《2020年高考數(shù)學一輪總復習 三角函數(shù)、三角形、平面向量 專題09 正弦定理與余弦定理的綜合應用 文（含解析）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020年高考數(shù)學一輪總復習 三角函數(shù)、三角形、平面向量 專題09 正弦定理與余弦定理的綜合應用 文（含解析）（15頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、專題09正弦定理與余弦定理的綜合應用 一、本專題要特別小心： 1.解三角形時的分類討論（銳角鈍角之分） 2. 邊角互化的選取 3. 正余弦定理的選取 4.三角形中的中線問題 5.三角形中的角平分性問題 6.多個三角形問題 二．【學習目標】 掌握正、余弦定理，能利用這兩個定理及面積計算公式解斜三角形，培養(yǎng)運算求解能力． 三．【方法總結(jié)】 1.利用正弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題： (1)已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角； (2)已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角(從而進一步求出其他的邊和角). 2.由正弦定理容易得到：在三角形中，大角對大邊，大邊對

2、大角；大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較大，即A＞B?a＞b?sin A＞sin B. 3.已知三角形兩邊及其一邊的對角解三角形時，利用正弦定理求解時，要注意判斷三角形解的情況(存在兩解、一解和無解三種可能).而解的情況確定的一般方法是“大邊對大角且三角形鈍角至多一個”. 4.利用余弦定理，可以解決以下三類有關(guān)三角形的問題： (1)已知三邊，求三個角； (2)已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其余角； (3)已知兩邊和其中一邊的對角，求其他邊和角. (4)由余弦值確定角的大小時，一定要依據(jù)角的范圍及函數(shù)值的正負確定. 四．【題型方法】 （一）三角形中角的范圍問題 例1. 在

3、中，，，則的最大值為　　 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】中，，，則，，其中 由于，所以，所以最大值為． 故選：A． 練習1. 在銳角三角形中，角的對邊分別為，若，則的最小值是_______． 【答案】 【解析】由正弦定理可得： 得： ，即 又 令，得： 為銳角三角形 得：，即 當且僅當，即時取等號 本題正確結(jié)果： 練習2.設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，其外接圓的直徑為1,，且角為鈍角. （1）求的值； （2）求的取值范圍． 【答案】(1). (2). 【解析】（1）三角形外接圓的直徑為1，由得

4、 ， 又因為鈍角，所以，所以，所以. （2）由（1）知，,所以 于是=， 因為，所以，，因此的取值范圍是 （二）正余弦定理與三角形面積綜合 例2. 在中，為的外心，若，其中.則點的軌跡所對應圖形的面積是__________． 【答案】 【解析】由余弦定理得，,所以.因此由題意知，點的軌跡對應圖形是邊長為的菱形,于是這個菱形的

5、面積是 故答案為： 練習1. 在中，內(nèi)角的對邊分別為，且，. （1）求； （2）點在邊上，且， ，求. 【答案】(1) .(2) . 【解析】（1）因為，所以， 即，整理得， 因為，所以，解得. （2）由題意得，， 因為，所以，即， 由余弦定理可知，即， 解得（舍去），即. 練習2. 如圖，在平面四邊形中，，，. （1）求對角線的長； （2）若四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，求面積的最大值. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）在中， ， 由正弦定理得， 即. （2）由已知得，，所以， 在中，由余弦定理可得， 則， 即， 所以， 當且僅

6、當時取等號. （三）三角形問題中的數(shù)形結(jié)合 例3.中，三內(nèi)角的對邊分別為，且滿足，，是以為直徑的圓上一點，則的最大值為_____． 【答案】 【解析】由，a=1，得，根據(jù)正弦定理sinB=sinAsin（C+）， ∴sin（A+C）=sinAsin（C+），可得cosAsinC=sinAsinC． ∵sinC≠0，∴cosA=sinA 即A=． 作△ABC的外接圓，當AD經(jīng)過△ABC的外接圓的圓心且垂直于BC時，AD最大． 設(shè)BC中點為O，此時OA=．那么：AD=OA+OD=． 故答案為： 練習1．已知平面上有四點O，A，B，C，向量滿足：，則△ABC的周長是(　　

