(shù)、三角形、平面向量 專題10 解三角形的技巧與解題規(guī)律（1） 文（含解析）》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 三角函數(shù)、三角形、平面向量 專題10 解三角形的技巧與解題規(guī)律（1） 文（含解析）（16頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、專題10解三角形的技巧與解題規(guī)律(1) 一、本專題要特別小心： 1.解三角形時(shí)的分類討論（銳角鈍角之分） 2. 三角形與三角函數(shù)的綜合 3. 正余弦定理及三角形中的射影定理的應(yīng)用 4.三角形中的中線問(wèn)題 5.三角形中的角平分性問(wèn)題 6.多個(gè)三角形問(wèn)題 7．三角形的綜合 二．【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 掌握三角形形狀的判斷方法；三角形有關(guān)三角函數(shù)求值，能證明與三角形內(nèi)角有關(guān)的三角恒等式 三．【方法總結(jié)】三角形中的三角函數(shù)主要涉及三角形的邊角轉(zhuǎn)化，三角形形狀判斷，三角形內(nèi)三角函數(shù)求值及三角恒等式證明等．以正弦、余弦定理為知識(shí)框架，以三角形為主要依托，結(jié)合實(shí)際問(wèn)題考查應(yīng)用．要注意根據(jù)條件的

2、特點(diǎn)靈活運(yùn)用正弦定理或余弦定理．一般考慮從兩個(gè)方向進(jìn)行變形，一個(gè)方向是邊，走代數(shù)變形之路，通常是正弦定理、余弦定理結(jié)合使用；另一個(gè)方向是角，走三角變形之路，主要是利用正弦定理 四．【題型方法】 （一）多個(gè)三角形問(wèn)題 例1. 在四邊形中，，，，，. （1）求的大??； （2）求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）在中，由余弦定理，得： 由，，得： （2） 由（1）得： 在中，由正弦定理得： 練習(xí)1．在中，角的對(duì)邊分別為，，，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若為邊上的點(diǎn)，并且，求． 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】（Ⅰ）由余弦定理可

3、得：， 即， 整理得，解得或（舍） 所以． （Ⅱ）在中，由正弦定理， 可得．又因?yàn)?，所以．所以? 所以． 練習(xí)2. 已知中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，點(diǎn)在邊上，，且，則_____． 【答案】 【解析】如圖： ∵及，∴． 又， ∴的面積，的面積， 由可得，即，所以①， 由的面積，得，即②， 由①②解得， ∴．故答案為：． 練習(xí)3．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，.已知，，的面積為 （Ⅰ）求邊； （Ⅱ）為邊上一點(diǎn)，若，求. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）3 【解析】（Ⅰ）由余弦定理得. 則，所以. 所以， 得. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，. 所以，因?yàn)椋?/p>

4、所以. 同理，又由得. 所以 . 在中，由正弦定理得，所以. （二）中線長(zhǎng)問(wèn)題 例2. 已知在中，，，分別為角，，的對(duì)應(yīng)邊，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，的面積為. （I）求的值； （II）若，，求. 【答案】（I）；（II） 【解析】（I）由的面積為且為的中點(diǎn)可知：的面積為， 由三角形的面積公式可知， 由正弦定理可得，所以. （II）因?yàn)?，所以在中，由正弦定理可得? 所以，由（1）可知， 所以，，∵，∴， 在直角中，，所以，. ∵，， 在中用余弦定理，可得 練習(xí)1. 在中，，且. （1）求邊長(zhǎng)； （2）求邊上中線的長(zhǎng). 【答案】（1）；（2）.

5、【解析】（1）， ，由正弦定理可知中： （2）由余弦定理可知： ，是的中點(diǎn)，故，在中，由余弦定理可知： 練習(xí)2. 在中，，且. （1）求邊長(zhǎng)； （2）求邊上中線的長(zhǎng). 【答案】（1）；（2）. 【解析】分析;（1）利用同角的三角函數(shù)關(guān)系，可以求出的值，利用三角形內(nèi)角和定理，二角和的正弦公式可以求出，最后利用正弦定理求出長(zhǎng)； （2）利用余弦定理可以求出的長(zhǎng)，進(jìn)而可以求出的長(zhǎng)，然后在中，再利用余弦定理求出邊上中線的長(zhǎng). 【詳解】（1）， ，由正弦定理可知中： （2）由余弦定理可知： ，是的中點(diǎn)，故，在中，由余弦定理可知： 練習(xí)3. 在中，內(nèi)角的對(duì)邊分

6、別為，已知，. （1）求角； （2）若是上的中線，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，求兩點(diǎn)的距離. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）在中，由及正弦定理得 ，因?yàn)椋? 化簡(jiǎn)得，即 ， 因?yàn)?，所以 （2）由余弦定理得 所以 ，故 ,即是直角三角形. 由（1）知是等邊三角形，且 ，所以 在中， ,故兩點(diǎn)的距離為 . 故答案為 （三）角平分線問(wèn)題 例3. 在中，角的對(duì)邊分別為，若，，. （1）求； （2）已知點(diǎn)在邊上，且平分，求的面積. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由，，得， 所以， 由正弦定理，可得. （2）， 在中

