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2020年高考數(shù)學一輪復習 考點題型 課下層級訓練48 雙曲線(含解析)

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1、課下層級訓練(四十八) 雙曲線 [A級 基礎(chǔ)強化訓練] 1.已知雙曲線的離心率為2,焦點是(-4,0),(4,0),則雙曲線的方程為(  ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 【答案】A [已知雙曲線的離心率為2,焦點是(-4,0),(4,0),則c=4,a=2,b2=12,雙曲線方程為-=1 .] 2.(2019·山東菏澤月考)已知雙曲線C:-=1,則雙曲線C的焦點坐標為(  ) A.(±5,0) B.(±,0) C.(0,±5) D.(0,±) 【答案】C [由方程C:-=1表示雙曲線,焦點坐標在y軸上,可知,a2=16,b2=9.則c2=a2+b2=25,

2、即c=5,故雙曲線的焦點坐標為(0,±5).] 3.(2018·全國卷Ⅲ)已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的離心率為,則點(4,0)到C的漸近線的距離為(  ) A.    B.2    C.    D.2 【答案】D [由題意,得e==,c2=a2+b2,得a2=b2.又因為a>0,b>0,所以a=b,漸近線方程為x±y=0,點(4,0)到漸近線的距離為=2.] 4.(2019·山東鄒城檢測)若雙曲線-=1的一條漸近線經(jīng)過點(3,-4), 則此雙曲線的離心率為(  ) A. B. C. D. 【答案】A [∵雙曲線-=1的一條漸近線經(jīng)過點(3,-4), ∴-=-4,=

3、,e= = =.] 5.(2019·山東青島調(diào)研)已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的離心率e=2,則雙曲線C的漸近線方程為(  ) A.y=±2x B.y=±x C.y=±x D.y=±x 【答案】D [雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的離心率e==2,2=?=3,=.故漸近線方程為y=±x=±x.] 6.(2018·天津卷)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的離心率為2,過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點.設(shè)A,B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2,且d1+d2=6,則雙曲線的方程為(  ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 【答

4、案】C [如圖,不妨設(shè)A在B的上方,則A,B.其中的一條漸近線為bx-ay=0,則d1+d2===2b=6,∴b=3. 又由e==2,知a2+b2=4a2,∴a=. ∴雙曲線的方程為-=1.] 7.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的一條漸近線為2x+y=0,一個焦點為(,0),則a=____________;b=____________. 【答案】1 2 [由2x+y=0,得y=-2x,所以=2. 又c=,a2+b2=c2,解得a=1,b=2.] 8.(2018·江蘇卷)在平面直角坐標系xOy中,若雙曲線-=1(a>0,b>0)的右焦點F(c,0)到一條漸近線的距離為c,則其

5、離心率的值為____________. 【答案】2 [雙曲線的漸近線方程為bx±ay=0,焦點F(c,0)到漸近線的距離d==b.∴b=c,∴a==c,∴e==2.] 9.設(shè)雙曲線-=1的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,過F1的直線l交雙曲線左支于A,B兩點,則|BF2|+|AF2|的最小值為____________. 【答案】10 [由雙曲線的標準方程為-=1,得a=2,由雙曲線的定義可得|AF2|-|AF1|=4,|BF2|-|BF1|=4,所以|AF2|-|AF1|+|BF2|-|BF1|=8.因為|AF1|+|BF1|=|AB|,當|AB|是雙曲線的通徑時,|AB|最小,所以(|AF

6、2|+|BF2|)min=|AB|min+8=+8=10.] 10.已知雙曲線的中心在原點,左,右焦點F1,F(xiàn)2在坐標軸上,離心率為,且過點(4,-). (1)求雙曲線的方程; (2)若點M(3,m)在雙曲線上,求證:1·2=0. 【答案】(1)解 ∵e=,∴可設(shè)雙曲線的方程為x2-y2=λ(λ≠0). ∵雙曲線過點(4,-),∴16-10=λ,即λ=6, ∴雙曲線的方程為x2-y2=6. (2)證明 證法一:由(1)可知,雙曲線中a=b=, ∴c=2,∴F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0), ∴kMF1=,kMF2=, ∴kMF1·kMF2==-. ∵點M(3,m)在雙曲線

