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1、2012高教社杯全國大學生數學建模競賽承 諾 書我們仔細閱讀了中國大學生數學建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導教師）研究、討論與賽題有關的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們授權全國大學生數學建模競賽組委會，可將我們的論文以任何形式進行公開展示（包括進行網上公示，

2、在書籍、期刊和其他媒體進行正式或非正式發(fā)表等）。我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項填寫）： B 我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設置報名號的話）： 所屬學校（請?zhí)顚懲暾娜?參賽隊員 (打印并簽名) ：1. 2. 3. 指導教師或指導教師組負責人 (打印并簽名)： 日期： 2012 年 11 月 2日賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：2012高教社杯全國大學生數學建模競賽編 號 專 用 頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）：

3、太陽能小屋的設計 摘 要對于太陽能小屋的設計問題，影響光伏電池實際發(fā)電效率或發(fā)電量的因素有很多，我們主要對光伏電池的種類、太陽輻射強度、光線入射角、環(huán)境、建筑物所處的地理緯度、地區(qū)的氣候與氣象條件、安裝部位及方式等因素做了較為詳盡的研究。針對問題1，首先，我們考慮貼附安裝方式對光伏電池發(fā)電量的影響，以小屋的全年太陽能光伏發(fā)電總量盡可能大、單位發(fā)電量的費用盡可能小、各面墻及屋頂面積要求、并聯(lián)的光伏組件端電壓要求、逆變器的要求及太陽光的輻照閾值等要求為約束，建立多目標規(guī)劃模型；然后，通過簡化模型求解出了小屋各外表面電池組件連接方式鋪設方案及示意圖；最后，給出了選擇逆變器的枚舉算法，并計算了對小屋各

4、個墻面及屋頂鋪設光伏電池在35年壽命期內的經濟效益為3.21元，此時，只有屋頂與南面墻有收益。在此基礎上，我們計算出只對屋頂與南面墻進行鋪設的情況下，小屋光伏電池35年壽命期內的發(fā)電總量為5.8683、經濟效益為9.56元，投資的回收年限為11年。針對問題2，首先，利用概率論與數理統(tǒng)計與優(yōu)化方法相結合，用落在某時段頻數最大的傾角作為最優(yōu)的光伏電池傾角，計算的傾角為44；然后，通過電池板的傾角與朝向角公式的推導，計算出電池板的朝向角為23.2275；最后，結合問題1的求解方法得到小屋各外表面電池組件及組件連接方式的鋪設方案及示意圖，給出了逆變器選擇方案，同樣只考慮對屋頂與南面墻進行鋪設，由于陽光

5、照射引起的電池板陰影問題，我們考慮了電池板鋪設間距問題，并計算出小屋光伏電池35年壽命期內的發(fā)電總量為4.9228、經濟效益為1.49元及投資的回收年限為11年。針對問題3，首先，以太陽能小屋的建筑要求為約束，以屋頂及南面墻面積最大為目標，建立優(yōu)化模型；然后，通過Lingo軟件編程求解，得到小屋最優(yōu)的建筑方案及示意圖；最后，結合問題1的求解方法得到小屋各外表面電池組件及組件連接方式的鋪設方案及示意圖，給出了逆變器選擇方案，同樣只考慮對屋頂與南面墻進行鋪設，計算出小屋光伏電池35年壽命期內的發(fā)電總量為1.1262、經濟效益為6.49元及投資的回收年限為11年。關鍵詞：太陽能小屋；鋪設方案；光伏電

6、池；優(yōu)化模型1問題的重述在設計太陽能小屋時，需在建筑物外表面（屋頂及外墻）鋪設光伏電池，光伏電池組件所產生的直流電需要經過逆變器轉換成220V交流電才能供家庭使用，并將剩余電量輸入電網。不同種類的光伏電池每峰瓦的價格差別很大，且每峰瓦的實際發(fā)電效率或發(fā)電量還受諸多因素的影響，如太陽輻射強度、光線入射角、環(huán)境、建筑物所處的地理緯度、地區(qū)的氣候與氣象條件、安裝部位及方式（貼附或架空）等。因此，在太陽能小屋的設計中，研究光伏電池在小屋外表面的優(yōu)化鋪設是很重要的問題。附件1-7提供了相關信息。請參考附件提供的數據，對下列三個問題，分別給出小屋外表面光伏電池的鋪設方案，使小屋的全年太陽能光伏發(fā)電總量盡可

7、能大，而單位發(fā)電量的費用盡可能小，并計算出小屋光伏電池35年壽命期內的發(fā)電總量、經濟效益（當前民用電價按0.5元/kWh計算）及投資的回收年限。在求解每個問題時，都要求配有圖示，給出小屋各外表面電池組件鋪設分組陣列圖形及組件連接方式（串、并聯(lián)）示意圖，也要給出電池組件分組陣列容量及選配逆變器規(guī)格列表。在同一表面采用兩種或兩種以上類型的光伏電池組件時，同一型號的電池板可串聯(lián)，而不同型號的電池板不可串聯(lián)。在不同表面上，即使是相同型號的電池也不能進行串、并聯(lián)連接。應注意分組連接方式及逆變器的選配。問題1：請根據山西省大同市的氣象數據，僅考慮貼附安裝方式，選定光伏電池組件，對小屋（見附件2）的部分外表

8、面進行鋪設，并根據電池組件分組數量和容量，選配相應的逆變器的容量和數量。問題2：電池板的朝向與傾角均會影響到光伏電池的工作效率，請選擇架空方式安裝光伏電池，重新考慮問題1。問題3：根據附件7給出的小屋建筑要求，請為大同市重新設計一個小屋，要求畫出小屋的外形圖，并對所設計小屋的外表面優(yōu)化鋪設光伏電池，給出鋪設及分組連接方式，選配逆變器，計算相應結果。2問題的分析在設計太陽能小屋時，需在建筑物外表面鋪設光伏電池，不同種類的光伏電池每峰瓦的價格差別很大，且每峰瓦的實際發(fā)電效率或發(fā)電量還受諸多因素的影響，如太陽輻射強度、光線入射角、環(huán)境、建筑物所處的地理緯度、地區(qū)的氣候與氣象條件、安裝部位及方式（貼附