7、，由余弦定理，得， 解得或（舍去）. ， 因?yàn)椋? 所以. 練習(xí)1. 在中，， (1)求的值； (2)設(shè)的平分線與交于，若，求的長(zhǎng). 【答案】（1）（2） 【解析】(1)由，得，又由,所以， 所以. (2) 在直角中，，，所以， 在中， 由正弦定理得，，所以. 練習(xí)2. 在中，，，為的內(nèi)角平分線，. （Ⅰ）求的值 （Ⅱ）求角的大小 【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）. 【解析】（Ⅰ）在三角形ABD中,由正弦定理得： 在三角形ACD中,由正弦定理得： 因?yàn)? （Ⅱ）在三角形ABD中, 由余弦定理得 在三角形ACD中, 由余弦定理得 又解得 又 練習(xí)3

8、.已知的三個(gè)角所對(duì)的邊分別為，面積為為.若且 （1）求角； （2）設(shè)為的中點(diǎn)，且的平分線交于點(diǎn)，求線段的長(zhǎng). 【答案】(1) (2) 【解析】（1）， 解得， （2）由（1）知 所以 在中，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn), 所以 因?yàn)?，所以，所? 又解得或 所以 因?yàn)闉榻瞧椒志€， 所以或2 所以或 （四）構(gòu)造方程法 例4. 中，，的角平分線交于點(diǎn). （1）求的長(zhǎng)； （2）求的長(zhǎng)度. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）設(shè)， 又， 由余弦定理得：，解得： ， （2）如下圖所示： 在中，由正弦定理得： 在中，由正弦定理，得：

9、 又 ， 在中，由余弦定理得： 練習(xí)1. 已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a、b、c，且2acosC=2b-c． （1）求角A的大小； （2）若AB=3，AC邊上的中線SD的長(zhǎng)為，求△ABC的面積． 【答案】（1）A=；（2）6 【解析】（1）∵2acosC=2b-c，由正弦定理可得：sinAcosC+sinC=sinB， ∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC． ∴sinC=cosAsinC，∵sinC≠0，∴cosA=， ∴由A（0，π），可得角A=； （2）在△ABD中，AB=3，BD=，cosA=， 由余弦定理可

10、得：13=9+AD2-3AD，解得：AD=4（負(fù)值舍去）， ∵BD為AC邊上的中線，∴D為AC的中點(diǎn)，∴AC=2AD=8， ∴S△ABC=AB?AC?sinA==6． （五）未知邊角互代 例5. 在，，，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，，. （1）求； （2）求的面積. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）設(shè),則， ，即 得，，即 （2）中，，， 練習(xí)1. ．在△中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，，． （1）若△的面積為，求； （2）若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，，求． 【答案】（1）（2）． 【解析】（1）因?yàn)椋? 由正弦定理可得，， 得， ，即， 因?yàn)?，所?/p>

11、，所以， 因?yàn)?，因?yàn)椋裕? 所以，所以． 在△中，， 所以． （2）因?yàn)椋?，又，所以? 記，， 在直角△中， 在△中，，所以，所以， 又，因此 （六）三角形綜合題 例6. ．如圖，制圖工程師要用兩個(gè)同中心的邊長(zhǎng)均為4的正方形合成一個(gè)八角形圖形，由對(duì)稱性，圖中8個(gè)三角形都是全等的三角形，設(shè). （1）用表示線段； （2）設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)解析式； （3）求八角形所覆蓋面積的最大值，并指出此時(shí)的大小. 【答案】（1），（2），（3）時(shí)，取得最大值 【解析】（1）由題意可得： ， （2）由（1）得： 兩邊平方并化簡(jiǎn)得： 又 ， （3）

12、 ， 令 則 又在上單調(diào)遞增 當(dāng)，即時(shí)，取得最大值 練習(xí)1. 已知函數(shù) (Ⅰ)求在上的單調(diào)遞增區(qū)間； (Ⅱ)在中，分別是角的對(duì)邊，為銳角，若， 且的面積為，求的最小值. 【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ). 【解析】(Ⅰ) ， 由可得：. 設(shè)， 則，故在上的單調(diào)遞增區(qū)間為. (Ⅱ)由可得：， 化簡(jiǎn)可得：，又，解得：. 由題意可得：，解得：. ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立. 故的最小值為. 練習(xí)2. 已知的面積為，且且 （1）求角的大?。? （2）設(shè)為的中點(diǎn)，且，的平分線交于，求線段的長(zhǎng)度。 【答案】（1）（2） 【解析】（1） 又，即 又 （2）如下圖所示： 在中，為中線 由（1）知： 又 ， 由余弦定理可得： 又 ，又 16