《2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 三角函數(shù)、三角形、平面向量 專(zhuān)題12平面向量的概念及其線性運(yùn)算 文（含解析）》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 三角函數(shù)、三角形、平面向量 專(zhuān)題12平面向量的概念及其線性運(yùn)算 文（含解析）（14頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、專(zhuān)題12平面向量的概念及其線性運(yùn)算 一、本專(zhuān)題要特別小心： 1.向量加減的幾何意義 2. 向量共線的問(wèn)題 3. 零向量問(wèn)題 4.向量夾角為銳角和鈍角問(wèn)題 5.基本定理的兩條路徑法表示向量 6.向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系 7.向量的模與夾角的運(yùn)算及應(yīng)用問(wèn)題 8.平行與垂直問(wèn)題 二．【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1．理解平面向量的概念，理解兩個(gè)向量相等的含義；理解向量的幾何表示． 2．掌握向量的加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義． 3．掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義． 4．了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義． 三．【方法總結(jié)】 1.向量線性運(yùn)算技巧

2、(1)用已知向量表示與其相關(guān)的另外一些向量時(shí)，在運(yùn)用向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算的同時(shí)，應(yīng)充分利用平面幾何的一些基本定理. (2)在求向量時(shí)盡可能轉(zhuǎn)化到某平行四邊形或三角形內(nèi)，以便運(yùn)用平行四邊形法則和三角形法則，涉及到線段比時(shí)，一方面考慮平行線定理，另一方面充分運(yùn)用數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義. 2.向量共線問(wèn)題 (1)向量共線的充要條件中要注意當(dāng)兩向量共線時(shí)，通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，要注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用. (2)證明三點(diǎn)共線問(wèn)題，可用向量共線來(lái)解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線. 四．【題型方法】 （一）向

3、量共線與三點(diǎn)共線 例1．下列說(shuō)法正確的是（ ） A．若，則、的長(zhǎng)度相等且方向相同或相反 B．若向量、滿(mǎn)足，且與同向，則 C．若，則與可能是共線向量 D．若非零向量與平行，則、、、四點(diǎn)共線 【答案】C 【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，模相等的向量，方向不一定相同或者相反，也可能垂直，或者成其它的角度，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于B選項(xiàng)，向量不能用大于或者小于號(hào)相連，向量的模可以比較大小，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于C選項(xiàng)，不相等的向量可以共線，故C選項(xiàng)正確.對(duì)于D選項(xiàng)，平行向量不一定是共線的，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤.綜上所述，本小題選C. 練習(xí)1．下列說(shuō)法中正確的是（ ） A．單位向量都相等 B．平行向量不一

4、定是共線向量 C．對(duì)于任意向量，，必有 D．若，滿(mǎn)足且與同向，則 【答案】C 【解析】對(duì)于A,單位向量模都相等，方向不一定相同，故錯(cuò)誤，對(duì)于B,平行向量就是共線向量，對(duì)于C,若，同向共線，，若，反向共線，，若，不共線，根據(jù)向量加法的三角形法則及兩邊之和大于第三邊知，綜上可知對(duì)于任意向量，，必有正確，對(duì)于D,兩個(gè)向量不能比較大小，故錯(cuò)誤. 故選C. 練習(xí)2．設(shè)是非零向量，則“存在實(shí)數(shù)，使得”是“”的 A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】B 【解析】存在實(shí)數(shù)，使得， 說(shuō)明向量共線，當(dāng)同向時(shí)，成立， 當(dāng)反向時(shí)，不成立

5、，所以，充分性不成立. 當(dāng)成立時(shí)，有同向，存在實(shí)數(shù)，使得成立，必要性成立， 即“存在實(shí)數(shù)，使得”是“”的必要而不充分條件. 故選：B. 練習(xí)3.下列命題正確的是( ) A．與共線，與共線，則與也共線 B．任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一平行四邊形的四頂點(diǎn) C．向量與不共線，則與都是非零向量 D．有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行 【答案】C 【解析】由于零向量與任意向量都共線，所以當(dāng)是零向量時(shí)，與不一定共線，故A不正確； 由于數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，所以?xún)蓚€(gè)相等的非零向量可以在同一直線上， 而此時(shí)不能構(gòu)成四邊形，所以不可能是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，故B不正