9、或架空）等。因此，在太陽能小屋的設計中，研究光伏電池在小屋外表面的優(yōu)化鋪設及逆變器的選擇是很重要的問題。通過對光伏電池鋪設的優(yōu)化及逆變器的合理選擇，從而使小屋的全年太陽能光伏發(fā)電總量盡可能大，而單位發(fā)電量的費用盡可能小。通過對數據的分析可知，每天有24個時間節(jié)點，該年共有8760個時間節(jié)點。A單晶硅電池有6種型號，B多晶硅電池有7種型號，C薄膜電池有11種型號。單晶硅電池和多晶硅電池價格較高，功率較高，轉化率也較高；薄膜電池價格較低，功率較低，轉化率也較低。綜合來看，三種電池的性價比比較高。在附件中值為0的點為黑夜，隨著太陽的東升西落，輻射總強度有著明顯的變化，在數據中明顯的數據差距可理解為當

10、天天氣因素的影響。針對問題1，考慮題目中要求貼附墻面安裝光伏電池，確定此問題為一個優(yōu)化問題，應建立一個模型進行規(guī)劃1，在規(guī)劃的過程當中，由于光伏電池有不同的串并聯(lián)形式，并且有選用和不選用的差別，考慮運用0-1變量進行控制，建立0-1規(guī)劃模型。針對問題2，題目中要求鋪設的光伏電池需要有傾角和朝向，由題目中敘述可知，光伏電池的接受輻射強度大小與傾角、朝向有著密切關系，題目要求在此基礎上考慮問題1，那么就考慮問題1中的模型在問題2中仍然適用，問題2可解。針對問題3，題目中要求自己設計一個太陽能的小屋，使得小屋的全年太陽能光伏發(fā)電總量盡可能大，而單位發(fā)電量的費用盡可能小，考慮有問題1和問題2，可以得出

11、比較好的電池板的類型以及最優(yōu)的偏向和傾角，那么小屋的建設為就有了依據。3模型的假設與符號說明31 模型的假設（1）在鋪設的過程當中不考慮逆變器的鋪設問題；（2）在架空鋪設時，選擇一邊離地的架空方式；（3）平鋪的時候，不考慮太陽輻射能量的損失。32 符號說明 R ：所有可能的電池組件連接分組陣列集合，元素個數記為；：第i 種類型光伏電池第j 組的電池個數，i =1,24, ；：第i 種類型光伏電池的面積，i =1,24；：第i 種類型光伏電池的轉換效率，i =1,24；：第i 種類型光伏電池的電壓，i =1,24；：第i 種類型光伏電池的價格，i =1,24；：第i 種類型光伏電池的組件功率，i

12、 =1,24；：第j 組電池選配第m 型逆變器，j，m=1,18；：第m 種類型逆變器的價格，m=1,18；：第m 種類型逆變器的逆變效率，m=1,18；：第m 種類型逆變器的允許輸入的電壓上限，m=1,18；：第m 種類型逆變器的允許輸入的電壓下限，m=1,18；：第m 種類型逆變器的額定功率，m=1,18；：第n 面墻第k 個小時的陽光總輻射強度，n=1,2,3, 4; k=1,8760；：第n 面墻的面積（去除窗戶面積）。4模型的建立與求解41 問題1：考慮貼附安裝方式411 解決問題1的思路對于僅考慮光伏電池在墻面上貼附的安裝方式，選定光伏電池組件，對小屋的部分外表面進行鋪設這一問題，

13、我們解決問題的主要思路是：尋找最優(yōu)的光伏電池組件的排布陣列。首先，根據使小屋的全年太陽能光伏發(fā)電總量盡可能大，單位發(fā)電量的費用盡可能小，滿足太陽光的輻照閾值及小屋外表面積等約束，建立了多目標規(guī)劃模型；然后，根據電池組件分組數量和容量，設定0-1變量選配相應的逆變器；最后給出較好的鋪設方案。412 問題1模型的建立（1） 模型的建立1) 決策變量：第i 種類型光伏電池第j 串的電池個數i =1,24, j =1, ；2) 約束條件a. 小屋的全年太陽能光伏發(fā)電總量盡可能大，即b. 單位發(fā)電量的費用盡可能小，即c. 墻面積約束：每面墻鋪設電池的面積應小于等于該面墻的總面積，即d. 并聯(lián)的光伏組件端

14、電壓相差不應超過10%，即e. 滿足輸入逆變器的電壓范圍，即 f. 滿足輸入逆變器的功率要求，即g. 每一組只選擇一個逆變器h太陽光的輻照閾值要求 i ii iii iv3） 為理想目標確定期望值1. 要求小屋的全年太陽能光伏發(fā)電總量盡可能大，設其為或更大；2. 單位發(fā)電量的費用盡可能小，設其為或更少。4） 對每一個現實目標和約束加上正負偏差變量。1. 要求小屋的全年太陽能光伏發(fā)電總量盡可能大2. 單位發(fā)電量的費用盡可能小，設其為或更少5） 建立達成函數6）整體模型（2） 模型的求解1）模型的簡化由題目信息以及附件1-7可知，可以在小屋外圍鋪設的光伏電池有共6種單晶硅電池；共7種多晶硅電池；共

15、11種薄膜電池。并且根據光伏電池組件及分組陣列連接要求可知，電池的串并聯(lián)方式有很多種；選配16種逆變器的組合方式也有很多種，所以我們考慮將問題進行合理的簡化。1. 一個太陽能小屋由東、南、西、北、朝南頂面、朝北頂面六個面組成，而對于每個面來說，其聚光能力不盡相同，因此，首先我們將每個面分開來算，對每個面分別提出不同的設計方案；2. 在鋪設的過程當中不考慮逆變器的鋪設問題；3. 在鋪設過程中，盡可能鋪滿整面墻，即允許光伏電池的橫向以及縱向排列；4. 在每面墻的鋪設過程中，只選用不同種類的2種光伏電池進行鋪設；5. 在確定光伏電池的類型及數量后，再進行逆變器的選擇。2）算法思路1. 南立面光伏電池

