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2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點(diǎn)題型 課下層級(jí)訓(xùn)練31 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和(含解析)

上傳人:Sc****h 文檔編號(hào):116642918 上傳時(shí)間:2022-07-06 格式:DOC 頁(yè)數(shù):5 大?。?.32MB
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1、課下層級(jí)訓(xùn)練(三十一) 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 [A級(jí) 基礎(chǔ)強(qiáng)化訓(xùn)練] 1.(2019·山東棗莊月考)在等差數(shù)列{an}中,a1+a5=8,a4=7,則a5=(  ) A.11   B.10   C.7   D.3 【答案】B [由題意知,a1+a5=2a3=8,∴a3=4,∴d=a4-a3=3,∴a5=a4+d=7+3=10.] 2.(2019·濟(jì)南外國(guó)語(yǔ)學(xué)校月考)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且S6=39,則a3+a4=(  ) A.31 B.12 C.13 D.52 【答案】C [由等差數(shù)列{an}的性質(zhì)及其S6=39,可得=3(a3+ a4)=39,則a3+ a

2、4=13.] 3.(2019·山東日照模擬)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若3S3=S2+S4,a1=2,則a6=(  ) A.-12 B.-10 C.10 D.-13 【答案】D [設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,∵3S3=S2+S4, ∴3=2a1+d+4a1+d.解得d=-a1,∵a1=2,∴d=-3,∴a6=a1+5d=-13.] 4.(2019·山東淄博檢測(cè))已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+1=an+3,S5=10,則a7為(  ) A.14 B.12 C.15 D.22 【答案】A [設(shè)等差數(shù)列的公差為d,由題意數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+1=an+3,即d=an+1-a

3、n=3,又由S5=5a1+d=10,解得a1=-4,則a7=a1+6d=-4+6×3=14.] 5.(2019·山東菏澤檢測(cè))已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,且2a1+3a3=S6,給出以下結(jié)論: ①a10=0;②S10最小;③S7=S12;④S19=0. 其中一定正確的結(jié)論是(  ) A.①② B.①③④ C.①③ D.①②④ 【答案】B [設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則2a1+3a1+6d=6a1+15d,故a1+9d=0即a10=0,①正確;若a1>0,d<0,則S9=S10且它們?yōu)镾n的最大值,②錯(cuò)誤;S12-S7=a8+a9+a10+a11+a12=5a10=0,

4、故S7=S12,③正確;S19=19a10=0,故④正確.] 6.(2019·山東德州模擬)已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且Sn+1=Sn+an+3,a4+a5=23,則S8=(  ) A.72 B.88 C.92 D.98 【答案】C [∵Sn+1=Sn+an+3,∴Sn+1-Sn=an+3=an+1,∴an+1-an=3,∴{an}是公差為d=3的等差數(shù)列,又a4+a5=23,可得:2a1+7d=23,解得a1=1,∴S8=8a1+d=92.] 7.《九章算術(shù)》是我國(guó)第一部數(shù)學(xué)專(zhuān)著,下面有源自其中的一個(gè)問(wèn)題:“今有金箠(chuí),長(zhǎng)五尺,斬本一尺,重四斤,斬末一尺,重二斤,

5、問(wèn)金箠重幾何?”意思是:“現(xiàn)有一根金箠,長(zhǎng)5尺,一頭粗,一頭細(xì),在粗的一端截下1尺,重4斤;在細(xì)的一端截下1尺,重2斤;問(wèn)金箠重多少斤?”根據(jù)上面的已知條件,若金箠由粗到細(xì)的重量是均勻變化的,則答案是________. 【答案】15斤 [由題意可知金箠由粗到細(xì)各尺的重量成等差數(shù)列,且a1=4,a5=2,則S5==15,故金箠重15斤.] 8.設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-10(n∈N*),則|a1|+|a2|+…+|a15|=________. 【答案】130 [由an=2n-10(n∈N*)知{an}是以-8為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,又由an=2n-10≥0,得n≥5,∴當(dāng)n

6、≤5時(shí),an≤0,當(dāng)n>5時(shí),an>0,∴|a1|+|a2|+…+|a15|=-(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+…+a15)=20+110=130.] 9.(2019·山東濟(jì)南外國(guó)語(yǔ)學(xué)校期中)設(shè)等差數(shù)列{an}滿(mǎn)足a3=5,a10=-9. (1)求{an}的通項(xiàng)公式; (2)求{an}的前n項(xiàng)和Sn及使得Sn最大的序號(hào)n的值. 【答案】解 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d, 依題意有解得a1=9,d=-2,故an=-2n+11. (2)Sn==-n2+10n, 其開(kāi)口向下,對(duì)稱(chēng)軸為n=5,故當(dāng)n=5時(shí),Sn取得最大值. 10.已知等差數(shù)列{an}的公差d