7、) A．3 B．9 C．3 D．6 【答案】A 【解析】平面上有四點，滿足，是的重心， ，，即，同理可得：， 即是垂心，故是正三角形，， 設(shè)外接圓半徑為，則，即，即， 即，故周長，故選A. （四）判斷三角形的形狀 例4. 在中，，則一定是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】由正弦定理可知：，而已知，所以， 即，而，所以有或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形，故本題選D. 練習1. 中，，，則一定是 （ ） A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三

8、角形 【答案】D 【解析】中，， , 故得到，故得到角A等于角C，三角形為等邊三角形. 故答案為：D. 練習2.在中，角，，所對的邊的長分別為，，，若，則的形狀是（ ） A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．正三角形 【答案】C 【解析】由正弦定理得： 由余弦定理得： 為鈍角，則為鈍角三角形 本題正確選項： 練習3．在中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，，則的形狀一定是( ) A．直角三角形 B．等邊三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 化簡得 即 即 是直角三角形 故選A （五

9、）三角形中邊的范圍問題 例5. 已知中，角的對邊分別為． （1）若依次成等差數(shù)列，且公差為2，求的值； （2）若的外接圓面積為，求周長的最大值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）依次成等差數(shù)列，且公差為 ， ，由余弦定理得： 整理得：，解得：或 又，則 （2）設(shè)，外接圓的半徑為，則，解得： 由正弦定理可得： 可得：，， 的周長 又 當，即：時，取得最大值 練習1.．在中，分別是角的對邊，，且 （1）求角的大?。? （2）若，求的取值范圍 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由得： 由正弦定理得： 又

10、 （2）由余弦定理得： 整理可得： 又，當且僅當時取等號 又 練習2. 在中，角的對邊分別為，點為邊的中點，若，且滿足 （I）求； （II）若，求的周長的最大值． 【答案】（I）；（II） 【解析】（I）在和中，由余弦定理得： ； ，即 又 即： 又 （II）在中，由余弦定理可得： ，即： 又 當且僅當時取等號 的周長：，即周長的最大值為 練習3. 已知的三個內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若. （1）求角的大?。? （2）若，求的最大值.

11、【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）∵， ∴， ∴由正弦定理可得：， ∴由余弦定理可得：， ∵， ∴. （2）∵，，可得， ∴ ，其中. ∴的最大值為. （六）三角形應用題 例6. 如圖為一塊邊長為2km的等邊三角形地塊ABC，為響應國家號召，現(xiàn)對這塊地進行綠化改造，計劃從BC的中點D出發(fā)引出兩條成60°角的線段DE和DF，與AB和AC圍成四邊形區(qū)域AEDF，在該區(qū)域內(nèi)種上草坪，其余區(qū)域修建成停車場，設(shè)∠BDE＝． （1）當＝60°時，求綠化面積； （2）試求地塊的綠化面積的取值范圍． 【答案】（1）（2） 【解析】(1)當時，DE∥AC，DF∥AB，四

12、邊形是平行四邊形，和均為邊長為的等邊三角形，面積都是， 所以綠化面積為. （2）由題意知，，在中，， 由正弦定理是，所以， 在中，，， 由正弦定理得，所以， 所以 . 所以 ， 當，， ，所以. 答:地塊的綠化面積的取值范圍是. 練習1．如圖，在等腰梯形中，，，，，梯形的高為，是的中點，分別以 為圓心，，為半徑作兩條圓弧，交于兩點. （1）求的度數(shù)； （2）設(shè)圖中陰影部分為區(qū)域，求區(qū)域的面積. 【答案】（1）（2） 【解析】（1）設(shè)梯形的高為， 因為， 所以. 在中，由正弦定理，得，即， 解得. 又，且，所以. （2）由（1）得.在中，由余弦定理推論，得，即， 解得（舍去）. 因為， 所以. 練習2．如圖，，是海面上位于東西方向相海距里的兩個觀測點，現(xiàn)位于點北偏東，點北偏西的點有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于點南偏西且與點相距海里的點的救援船立即前往營救，其航行速度為24海里/小時． （Ⅰ）求的長； （Ⅱ）該救援船到達點所需的時間． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1小時. 【解析】（Ⅰ）由題意可知：在中，，，則 由正弦定理得： 由 代入上式得： （Ⅱ）在中，，， 由余弦定理得： 即該救援船到達點所需的時間小時 15