16、的鋪設方案設計由附表4各個立面的總輻射強度的對比可知，南立面接受的總輻射強度最多，所以在光伏電池的選擇過程中，南立面要選擇發(fā)電最多的電池以追求利益的最大化，即要選擇轉換效率最大的光伏電池。轉換效率大小部分排列如表1，由于南立面有兩扇窗戶、一扇門，其中一扇窗戶為圓形，另一扇為正方形，對于規(guī)則四邊形的窗戶和門，在鋪設過程中避開即可，對于圓形的窗戶，處理方法是沿著其切線將其看成正方形的窗戶，在進行鋪設。表1 各類型光伏電池轉換效率排列表排列序號1232021電池編號A3A1A2C6C7轉換效率大小0.1870.16840.16640.03630.0363因此，首先選擇鋪設，當剩余鋪蓋面積無法鋪設時，

17、選擇轉換強度最高的其它類光伏電池，由于剩余面積較小，因此只可以選擇面積小的薄膜電池，薄膜電池的轉換效率大小部分排列如表2表2 薄膜電池轉換效率排列表排列序號1231011電池編號C1C5C3C6C7轉換效率大小0.06990.06490.06350.03630.03632. 北立面光伏電池的鋪設方案設計由附表4各個立面的總輻射強度的對比可知，北立面接收的總輻射強度較少，所以在光伏電池的選擇過程中，考慮選擇性價比高的電池率先鋪設，各類型光伏電池的性價比部分排列如表3 ，對于窗戶和門在鋪設過程中避開即可。其中 表3 各類型光伏電池性價比排列表排列序號1232021電池編號A2A6A1C3C7轉換功

18、率大小15013.2215007.2614900.964798.8034778.009在剩余面積上，鋪設性價比高的其它類型電池，由于剩余面積較小，所以要選擇性價比高的薄膜電池進行鋪設，薄膜電池的性價比部分排列如表4表4 薄膜電池性價比排列表排列序號1231011電池編號C9C4C6C3C7轉換功率大小4818.6484806.234805.594798.8034778.0093. 屋頂的光伏電池的鋪設方案設計（1）符號說明： 法向太陽輻射強度；： 水平面散射輻射強度；： 水平面散射輻射強度；： 傾斜平面上太陽輻射強度；： 水平面上的總輻射強度；： 傾斜平面上太陽直射輻射強度；： 傾斜平面上太陽

19、散射輻射強度；： 傾斜平面所獲得的地面反射輻射強度；： 傾斜平面總反射強度；（2）任意傾斜平面上的太陽輻射強度計算3。圖1 太陽輻射角度圖傾斜平面上太陽直射輻射強度傾斜平面上太陽散射輻射強度傾斜面上所獲得的地面反射輻射強度其中 =0.2。所以，任意傾斜平面上的太陽輻射強度根據上述公式，可得出屋頂上輻射的總強度，MATLAB程序見附錄1，部分數值如表5表5 屋頂上輻射的總強度排列表日期1月1日1月1日1月1日12月31日12月31日12月31日時刻91011161718屋頂總輻射強度11.03388108.7263259.4414389.1973183.89610.014267由附表4各個立面的

20、總輻射強度的對比可知，南立面接受的總輻射強度最多，可推知朝南屋頂接受的總輻射強度也很大，所以在光伏電池的選擇過程中，朝南屋頂要選擇發(fā)電最多的電池以追求利益的最大化，即要選擇轉換效率最大的光伏電池，對于朝南屋頂天窗，在鋪設時避開即可；對于朝北屋頂，由附表4各個立面的總輻射強度的對比可知，北立面接受的總輻射強度較少，可推知朝北屋頂接受的總輻射強度也較小，所以在光伏電池的選擇過程中，考慮選擇性價比高的電池率先鋪設。4. 東立面光伏電池的鋪設方案設計由附表4各個立面的總輻射強度的對比可知，東立面接受的總輻射強度較少，所以在光伏電池的選擇過程中，考慮選擇性價比高的電池率先鋪設。對于屋頂側面三角形部分，也

21、采取同樣的策略，盡可能鋪設性價比高的電池板，剩余部分再選擇性價比高的其它類型的光伏電池板，對于側面門的問題，處理方法是在鋪設過程中避開即可。5. 西立面光伏電池的鋪設方案設計由附表4各個立面的總輻射強度的對比可知，西立面接受的總輻射強度較少，所以在光伏電池的選擇過程中，考慮選擇性價比高的電池率先鋪設。對于屋頂側面三角形部分，也采取同樣的策略，盡可能鋪設性價比高的電池板，剩余部分再選擇性價比高的其它類型的光伏電池板。413 問題1求解結果1）南立面光伏電池的鋪設方案設計結果1. 光伏電池的鋪設方案，如圖2圖2 南立面光伏電池的鋪設方案設計圖南立面的鋪設優(yōu)先選擇轉換效率最高的類型的光伏電池板，其次

22、剩余面積應該選擇轉換效率最高的薄膜電池，但是，由于南立面的門窗較多，剩余面積少，以至于不能鋪設等類型的電池板，所以在剩余面積的約束下，選擇能夠鋪設的薄膜電池類型，在其中選擇轉換效率最優(yōu)的類型電池板，由上圖可以看出，南立面的鋪設選擇類型的光伏電池板共7塊；選擇類型的電池板共15塊。2. 南立面逆變器的選擇（1）算法設計已知各型號光伏電池使用的數量，枚舉出所有串并聯(lián)的組合的情況，分別計算所有情況所使用逆變器的價格，從所有價格中尋找到最低價格。然后加入光伏電池的價格，即是此面墻的安裝成本。枚舉法可行是由于每面墻使用的每種類型的光伏電池個數較少，枚舉可能情況較少，故枚舉法具有可操作性。算法步驟： 分別

