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2020版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第七單元 不等式與推理證明 課時3 簡單的線性規(guī)劃問題課后作業(yè) 文(含解析)新人教A版

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1、簡單的線性規(guī)劃問題 1.(2016·北京卷)已知A(2,5),B(4,1).若點(diǎn)P(x,y)在線段AB上,則2x-y的最大值為(C) A.-1 B.3 C.7 D.8   作出線段AB,如圖所示. 作直線2x-y=0并將其向下平移至直線過點(diǎn)B(4,1)時,2x-y取最大值,為2×4-1=7. 2.(2017·全國卷Ⅱ)設(shè)x,y滿足約束條件則z=2x+y 的最小值是(A) A.-15 B.-9 C.1 D.9   不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示. 將目標(biāo)函數(shù)z=2x+y化為y=-2x+z,作出直線y=-2x并平移,當(dāng)直線y=-2x+z經(jīng)過點(diǎn)A(-

2、6,-3)時,z取最小值,且zmin=2×(-6)-3=-15. 3.(2018·廣州一模)若x,y滿足約束條件 則z=x2+2x+y2的最小值為(D) A. B. C.- D.-   畫出可行域,如圖: (方法一)因?yàn)閦=x2+2x+y2=(x+1)2+y2-1, 所以z表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)(-1,0)的距離的平方減去1. 所以zmin=()2-1=-. (方法二)z=x2+2x+y2變形為(x+1)2+y2=1+z. 故目標(biāo)函數(shù)可看作是以點(diǎn)(-1,0)為圓心,為半徑的圓. 當(dāng)圓與區(qū)域的邊界相切時,取最小值. 所以d=≤,所以1+z≥,從而z≥-. 所以

3、zmin=-. 4.某加工廠用某原料由甲車間加工出A產(chǎn)品,由乙車間加工出B產(chǎn)品.甲車間加工一箱原料需耗費(fèi)工時10小時可加工出7千克A產(chǎn)品,每千克A產(chǎn)品獲利40元,乙車間加工一箱原料需耗費(fèi)工時6小時可加工出4千克B產(chǎn)品,每千克B產(chǎn)品獲利50元.甲、乙兩車間每天共能完成至多70箱原料的加工,每天甲、乙兩車間耗費(fèi)工時總和不得超過480小時,甲、乙兩車間每天總獲利最大的生產(chǎn)計(jì)劃為(B) A.甲車間加工原料10箱,乙車間加工原料60箱 B.甲車間加工原料15箱,乙車間加工原料55箱 C.甲車間加工原料18箱,乙車間加工原料50箱 D.甲車間加工原料40箱,乙車間加工原料30箱   設(shè)甲車間加

4、工x箱原料,乙車間加工y箱原料,甲、乙兩車間每天總獲利為z元. 依題意,得z=7×40x+4×50y=280x+200y,畫出可行域如圖陰影部分, 聯(lián)立解得 知z在A點(diǎn)處取得最大值,故選B. 5.(2018·全國卷Ⅱ)若x,y滿足約束條件則z=x+y的最大值為 9 .   由不等式組畫出可行域,如圖(陰影部分). 目標(biāo)函數(shù)z=x+y取得最大值斜率為-1的平行直線x+y=z(z看作常數(shù))的截距最大, 由圖可得直線x+y=z過點(diǎn)C時z取得最大值. 由得點(diǎn)C(5,4),所以zmax=5+4=9. 6.若實(shí)數(shù)x,y滿足則 (1)的取值范圍為 [2,+∞)??; (2)x2

5、+y2的取值范圍為 (1,5] .   作出可行域,其可行域是頂點(diǎn)分別為A(0,1),B(1,2),C(0,2)的三角形及其內(nèi)部(但不包括AC邊). (1)因?yàn)楸硎究尚杏騼?nèi)的點(diǎn)(x,y)與(0,0)連線的斜率,可知其取值范圍為[2,+∞). (2)因?yàn)閤2+y2表示可行域內(nèi)的點(diǎn)(x,y)到(0,0)的距離的平方,可知其取值范圍為(1,5]. 7.給定區(qū)域D:令點(diǎn)集T={(x0,y0)∈D|x0,y0∈Z,(x0,y0)是z=x+y在D上取得最大值或最小值的點(diǎn)},問T中的點(diǎn)共確定多少條不同的直線?   畫出不等式組所表示的平面區(qū)域(如下圖所示). 令z=0,得直線l:x+y=

6、0,平移直線l,由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過整點(diǎn)A(0,1)時,z取最小值,當(dāng)直線經(jīng)過整點(diǎn)B(0,4),C(1,3),D(2,2),E(3,1),F(xiàn)(4,0)時,z取最大值. 所以T={(0,1),(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)}, 所以T中的點(diǎn)可確定的直線有AB,AC,AD,AE,AF,BF共6條不同的直線. 8.(2016·浙江卷)若平面區(qū)域夾在兩條斜率為1的平行直線之間,則這兩條平行直線間的距離的最小值是(B) A. B. C. D.   根據(jù)約束條件作出可行域如圖陰影部分, 當(dāng)斜率為1的直線分別過A點(diǎn)和B點(diǎn)時滿足條件, 聯(lián)立方程組求得A(

7、1,2), 聯(lián)立方程組求得B(2,1), 可求得分別過A,B點(diǎn)且斜率為1的兩條直線方程為x-y+1=0和x-y-1=0, 由兩平行線間的距離公式得距離為=,故選B. 9.(2018·深圳二模)已知a<0,實(shí)數(shù)x,y滿足若z=x+2y的最大值為5,則a= -2 .   畫出可行域(如圖). 由z=x+2y,得y=-+. 平移y=-經(jīng)過A(-1,1-a)時,z取最大值, 所以zmax=-1+2-2a=5,所以a=-2. 10.(2017·天津卷)電視臺播放甲、乙兩套連續(xù)劇,每次播放連續(xù)劇時,需要播放廣告.已知每次播放甲、乙兩套連續(xù)劇時,連續(xù)劇播放時長、廣告播放時長、收視人次如

8、下表所示: 連續(xù)劇播放時長(分鐘) 廣告播放時長(分鐘) 收視人次(萬) 甲 70 5 60 乙 60 5 25 已知電視臺每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時間不多于600分鐘,廣告的總播放時間不少于30分鐘,且甲連續(xù)劇播放的次數(shù)不多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2倍.分別用x,y表示每周計(jì)劃播出的甲、乙兩套連續(xù)劇的次數(shù). (1)用x,y列出滿足題目條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式,并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域; (2)問電視臺每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇各多少次,才能使總收視人次最多?   (1)由已知,x,y滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為 即 該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)閳D①中的陰影部分中的整數(shù)點(diǎn). ① ② (2)設(shè)總收視人次為z萬,則目標(biāo)函數(shù)為z=60x+25y. 考慮z=60x+25y,將它變形為y=-x+,這是斜率為-,隨z變化的一組平行直線.為直線在y軸上的截距,當(dāng)取得最大值時,z的值就最大. 又因?yàn)閤,y滿足約束條件,所以由圖②可知,當(dāng)直線z=60x+25y經(jīng)過可行域上的點(diǎn)M時,截距最大,即z最大. 解方程組得則點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6,3). 所以,電視臺每周播出甲連續(xù)劇6次、乙連續(xù)劇3次時,才能使總收視人次最多. 6

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