7、上,∴9-m2=6,m2=3, 故kMF1·kMF2=-1,∴MF1⊥MF2,即1·2=0. 證法二:由證法一知1=(-3-2,-m), 2=(2-3,-m), ∴1·2=(3+2)×(3-2)+m2=-3+m2, ∵點M在雙曲線上, ∴9-m2=6,即m2-3=0, ∴1·2=0. [B級 能力提升訓練] 11.(2018·全國卷Ⅰ)已知雙曲線C:-y2=1,O為坐標原點,F(xiàn)為C的右焦點,過F的直線與C的兩條漸近線的交點分別為M,N.若△OMN為直角三角形,則|MN|=(  ) A. B.3 C.2 D.4 【答案】B [由已知得雙曲線的兩條漸近線方程為y=±x.

8、設(shè)兩漸近線夾角為2α,則有tan α==,所以α=30°. 所以∠MON=2α=60°. 又△OMN為直角三角形,由于雙曲線具有對稱性,不妨設(shè)MN⊥ON,如圖所示. 在Rt△ONF中,|OF|=2,則|ON|=. 則在Rt△OMN中,|MN|=|ON|·tan 2α=·tan 60°=3.] 12.(2019·湖北武漢調(diào)研)已知不等式3x2-y2>0所表示的平面區(qū)域內(nèi)一點P(x,y)到直線y=x和直線y=-x的垂線段分別為PA,PB,若△PAB的面積為,則點P軌跡的一個焦點坐標可以是(  ) A.(2,0) B.(3,0) C.(0,2) D.(0,3) 【答案】A [∵直

9、線y=x與y=-x的夾角為60°,且3x2-y2>0,∴PA與PB的夾角為120°,|PA||PB|=·=,S△PAB=|PA||PB|·sin 120°=(3x2-y2)=,即P點的軌跡方程為x2-=1,半焦距為c=2,∴焦點坐標可以為(2,0).] 13.(2017·全國卷Ⅰ)已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的右頂點為A,以A為圓心,b為半徑作圓A,圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M,N兩點.若∠MAN=60°,則C的離心率為____________. 【答案】 [如圖,由題意知點A(a,0),雙曲線的一條漸近線l的方程為y=x,即bx-ay=0, ∴點A到l的距離d=.

10、又∠MAN=60°,MA=NA=b,∴△MAN為等邊三角形, ∴d=MA=b,即=b,∴a2=3b2, ∴e===.] 14.已知雙曲線x2-=1的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,雙曲線的離心率為e,若雙曲線上存在一點P使=e,則·=____________. 【答案】2 [由題意及正弦定理得==e=2, ∴|PF1|=2|PF2|,由雙曲線的定義知|PF1|-|PF2|=2,∴|PF1|=4,|PF2|=2.又|F1F2|=4, 由余弦定理可知 cos∠PF2F1===,∴·=||·||cos∠PF2F1=2×4×=2.] 15.已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的離心率為,

11、點(,0)是雙曲線的一個頂點. (1)求雙曲線的方程; (2)經(jīng)過雙曲線右焦點F2作傾斜角為30°的直線,直線與雙曲線交于不同的兩點A,B,求|AB|. 【答案】解 (1)∵雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的離心率為,點(,0)是雙曲線的一個頂點, ∴解得c=3,b=, ∴雙曲線的方程為-=1. (2)雙曲線-=1的右焦點為F2(3,0), ∴經(jīng)過雙曲線右焦點F2且傾斜角為30°的直線的方程為y=(x-3). 聯(lián)立得5x2+6x-27=0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-,x1x2=-. 所以|AB|=× =. 16.已知中心在原點的雙曲線C的右

12、焦點為(2,0),實軸長為2. (1)求雙曲線C的方程; (2)若直線l:y=kx+與雙曲線C的左支交于A,B兩點,求k的取值范圍; (3)在(2)的條件下,線段AB的垂直平分線l0與y軸交于M(0,m),求m的取值范圍. 【答案】解 (1)設(shè)雙曲線C的方程為-=1(a>0,b>0). 由已知得a=,c=2,再由a2+b2=c2,得b2=1, 所以雙曲線C的方程為-y2=1. (2)設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB),將y=kx+代入-y2=1,得(1-3k2)x2-6kx-9=0. 由題意知解得

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