23、表示某種單晶硅電池或多晶硅電池的電壓和功率； 分別表示某種薄膜電池的電壓和功率；步驟一：根據計算出的每種電池的數量，經過組合得到所有串并聯(lián)的分組列陣；步驟二：計算每種分組列陣需要的電壓和需要的功率；步驟三：根據允許輸入電壓范圍和額定功率兩個指標進行選擇逆變器；步驟四：選擇所有分組列陣中價錢最低的逆變器，結束。（2）各電池連接方式及逆變器選擇結果類型光伏電池的連接方式如圖3圖3 類型光伏電池的連接方式如上圖所示，類型光伏電池的連接方式為7個光伏電池并聯(lián)；選擇類型為的逆變器。類型光伏電池的連接方式如圖4 圖4 類型光伏電池的連接方式如上圖所示，類型光伏電池的連接方式為15個光伏電池并聯(lián)；選擇類型為

24、的逆變器。具體電池組件分組陣列容量及選配逆變器具體情況如表6表6 電池組件分組陣列容量及選配逆變器具體情況表逆變器序號41逆變器型號SN4SN1直流輸入電壓允許范圍42642132交流允許輸出功率1.60.4電池組件分組陣列容量電池組件連接方式并聯(lián)并聯(lián)電池輸入電壓46.126.7電池所需功率1.40.12由上表所示，南立面選擇型號為和的逆變器，其中，7個類型光伏電池并聯(lián)采用型號為的逆變器；15個類型光伏電池并聯(lián)采用型號為的逆變器，可以使輸入電壓在允許范圍內并且滿足所需功率要求。根據上述設計方案，可以求出南立面鋪設總成本，以及在35年壽命期內的發(fā)電總量、經濟效益、以及投資的回收年限，其中 總成本

25、=光伏電池費用+逆變器總費用（1）（2） 經濟效益=發(fā)電總量民用電價（）總成本（3）根據公式（1）可得出，南立面的鋪設總成本為31236元；根據公式（2）可得出，南立面第一年發(fā)電量為，35年的發(fā)電總量為，第一年的經濟效益為元，35年的經濟效益為元，根據結果可知，其投資無法回收。2）北立面光伏電池的鋪設方案設計結果1. 光伏電池的鋪設方案，如圖5圖5 北立面光伏電池的鋪設方案設計圖北立面的鋪設優(yōu)先選擇性價比最高的類型的光伏電池板，其次剩余面積應該選擇性價比最高的薄膜電池，但是，由于北立面的門窗較多，剩余面積少，以至于不能鋪設等類型的電池板，所以在剩余面積的約束下，選擇能夠鋪設的薄膜電池類型，在其

26、中我們選擇了性價比最優(yōu)的類型的電池板，由上圖可以看出，南立面的鋪設選擇類型的光伏電池板共11塊；選擇類型的電池板共6塊。2. 北立面逆變器的選擇根據南立面中所提出的算法得出各電池連接方式及逆變器選擇結果類型光伏電池的連接方式如圖6圖6 類型光伏電池的連接方式如上圖所示，類型光伏電池的連接方式為5個類型光伏電池串聯(lián)再與另外5個串聯(lián)的類型光伏電池并聯(lián)；選擇類型為的逆變器。剩下一個類型光伏電池單獨連接一個逆變器，選擇類型為的逆變器。類型光伏電池的連接方式如圖7圖7 類型光伏電池的連接方式如上圖所示，類型光伏電池的連接方式為6個光伏電池并聯(lián)；選擇類型為的逆變器。具體電池組件分組陣列容量及選配逆變器具體

27、情況如表7表7 電池組件分組陣列容量及選配逆變器具體情況表逆變器序號1431逆變器型號SN14SN3SN1直流輸入電壓允許范圍18030042642132交流允許輸出功率4.00.80.4電池組件分組陣列容量電池組件連接方式5個一組串聯(lián)再并聯(lián)無連接并聯(lián)電池輸入電壓234.5546.9126.7電池所需功率3.250.3250.072由上表所示，北立面選擇型號為、的逆變器，其中，5個類型光伏電池串聯(lián)再與另外5個串聯(lián)的類型光伏電池并聯(lián)采用型號為的逆變器；1個類型光伏電池采用型號為的逆變器，6個并聯(lián)采用型號為的逆變器，可以使輸入電壓在允許范圍內并且滿足所需功率要求。根據上述設計方案可以求出北立面鋪設

28、總成本，以及在35年壽命期內的發(fā)電總量、經濟效益、以及投資的回收年限。根據公式（1）可得出，北立面的鋪設總成本為76313.1元；根據公式（2）可得出，南立面第一年發(fā)電量為，35年的發(fā)電總量為，第一年的經濟效益為元，35年的經濟效益為元，根據結果可知，其投資無法回收。3）朝南屋頂光伏電池的鋪設方案設計結果1. 光伏電池的鋪設方案，如圖8圖8 朝南屋頂光伏電池的鋪設方案設計圖朝南屋頂的鋪設優(yōu)先選擇轉換效率最高的類型的光伏電池板，其剩余面積應該選擇轉換效率最高的薄膜電池，剩余面積少，以至于不能鋪設等類型的電池板，所以在剩余面積的約束下，選擇能夠鋪設的薄膜電池類型，在其中選擇轉換效率最優(yōu)的類型電池板

29、，由上圖可以看出，朝南屋頂的鋪設選擇類型的光伏電池板共43塊；選擇類型的電池板共7塊。2. 朝南屋頂逆變器的選擇根據南立面中所提出的算法得出各電池連接方式及逆變器選擇結果類型光伏電池的連接方式如圖9圖9 類型光伏電池的連接方式如上圖所示，類型光伏電池的連接方式為5個光伏電池串聯(lián)再與另外3組并聯(lián)，這樣的連接方式有2組；選擇類型為的逆變器，剩下的3個類型光伏電池采用并聯(lián)的方式，選擇類型為的逆變器。類型光伏電池的連接方式如圖10圖10 類型光伏電池的連接方式如上圖所示，類型光伏電池的連接方式為7個光伏電池并聯(lián)；選擇類型為的逆變器。具體電池組件分組陣列容量及選配逆變器具體情況如表8表8 電池組件分組陣

