《2020屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第九單元 解析幾何 第63講 橢圓練習(xí) 理(含解析)新人教A版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2020屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第九單元 解析幾何 第63講 橢圓練習(xí) 理(含解析)新人教A版(7頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第63講 橢 圓
1.已知橢圓+=1的左、右焦點分別為F1、F2,M是橢圓上的一點,N是MF1的中點,若|ON|=1,則|MF1|的長等于(C)
A.2 B.4
C.6 D.5
因為|ON|=1,所以|MF2|=2,
又|MF1|+|MF2|=8,
所以|MF1|=6.選C.
2.(2017·江蘇五校聯(lián)考)一個橢圓中心在原點,焦點F1,F(xiàn)2在x軸上,P(2,)是橢圓上一點,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差數(shù)列,則橢圓方程為(A)
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1(a>b>0).
由點(2,)在橢圓上知+=
2、1.
又|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差數(shù)列,
則|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,
即2a=2·2c,即=,
又c2=a2-b2,聯(lián)立解得a2=8,b2=6.
3.(2017·全國卷Ⅲ)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右頂點分別為A1,A2,且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx-ay+2ab=0相切,則C的離心率為(A)
A. B.
C. D.
由題意知以A1A2為直徑的圓的圓心為(0,0),半徑為a.
又直線bx-ay+2ab=0與圓相切,
所以圓心到直線的距離d==a,解得a=b,
所以=,
所以e=== ==.
4.(2018·江西
3、第一次診斷)設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓+=1的左、右焦點,P為橢圓上任一點,點M的坐標(biāo)為(6,4),則|PM|+|PF1|的最大值為(B)
A.20 B.15
C.10 D.5
因為P在橢圓上,
所以|PF1|+|PF2|=2a=10,
所以|PM|+|PF1|=|PM|+10-|PF2|=10+|PM|-|PF2|≤10+|MF2|=10+5=15,
當(dāng)P在MF2的延長線上時取等號.
5.(2019·廣州市二模)已知中心在坐標(biāo)原點的橢圓C的右焦點為F(1,0),點F關(guān)于直線y=x的對稱點在橢圓C上,則橢圓C的方程為?。? .
設(shè)橢圓的方程為+=1(a>b>0),
因
4、為c=1,則a2=b2+c2=b2+1,
所以橢圓方程為+=1.
設(shè)F(1,0)關(guān)于直線l:y=x的對稱點為M(x1,y1),
則解得即M(,).
又M在橢圓上,所以+=1,解得b2=,
則a2=,所以橢圓的方程為+=1.
6.(2018·株洲醴陵第三次月考)橢圓+=1的左、右焦點分別為F1、F2,點P為橢圓上的動點,當(dāng)∠F1PF2為鈍角時,點P的橫坐標(biāo)的取值范圍為 (-,) .
由題意知F1(-,0),F(xiàn)2(,0),
設(shè)P(x0,y0),
則1=(--x0,-y0),2=(-x0,-y0),
所以1·2=x-5+y<0.①
又+=1,②
由①②得x<,所以-
5、.
則點P的橫坐標(biāo)x0的取值范圍為(-,).
7.已知F1、F2是橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點,A是橢圓上位于第一象限的一點,若·=0,橢圓的離心率為,△AOF2的面積為2,求橢圓的方程.
因為·=0,所以AF2⊥x軸.
設(shè)點A的坐標(biāo)為(c,y)(y>0),
將(c,y)代入+=1得y=,
所以S△AOF2=·c·=2,
又e==,所以b2=2,所以b2=8.
由=,設(shè)c=k,a=2k(k>0),則4k2=8+2k2,
所以k=2,所以a=4,b2=8,
所以橢圓方程為+=1.
8.(2018·鄭州三模)已知P為橢圓+=1上一個動點,過點P作圓(
6、x+1)2+y2=1的兩條切線,切點分別是A,B,則·的取值范圍為(C)
A.[,+∞) B.[,]
C.[2-3,] D.[2-3,+∞)
(方法1)直接法(選擇|PF|=t作為自變量建立函數(shù))
設(shè)|PF|=t,則1≤|PF|≤3.
所以|PA|=|PB|==,
設(shè)∠FPA=α,則sin α==,
所以cos 2α=1-2sin2α=1-,
所以·=(t2-1)·cos 2α=(t2-1)·(1-)
=t2+-3.
令g(t)=t2+-3,t∈[1,3].
所以g(t)≥2-3=2-3.
當(dāng)且僅當(dāng)t2=,即t=∈[1,3]時取“=”.
又當(dāng)t=1時,g(1)=
7、0,t=3時,g(3)=,所以g(t)max=.
所以g(t)的取值范圍為[2-3,].
即·的取值范圍為[2-3,].
(方法2)直接法(選擇∠FPA作為自變量建立函數(shù))
設(shè)∠FPA=α,則與的夾角為2α,
|PA|=|PB|=,
所以·=||||cos 2α
=·cos 2α=·cos 2α,
設(shè)cos 2α=t,則
g(t)=·==(1-t)+-3≥2-3.
當(dāng)P為橢圓的右頂點時,sin α=,所以cos 2α=,
所以·的最大值為×=.
所以·的取值范圍為[2-3,].
(方法3)特例法(選取兩個特殊位置處理)
當(dāng)P為右頂點時,|PA|=|PB|=,
8、設(shè)∠FPA=α,則sin α=,cos 2α=1-2sin2α=,
此時·=××=,排除A,D.
當(dāng)P為左頂點時,此時·=0,排除B,選C.
(方法4)排除法(定性排除),
因為P在橢圓上運動,所以·有范圍,由此排除A,D,
當(dāng)P在橢圓上所引兩切線的夾角為鈍角時,·為負(fù),故排除B,選C.
9.(2018·長沙模擬)已知過橢圓+=1(a>b>0)的左頂點A(-a,0)作直線l交y軸于點P,交橢圓于點Q,若△AOP是等腰三角形,且=2,則橢圓的離心率為____.
因為△AOP是等腰三角形,A(-a,0),所以P(0,a),
設(shè)Q(x0,y0),因為=2,
所以(x0,y0-
9、a)=2(-a-x0,-y0),
所以解得
代入橢圓方程化簡,得=,
所以e==.
10.已知橢圓C:+=1(a>)的離心率為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若P是橢圓C上任意一點,Q為圓E:x2+(y-2)2=1上任意一點,求PQ的最大值.
(1)由題設(shè)知e=,
所以e2=====,解得a2=6.
所以橢圓C的方程為+=1.
(2)圓E:x2+(y-2)2=1的圓心為E(0,2),點Q在圓E上,
所以PQ≤EP+EQ=EP+1(當(dāng)且僅當(dāng)直線PQ過點E時取等號).
設(shè)P(x0,y0)是橢圓C上的任意一點,
則+=1,即x=6-3y.
所以EP2=x+(y0-2)2=-2(y0+1)2+12.
因為y0∈[-,],所以當(dāng)y0=-1時,EP2取得最大值12,即PQ≤2+1.
所以PQ的最大值為2+1.
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