6、確； 零向量與任意向量都共線，故C正確； 向量的平行只要方向相同或相反即可，與起點(diǎn)是否相同無(wú)關(guān)，故D不正確. 故選C. 練習(xí)4．下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為( ) （1）共線的兩個(gè)單位向量相等； （2）相等向量的起點(diǎn)相同； （3）若，則一定有直線； （4）若向量，共線，則點(diǎn)A，B，C，D必在同一直線上． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】(1)錯(cuò)，共線的兩個(gè)單位向量的方向可能相反； (2)錯(cuò)，相等向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)都可能不相同； (3)錯(cuò)，直線與可能重合； (4)錯(cuò)，與可能平行，則四點(diǎn)不共線. 故選A. （二）向量的模 例2. 向量的夾角為，

7、，，則的最大值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 又 本題正確選項(xiàng)： 練習(xí)1.對(duì)于任意向量，，下列命題中正確的是（ ） A．如果，滿(mǎn)足，且與同向，則 B． C． D． 【答案】B 【解析】選項(xiàng)A中，向量不能進(jìn)行比較大小，所以錯(cuò)誤； 選項(xiàng)B中，兩邊平方，整理化簡(jiǎn)得，即，所以正確； 選項(xiàng)C中，當(dāng)與同向時(shí)，，所以錯(cuò)誤； 選項(xiàng)D中，當(dāng)時(shí)，，不成立，所以錯(cuò)誤. 故選B項(xiàng). 練習(xí)2. 已知平面向量，則（ ） A． B．3 C． D．5 【答案】A 【解析】因?yàn)?，所以，因? 故選A （三）向量加減運(yùn)

8、算法則的幾何意義 例3.在四邊形中，且，則四邊形的形狀一定是（ ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 【答案】C 【解析】因?yàn)椋? 四邊形是平行四邊形，又，所以, 四邊形是菱形，故選C. 練習(xí)1.在中，，，，，為的三等分點(diǎn)，則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因?yàn)椋裕? 化為，因?yàn)椋?，所以? 又因?yàn)椋瑸榈娜确贮c(diǎn)，所以 ，故選C. 練習(xí)2．在四邊形中，，，，那么四邊形的形狀是（ ） A．矩形 B．平行四邊形 C．梯形 D．以上都不對(duì) 【答案】C 【解析】， ，，四邊形是梯形。答案選C （四）零向量陷阱

9、 例4. 下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（　　） A．零向量與任一向量平行 B．方向相反的兩個(gè)非零向量不一定共線 C．零向量的長(zhǎng)度為0 D．方向相反的兩個(gè)非零向量必不相等 【答案】B 【解析】零向量的定義：零向量與任一向量平行，與任意向量共線.零向量的方向不確定，但模的大小確定為0,故A與C都是對(duì)的； 設(shè)方向相反的兩個(gè)非零向量為和，滿(mǎn)足，所以方向相反的兩個(gè)非零向量一定共線，故B錯(cuò)； 對(duì)于D，因?yàn)橄蛄肯嗟鹊亩x是：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量相等，所以方向相反的兩個(gè)非零向量必不相等，故D對(duì). 答案選B. 練習(xí)1.已知命題“”，命題“是3個(gè)不同的向量，若，則”，則下列命題中為真命題的是（ ）

10、 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由題得命題為真命題，命題為假命題（因?yàn)闀r(shí)，與可能不平行）， 則為真命題，故選：C 練習(xí)2.下列關(guān)于向量的說(shuō)法中正確的是（ ） A．若且，則 B．若，則 C．向量（）且，則向量與的方向相同或相反 D．與方向相反，則與的方向相同 【答案】C 【解析】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，與不一定平行，所以A不正確； 因?yàn)槟Ｏ嗟鹊膬蓚€(gè)向量不一定相等，所以B不正確. 因?yàn)榕c的大小不確定，所以D不正確. 因?yàn)橄蛄抗簿€時(shí)，其方向是同向或反向，所以C正確； 故選：C. （五）向量的性質(zhì) 例5. 對(duì)于非零向量，下列命題中正確的是（　　） A．若，

11、則 B．若，則 C．若，則在上的投影為 D．若，則 【答案】B 【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，若，所以，故A錯(cuò)誤， 對(duì)于選項(xiàng)B，若，所以，則，故B正確， 對(duì)于選項(xiàng)C，若，則在上的投影為，故C錯(cuò)誤， 對(duì)于選項(xiàng)D，若，不能推出，故D錯(cuò)誤， 綜上可知：選項(xiàng)B正確， 故選：B． 練習(xí)1.在正方形中，為的中點(diǎn)，若，則的值為（ ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】由題得, . 故選：B 練習(xí)2．在中，為邊上的中線，為（靠近點(diǎn)）的三等分點(diǎn)，則 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得： . （六）向量的幾何意義 例6. 設(shè)