30、列容量及選配逆變器具體情況表逆變器序號1431逆變器型號SN14SN3SN1直流輸入電壓允許范圍18030042642132交流允許輸出功率4.00.80.4電池組件分組陣列容量電池組件連接方式5個一組串聯(lián)再并聯(lián)并聯(lián)并聯(lián)電池輸入電壓234.5546.9126.7電池所需功率3.250.3250.072由上表所示，朝南屋頂選擇型號為、的逆變器，其中，43個類型光伏電池并聯(lián)采用型號為的逆變器；7個類型光伏電池并聯(lián)采用型號為的逆變器，可以使輸入電壓在允許范圍內并且滿足所需功率要求。根據上述設計方案，可以求出南立面鋪設總成本，根據公式（1）可得出，朝南屋頂的鋪設總成本為166524元。 4）朝北屋頂光

31、伏電池的鋪設方案設計結果1. 光伏電池的鋪設方案，如圖11圖11 朝北屋頂光伏電池的鋪設方案設計圖朝北屋頂的鋪設優(yōu)先選擇性價比最高的類型的光伏電池板，其剩余面積很小，不能再鋪任何其它類型的光伏電池板，所以我們僅用類型的光伏電池板進行鋪設，由上圖可以看出，朝北屋頂的鋪設選擇類型的光伏電池板共5塊。2. 朝北屋頂逆變器的選擇根據南立面中所提出的算法得出各電池連接方式及逆變器選擇結果類型光伏電池的連接方式如圖12圖12 類型光伏電池的連接方式如上圖所示，類型光伏電池的連接方式為5個光伏電池串聯(lián)；選擇類型為的逆變器。具體電池組件分組陣列容量及選配逆變器具體情況如表9表9 電池組件分組陣列容量及選配逆變

32、器具體情況表逆變器序號13逆變器型號SN13直流輸入電壓允許范圍180300交流允許輸出功率2.4電池組件分組陣列容量電池組件連接方式串聯(lián)電池輸入電壓234.55電池所需功率1.625由上表所示，朝北屋頂選擇型號為的逆變器，5個類型光伏電池串聯(lián)并采用型號為的逆變器，可以使輸入電壓在允許范圍內并且滿足所需功率要求。根據上述設計方案，可以求出超北屋頂鋪設總成本，以及在35年壽命期內的發(fā)電總量、經濟效益、以及投資的回收年限根據公式（1）可得出，朝北屋頂的鋪設總成本為76313.1元。5）東立面光伏電池的鋪設方案設計結果1. 光伏電池的鋪設方案，如圖13圖13 東立面光伏電池的鋪設方案設計圖東立面的鋪

33、設優(yōu)先選擇性價比最高的類型的光伏電池板，其次剩余面積應該選擇性價比最高的薄膜電池，剩余面積少，以至于不能鋪設等類型的電池板，所以在剩余面積的約束下，選擇能夠鋪設的薄膜電池類型，在其中選擇性價比最優(yōu)的類型電池板，由上圖可以看出，朝南屋頂的鋪設選擇類型的光伏電池板共9塊；選擇類型的電池板共6塊。2東立面逆變器的選擇根據南立面中所提出的算法得出各電池連接方式及逆變器選擇結果類型光伏電池的連接方式如圖14圖14 類型光伏電池的連接方式如上圖所示，類型光伏電池的連接方式為9個光伏電池并聯(lián)，選擇類型為的逆變器。類型光伏電池的連接方式如圖15圖15 類型光伏電池的連接方式如上圖所示，類型光伏電池的連接方式為

34、6個光伏電池并聯(lián)；選擇類型為的逆變器。具體電池組件分組陣列容量及選配逆變器具體情況如表10表10 電池組件分組陣列容量及選配逆變器具體情況表逆變器序號61逆變器型號SN6SN1直流輸入電壓允許范圍42642132交流允許輸出功率40.4電池組件分組陣列容量電池組件連接方式并聯(lián)并聯(lián)電池輸入電壓46.9126.7電池所需功率2.9250.072由上表所示，東立面選擇型號為、的逆變器，其中，9個類型光伏電池并聯(lián)采用型號為的逆變器；6個類型光伏電池并聯(lián)采用型號為的逆變器，可以使輸入電壓在允許范圍內并且滿足所需功率要求。根據上述設計方案，可以求出南立面鋪設總成本，以及在35年壽命期內的發(fā)電總量、經濟效益

35、、以及投資的回收年限。根據公式（1）可得出，東立面的鋪設總成本為54808.1元。6）西立面光伏電池的鋪設方案設計結果1. 光伏電池的鋪設方案，如圖16圖16 西立面光伏電池的鋪設方案設計圖西立面的鋪設優(yōu)先選擇性價比最高的類型的光伏電池板，其次剩余面積應該選擇性價比最高的薄膜電池，但是，由于北立面的門窗較多，剩余面積少，以至于不能鋪設等類型的電池板，所以在剩余面積的約束下，選擇能夠鋪設的薄膜電池類型，在其中我們選擇了性價比最優(yōu)的類型的電池板，由上圖可以看出，西立面的鋪設選擇類型的光伏電池板共10塊；選擇類型的電池板共12塊。2. 北立面逆變器的選擇根據南立面中所提出的算法得出各電池連接方式及逆