7、>0. 設(shè){an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,S2·S3=36. (1)求d及Sn; (2)求m,k(m,k∈N*)的值,使得am+am+1+am+2+…+am+k=65. 【答案】解 (1)由題意知(2a1+d)(3a1+3d)=36, 將a1=1代入上式解得d=2或d=-5. 因?yàn)閐>0,所以d=2. 從而an=2n-1,Sn=n2(n∈N*). (2)由(1)得am+am+1+am+2+…+am+k =(2m+k-1)(k+1), 所以(2m+k-1)(k+1)=65. 由m,k∈N*知2m+k-1≥k+1>1, 故解得 即所求m的值為5,k的值為4. [B

8、級(jí) 能力提升訓(xùn)練] 11.(2019·山東淄博月考)已知等差數(shù)列{an},{bn}的前n項(xiàng)和分別為 =,則=(  ) A. B. C. D. 【答案】C [由題得=======.] 12.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若為常數(shù),則稱(chēng)數(shù)列{an}為“吉祥數(shù)列”.已知等差數(shù)列{bn}的首項(xiàng)為1,公差不為0,若數(shù)列{bn}為“吉祥數(shù)列”,則數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為(  ) A.bn=n-1 B.bn=2n-1 C.bn=n+1 D.bn=2n+1 【答案】B [設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d(d≠0),=k,因?yàn)閎1=1,則n+n(n-1)d=k,即2+(n-1)d=4k+2k(2n

9、-1)d,整理得(4k-1)dn+(2k-1)(2-d)=0. 因?yàn)閷?duì)任意的正整數(shù)n上式均成立,所以(4k-1)d=0,(2k-1)(2-d)=0,解得d=2,k=,所以數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=2n-1.] 13.(2019·山東濟(jì)南月考)《孫子算經(jīng)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著,書(shū)中有如下問(wèn)題:“今有五等諸侯,共分橘子六十顆,人別加三顆.問(wèn):五人各得幾何?”其意思為“有5個(gè)人分60個(gè)橘子,他們分得的橘子數(shù)成公差為3的等差數(shù)列,問(wèn)5人各得多少橘子.”這個(gè)問(wèn)題中,得到橘子最少的人所得的橘子個(gè)數(shù)是________. 【答案】6 [設(shè)等差數(shù)列{an},首項(xiàng)a1,公差為3,則S5=5a1+×3=6

10、0,解得a1=6,即得到橘子最少的人所得的橘子個(gè)數(shù)是6.] 14.設(shè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足:a1=1, a2=3, 且2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1,則a20的值是________. 【答案】 [∵2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1,∴數(shù)列{nan}是以a1=1為首項(xiàng),2a2-a1=5為公差的等差數(shù)列,∴20a20=1+5×19=96,解得a20==.] 15.(2018·廣東中山期末)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且S5=a5+a6=25. (1)求{an}的通項(xiàng)公式; (2)若不等式2Sn+8n+27>(-1)nk(an+4)對(duì)所有的正整數(shù)n都成立

11、,求實(shí)數(shù)k的取值范圍. 【答案】解 (1)設(shè)公差為d,則 5a1+d=a1+4d+a1+5d=25, ∴a1=-1,d=3.∴{an}的通項(xiàng)公式為an=3n-4. (2)Sn=-n+,2Sn+8n+27=3n2+3n+27, an+4=3n,則原不等式等價(jià)于(-1)nk<n+1+對(duì)所有的正整數(shù)n都成立. ∴當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),k>-; 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),k<n+1+恒成立. 又∵n+1+≥7,當(dāng)且僅當(dāng)n=3時(shí)取等號(hào), ∴當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),n+1+的最小值為7, 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),n=4時(shí),n+1+的最小值為, ∴不等式對(duì)所有的正整數(shù)n都成立,實(shí)數(shù)k的取值范圍是-7<k<. 16.已知數(shù)列

12、{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ為常數(shù). (1)證明:an+2-an=λ; (2)是否存在λ,使得{an}為等差數(shù)列?并說(shuō)明理由. 【答案】(1)證明 由題設(shè)知anan+1=λSn-1, an+1an+2=λSn+1-1, 兩式相減得an+1(an+2-an)=λan+1, 由于an+1≠0,所以an+2-an=λ. (2)解 由題設(shè)知a1=1,a1a2=λS1-1, 可得a2=λ-1. 由(1)知,a3=λ+1. 令2a2=a1+a3,解得λ=4. 故an+2-an=4,由此可得{a2n-1}是首項(xiàng)為1,公差為4的等差數(shù)列,a2n-1=4n-3; {a2n}是首項(xiàng)為3,公差為4的等差數(shù)列,a2n=4n-1.所以an=2n-1,an+1-an=2, 因此存在λ=4,使得數(shù)列{an}為等差數(shù)列. 5

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