12、點(diǎn)在的內(nèi)部，且，若的面積是27，則的面積為（ ） A．9 B．8 C． D．7 【答案】A 【解析】 延長(zhǎng)OC到D，使得OD=2OC,因?yàn)?，所以? 以O(shè)A，OD為邊作平行四邊形OAED,對(duì)角線交點(diǎn)為F,OE交AC于H, 因?yàn)?所以, 因?yàn)镺C:AE=1:2,所以O(shè)H:HE=1:2, 所以,所以,所以的面積是面積的， 所以的面積為9. 故選：A 練習(xí)1. 如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，并延長(zhǎng)交于，則（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在平行四邊形中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，且延長(zhǎng)后交于 所以 根據(jù)向量線性運(yùn)算可知 所以選D

13、 練習(xí)2.設(shè)O在△ABC的內(nèi)部，D為AB的中點(diǎn)，且，則的面積與的面積的比值為( ) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】∵D為AB的中點(diǎn)，則， 又，，為CD的中點(diǎn)． 又為AB的中點(diǎn)，，則 練習(xí)3.如圖所示，設(shè)為所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，并且，則與的面積之比等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】延長(zhǎng)AP交BC于點(diǎn)D，因?yàn)锳、P、D三點(diǎn)共線， 所以，設(shè) 代入可得 即 又因?yàn)?，即，? 解得 ，所以可得 因?yàn)榕c有相同的底邊，所以面積之比就等于與之比 所以與的面積之比為 ，故選D 練習(xí)4.已知點(diǎn)M是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿(mǎn)

14、足，則與的面積之比為（ ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【解析】設(shè)點(diǎn)是上一點(diǎn),且,點(diǎn)是上一點(diǎn)，且，如下圖所示： 由，可知，以為鄰邊作平行四邊形,連接，延長(zhǎng)，交于，設(shè),因?yàn)?，所以? 由平行四邊形，可知,設(shè)， ，所以,,因此與的面積之比為3，故本題選 C. 練習(xí)5.如圖所示，已知點(diǎn)是的重心，過(guò)點(diǎn)作直線分別交兩邊于兩點(diǎn)，且，，則的最小值為_(kāi)_________． 【答案】 【解析】根據(jù)條件：，； 又；∴；又M，G，N三點(diǎn)共線； ∴1；∵x＞0，y＞0； ∴3x+y＝（3x+y）（）2； 3x+y的最小值為．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“=”成立．故答案為：．

15、（七）向量與數(shù)列 例7. 已知數(shù)列是正項(xiàng)等差數(shù)列，在中，，若，則的最大值為（　?。? A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，故三點(diǎn)共線， 又∵，∴，數(shù)列是正項(xiàng)等差數(shù)列，故 ∴，解得：， 故選：C． 練習(xí)1.在平面四邊形中，面積是面積的2倍，數(shù)列滿(mǎn)足，且，則（ ） A．31 B．33 C．63 D．65 【答案】B 【解析】設(shè)和交于點(diǎn)，和的高分別為， ∵的面積是面積的2倍，∴， ∴，即，∴， 又， 由三點(diǎn)共線，設(shè)， 由平面向量基本定理得， ∴，即， ∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列， ∴，即， 所以. 練習(xí)2.將向

16、量列，，…，組成的系列稱(chēng)為向量列，并記向量列的前項(xiàng)和為，如果一個(gè)向量列從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的和都等于同一個(gè)向量，那么稱(chēng)這樣的向量列為等和向量列.若，，則下列向量中與向量垂直的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根據(jù)等和向量列的概念，，故，，故奇數(shù)項(xiàng)都為，偶數(shù)項(xiàng)都為.故.注意到可知，C選項(xiàng)正確.故選C. 練習(xí)3.如圖所示，點(diǎn)為的邊上一點(diǎn)，，為上一列點(diǎn)，且滿(mǎn)足：，其中數(shù)列滿(mǎn)足，且，則______ 【答案】 【解析】因?yàn)辄c(diǎn)D為△ABC的邊BC上一點(diǎn)，且， ∴，因?yàn)闉樯弦涣悬c(diǎn)， 所以又， 即： ， 所以， 即. 故答案為：． 14