36、變器選擇結果類型光伏電池的連接方式如圖17圖17 類型光伏電池的連接方式如上圖所示，類型光伏電池的連接方式為5個類型光伏電池串聯(lián)再與另外5個串聯(lián)的類型光伏電池并聯(lián)；選擇類型為的逆變器。類型光伏電池的連接方式如圖18圖18 類型光伏電池的連接方式如上圖所示，類型光伏電池的連接方式為12個光伏電池并聯(lián)；選擇類型為的逆變器。具體電池組件分組陣列容量及選配逆變器具體情況如表11表11 電池組件分組陣列容量及選配逆變器具體情況表逆變器序號141逆變器型號SN14SN1直流輸入電壓允許范圍1803002132交流允許輸出功率4.00.4電池組件分組陣列容量電池組件連接方式5個一組串聯(lián)再并聯(lián)并聯(lián)電池輸入電壓

37、234.5526.7電池所需功率3.250.144由上表所示，西立面選擇型號為、的逆變器，其中，5個類型光伏電池串聯(lián)再與另外5個串聯(lián)的類型光伏電池并聯(lián)采用型號為的逆變器；12個并聯(lián)采用型號為的逆變器，可以使輸入電壓在允許范圍內并且滿足所需功率要求。根據上述設計方案可以求出北立面鋪設總成本，以及在35年壽命期內的發(fā)電總量、經濟效益、以及投資的回收年限。根據公式（1）可得出，西立面的鋪設總成本為67316.2元，MATLAB程序見附錄2。42 考慮架空方式安裝光伏電池421 解決問題2的思路對于架空方式安裝光伏電池組件對小屋外表面進行鋪設的問題，我們解決此問題的思路是：找出較優(yōu)的電池板的朝向與傾角

38、。首先，利用概率論與數理統(tǒng)計的知識確定電池板的傾角，通過統(tǒng)計每個傾角的值的頻數，確定較優(yōu)的電池板的傾角；然后，利用已確定的電池板傾角，確定電池板的朝向；最后，結合問題1給出合理的小屋外表面鋪設的方案。422 問題2模型的建立（1） 電池板傾角的確定1. 傾角求解思想：對于最優(yōu)傾角求解，利用數理統(tǒng)計方面的知識，對于多次求解得到的傾角值，統(tǒng)計每個傾角的值的頻數，其中頻數最大的即為所求。2. 傾角求解過程：1）利用第一問求解向南頂面時，計算任意傾斜平面的總輻射強度公式，計算當傾角從10增加到90的總輻射強度。2）以傾角作為自變量，其某天某時刻的總輻射強度作為因變量，可知得到8760個函數。3）對每一

39、個函數（剔除所有函數值全為0的函數）求其最大值，和其最大值對應的傾角值。4）統(tǒng)計傾角的頻數，頻數最大的即為所求的最優(yōu)傾角。 利用Matlab編程求解，MATLAB程序見附錄3，即可得到最優(yōu)傾角。（2） 電池板朝向偏角的確定首先，時角的計算公式為其中ts取14時；赤緯角計算公式近似為其中n 取夏季的日期序號，即182274；太陽高度角的計算公式為對于太陽方位角A有對于傾角，入射角，即太陽高度角，光線入射方向與電池板法線方向的夾角有如下關系式成立所以與電池板朝向的偏角關系如下而可知所以首先，方位角A的取值范圍在90 270之間，可以得到電池板朝向的偏角的取值范圍在 90之間。然后，計算一天中24個

40、時段的全年陽光總輻射強度，找出陽光總輻射強度較強的時段；最后，由于夏季的陽光總輻射強度普遍高于其他季節(jié)的陽光總輻射強度，所以電池板朝向的確定，優(yōu)先考慮夏季。由表12知，下午2時的陽光總輻射強度是最大的。所以電池板朝向的偏角的取值應為負，即向西偏。表12 該年一天24個時間段的陽光總輻射強度時間節(jié)點123456陽光總輻射強度00000116.6784時間節(jié)點789101112陽光總輻射強度7080.9131523.7276548.05130186.8177082.6204844.5時間節(jié)點131415161718陽光總輻射強度217513.8217908.8199010.5168290.1129

41、003.277700.21時間節(jié)點192021222324陽光總輻射強度34098.039993.8390.104737000進而利用公式求解出電池板朝向的偏角。利用Matlab編程求解，MATLAB程序見附錄4，即可得到電池板朝向的偏角為向西偏23.2275度。423 問題2求解結果1）朝南屋頂光伏電池的鋪設方案設計結果1. 光伏電池的鋪設方案，如圖19圖19 朝南屋頂光伏電池的鋪設方案設計圖朝南屋頂的鋪設優(yōu)先選擇轉換效率最高的類型的光伏電池板，對于剩余的面積，處理方法是將電池板架空，由上圖可以看出，朝南屋頂鋪設類型的光伏電池板共30塊。2. 朝南屋頂逆變器的選擇根據南立面中所提出的算法得出

42、各電池連接方式及逆變器選擇結果類型光伏電池的連接方式如圖20 圖20 類型光伏電池的連接方式如上圖所示，類型光伏電池的連接方式為20個類型光伏電池并聯(lián)，選擇型逆變器；剩下的10個類型光伏電池并聯(lián)，選擇類型為的逆變器。具體電池組件分組陣列容量及選配逆變器具體情況如表9表13 電池組件分組陣列容量及選配逆變器具體情況表逆變器序號65逆變器型號SN6SN5直流輸入電壓允許范圍42644264交流允許輸出功率42.4電池組件分組陣列容量電池組件連接方式并聯(lián)并聯(lián)電池輸入電壓46.9146.91電池所需功率42由上表所示，朝南屋頂選擇型號為、的逆變器，其中，20個類型光伏電池并聯(lián)采用型號為的逆變器；10個

43、并聯(lián)采用型號為的逆變器，可以使輸入電壓在允許范圍內并且滿足所需功率要求。2）南立面光伏電池的鋪設方案設計結果1. 光伏電池的鋪設方案，如圖21圖21 南立面光伏電池的鋪設方案設計圖南立面的鋪設優(yōu)先選擇轉換效率最高的類型的光伏電池板，由上圖可知，鋪設類型的光伏電池板共9塊。根據南立面中所提出的算法得出各電池連接方式及逆變器選擇結果類型光伏電池的連接方式如圖22圖22 類型光伏電池的連接方式如上圖所示，類型光伏電池的連接方式為3個類型光伏電池串聯(lián)再與另外2組并聯(lián)；選擇類型為的逆變器。具體電池組件分組陣列容量及選配逆變器具體情況如表14表14 電池組件分組陣列容量及選配逆變器具體情況表逆變器序號7逆

44、變器型號SN7直流輸入電壓允許范圍99150交流允許輸出功率2.4電池組件分組陣列容量電池組件連接方式3個一組串聯(lián)再并聯(lián)電池輸入電壓138.3電池所需功率0.18由上表所示，南立面選擇型號為的逆變器，3個類型光伏電池串聯(lián)再與另外2組并聯(lián)，可以使輸入電壓在允許范圍內并且滿足所需功率要求。根據上述設計方案可以求出北立面鋪設總成本，以及在35年壽命期內的發(fā)電總量、經濟效益、以及投資的回收年限。43 問題3：重新優(yōu)化設計小屋431 解決問題3的思路重新優(yōu)化設計一個小屋，使得設計的小屋滿足空間上的具體要求，即設計滿足要求的長、寬、高、房屋最大高度等，同時小屋滿足采光量的具體要求，即使得設計的窗戶可以使窗

45、地比、窗墻比滿足要求。我們解決此問題的思路是：首先，設未知量求出滿足要求的小屋的長、寬、高等，固定小屋的具體參數；然后，根據第一問的結論與鋪設方式，對新設計的小屋進行貼附安裝光伏電池，在具體建造過程中，綜合考慮房屋的傾角以及電池傾向，是房屋的方位盡量滿足最優(yōu)情況下建造，使得小屋的全年太陽能光伏發(fā)電總量盡可能大，而單位發(fā)電量的費用盡可能小。432 問題3模型的建立1）小屋具體參數確定的模型1. 決策變量：設計小屋的長：設計小屋的高：設計小屋的寬：設計小屋的最大的高度：設計小屋的各個方向的窗戶的面積2. 目標函數設總面積為，總面積為南立面面積與朝南側面的面積之和，即3. 整體模型2）電池板鋪設的設

46、計模型同第一問的模型433 問題3求解結果 對上述小屋具體參數確定的模型利用LINGO求解，得出結果為：，即設計的小屋長為15m，寬為3m，高為2.8m，最大高度為5.4m，東立面和南立面不設計窗戶，西立面窗戶面積為，北立面窗戶面積為。小屋的具體構造如圖圖22 小屋的具體構造圖根據第一問的結果，在小屋的南立面和朝南屋頂鋪設光伏電池小屋南面鋪設方案設計結果1. 南立面光伏電池的鋪設方案，如圖23圖23 南立面光伏電池的鋪設方案設計圖南立面的鋪設優(yōu)先選擇性價比最高的類型的光伏電池板，其次剩余面積應該選擇性價比最高的薄膜電池，剩余面積少，以至于不能鋪設等類型的電池板，所以在剩余面積的約束下，選擇能夠

47、鋪設的薄膜電池類型，在其中選擇性價比最優(yōu)的類型電池板，由上圖可以看出，朝南屋頂的鋪設選擇類型的光伏電池板共14塊；選擇類型的電池板共38塊。2. 小屋南立面逆變器的選擇根據第一問中所提出的算法得出各電池連接方式及逆變器選擇結果類型光伏電池的連接方式如圖24圖24 類型光伏電池的連接方式如上圖所示，類型光伏電池的連接方式為7個光伏電池并聯(lián)，這樣的并聯(lián)方式有2組，選擇類型為的逆變器。類型光伏電池的連接方式如圖25圖25 類型光伏電池的連接方式如上圖所示，類型光伏電池的連接方式為38個光伏電池并聯(lián)；選擇類型為的逆變器。具體電池組件分組陣列容量及選配逆變器具體情況如表15表15 電池組件分組陣列容量及

48、選配逆變器具體情況表逆變器序號42逆變器型號SN4SN2直流輸入電壓允許范圍42642132交流允許輸出功率1.60.8電池組件分組陣列容量電池組件連接方式7個一組并聯(lián)并聯(lián)電池輸入電壓46.9126.7電池所需功率2.2750.084由上表所示，小屋南立面選擇型號為、的逆變器，其中，14個類型光伏電池并聯(lián)采用型號為的逆變器；38個類型光伏電池并聯(lián)采用型號為的逆變器，可以使輸入電壓在允許范圍內并且滿足所需功率要求。根據上述設計方案，可以求出南立面鋪設總成本，以及在35年壽命期內的發(fā)電總量、經濟效益、以及投資的回收年限根據公式（1）可得出，南立面的鋪設總成本為62208.8元；根據公式（2）可得出

49、，南立面1年的35年的發(fā)電總量為，經濟效益為元，根據結果可知，其投資無法回收。小屋南面鋪設方案設計結果1. 朝南屋頂光伏電池的鋪設方案，如圖25圖25 朝南屋頂光伏電池的鋪設方案設計圖朝南屋頂的鋪設優(yōu)先選擇性價比最高的類型的光伏電池板，其次剩余面積應該選擇性價比最高的薄膜電池，剩余面積少，以至于不能鋪設等類型的電池板，所以在剩余面積的約束下，選擇能夠鋪設的薄膜電池類型，在其中選擇性價比最優(yōu)的類型電池板，由上圖可以看出，朝南屋頂的鋪設選擇類型的光伏電池板共21塊；選擇類型的電池板共42塊。2. 小屋朝南屋頂逆變器的選擇根據第一問中所提出的算法得出各電池連接方式及逆變器選擇結果類型光伏電池的連接方

50、式如圖26 圖26 類型光伏電池的連接方式如上圖所示，類型光伏電池的連接方式為4個光伏電池并聯(lián)，選擇類型為的逆變器；剩下的17個類型光伏電池并聯(lián)，選擇類型為的逆變器。類型光伏電池的連接方式如圖27圖27 類型光伏電池的連接方式如上圖所示，類型光伏電池的連接方式為42個光伏電池并聯(lián)；選擇類型為的逆變器。具體電池組件分組陣列容量及選配逆變器具體情況如表16表16 電池組件分組陣列容量及選配逆變器具體情況表逆變器序號62逆變器型號SN6SN2直流輸入電壓允許范圍42642132交流允許輸出功率40.8電池組件分組陣列容量電池組件連接方式7個并聯(lián)， 4個并聯(lián)42個并聯(lián)電池輸入電壓46.9126.7電池

51、所需功率2.2750.084由上表所示，小屋南立面選擇型號為、的逆變器，其中，14個類型光伏電池并聯(lián)采用型號為的逆變器；38個類型光伏電池并聯(lián)采用型號為的逆變器，可以使輸入電壓在允許范圍內并且滿足所需功率要求。根據上述設計方案，可以求出南立面鋪設總成本，以及在35年壽命期內的發(fā)電總量、經濟效益、以及投資的回收年限根據公式（1）可得出，南立面的鋪設總成本為62208.8元；根據公式（2）可得出，南立面1年的35年的發(fā)電總量為，經濟效益為元，根據結果可知，其投資無法回收。5模型結果的分析51 問題1：考慮貼附安裝方式511 問題1模型結果的分析根據朝南的頂面、朝北的頂面、東面、西面、南面、北面分別

52、的35年發(fā)電總量和35年的總經濟效益，顯然可以得到如下結論，雖然35年的總經濟效益大于0，但是東、西、南、北面的35年總經濟效益始終未負，若考慮鋪設使總發(fā)電量最大，費用最小，則可以不鋪設東、西、南、北面的光伏電池。同時，也應該考慮各面墻可鋪設面積（即墻體面積-墻體的窗戶面積-墻體的門面積）是否影響著其經濟效益，根據常識可知道一般南面采光比較好，但通過此題南面的結果，并不和實際一樣，但通過對比各墻面面積，可以得出南面墻可貼面積較小，故導致南面在輻射強度相對大時，仍然呈現負經濟效益?？紤]到第二問可以采用架空方式安裝，這樣可以使南面的經濟效益有所提高，故此處使用貼附安裝方式的墻面為朝南頂面和南面墻是

53、合理的。52 問題2：考慮架空安裝方式521 問題2模型結果的分析確定了電池板架空安裝方式與貼附安裝方式相比較，全年單位陽光總輻射量提高了544356w；經濟總收益提高了17380元。架空式安裝方式既考慮傾角又考慮朝向，使頂面在全年都可以接受到較強的輻射強度，從而發(fā)出更多的電量，同時南面也鋪設架空式的光伏電池，光伏電池具有傾角后使得接受更強的輻射強度，計算后架空安裝方式與貼附安裝方式使南面的經濟收益提高4.246元?？梢酝ㄟ^結合第一問和第二問的南面墻經濟效益的變化，可以得知南面墻的經濟效益受到光伏電池的總面積的影響，其鋪設的光伏電池總面積越大，則其經濟收益將隨之增加。52 問題3：設計合理的太

54、陽能小屋 521 問題3模型結果的分析建立優(yōu)化模型利用LINGO求解可知，小屋其南面不開窗，北面開二個窗子，西面開一個窗子，聯(lián)系第一、二問，南面接受輻射強度比東、西、北面都強，所以在設計小屋時，應盡量使南面墻保留就盡量大的面積，即不開窗。對比結果這點完全符合初步的推論，顯然結果有其合理性。同時，其傾角、朝向與第二問的傾角、朝向相同，因為第二問中的傾角與朝向，是光線在其方向的最優(yōu)傾角，則在建筑小屋時應遵從這兩個指標，故其模型有合理性。6模型的推廣與改進方向對于問題1，在算法設計中，我們僅考慮了每面墻鋪設2種光伏電池，但是電池種類繁多，可能用其它類型的電池會得出更好的結果。7模型的優(yōu)點1. 巧妙設

55、0-1變量，使得表達更清楚，模型形式更簡化；2. 模型考慮全面，幾乎能夠滿足題目的所有要求；3. 模型合理運用多目標的方法；4. 問題1中的模型具有很強的適用性，在問題2和問題3的解決過程中，都應用了問題1的模型。參考文獻1 姜啟源數學模型（第三版）M北京：高等教育出版社，19992 韓中庚數學建模方法及其應用（第二版）M北京：高等教育出版社，20093 吳永忠光伏電站太陽能電池陣列間距的計算J新能源及工藝，2010，01（39）附 錄附錄1 計算頂面的總輻射強度程序% 程序計算兩個頂面總輻射強度load abc; % a、b、c分別為附件四的第一列、第二列、第三列Q=atan(8900/64

56、00); % 面積較大的屋頂角度，即朝南的屋頂 %Q=atan(1200/700); % 計算面積較小的屋頂的角度時，此語句替換上個語句n=1:365;n=n;m=n*ones(1,24);m=m;m=m(:);x=zeros(8760,1);for i=1:8760 x(i)=23.45*sin(2*pi*(284+m(i)/365); % 經過構造計算出太陽赤緯endy=ones(1,24)*(-180);for k=1:24y(k)=y(k)+15*(k-1);endy=ones(365,1)*y;y=y;t=y(:); % 構造時角gaodujiao=asin(sin(pi*40.1/180).*sin(pi*x/180)+cos(pi*40.1/180).*cos(pi*x/180).*cos(pi*t/180);% 計算太陽高度角h=pi/2-Q-gaodujiao; % 斜面角度A1=c.*cos(h);A2=b.*cos(Q/2).*cos(Q/2);A3=0.2*a.*(1-cos(Q/2).*cos(Q/2);A=A1+A2+A3; % 頂面總輻射強度附錄2 計算每面墻各自35年的發(fā)電總量、經濟效益、及回收年限程序clc,clearload K; %為某墻面的總幅度，順序為頂面中朝南的，頂面中朝北的，東面，西面，南面，北面s1=1580*808/106