《2020版高考數學大二輪復習 專題一 平面向量、三角函數與解三角形 第三講 三角恒等變換與解三角形限時規(guī)范訓練 理》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《2020版高考數學大二輪復習 專題一 平面向量、三角函數與解三角形 第三講 三角恒等變換與解三角形限時規(guī)范訓練 理(7頁珍藏版)》請在裝配圖網上搜索。
1、第三講 三角恒等變換與解三角形
1.(2019·河北保定一模)已知cos=sin,則tan α的值為( )
A.-1 B.1
C. D.-
解析:由已知得cos α-sin α=sin α-cos α,整理得sin α=cos α,即sin α=cos α,故tan α=1.
答案:B
2.(2019·福州質檢)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若2bcos C-2ccos B=a,且B=2C,則△ABC的形狀是( )
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等邊三角形
解析:∵2bcos C-2ccos B=a,∴2sin Bco
2、s C-2sin Ccos B=sin A=sin (B+C),即sin Bcos C=3cos Bsin C,∴tan B=3tan C,又B=2C,∴=3tan C,得tan C=,C=,B=2C=,A=,故△ABC為直角三角形.
答案:B
3.已知3cos 2α=4sin,α∈,則sin 2α=( )
A. B.-
C. D.-
解析:由題意知3(cos2α-sin2α)=2(cos α-sin α),由于α∈,因而cos α≠sin α,則3(cos α+sin α)=2,那么9(1+sin 2α)=8,sin 2α=-.
答案:D
4.(2019·臨沂一模)在△ABC
3、中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,a=3,c=2,bsin A=acos,則b=( )
A.1 B.
C. D.
解析:在△ABC中,由正弦定理得:=,得bsin A=asin B,
又bsin A=acos.
∴asin B=acos,即sin B=cos=cos Bcos -sin Bsin =cos B-sin B,
∴tan B=,
又B∈(0,π),
∴B=.
∵在△ABC中,a=3,c=2,
由余弦定理得b===.
故選C.
答案:C
5.(2019·湖北模擬)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a=2,c=3,tan B=2ta
4、n A,則△ABC的面積為( )
A.2 B.3
C.3 D.4
解析:∵tan B=2tan A,可得:=,可得:2sin Acos B=cos Asin B,
∴sin C=sin Acos B+cos Asin B=3sin Acos B,
∴由正弦定理可得:c=3acos B,
∵a=2,c=3,
∴cos B=,
∴由B∈(0,π),可得:B=,
∴S△ABC=acsin B=×2×3×sin=3.
故選B.
答案:B
6.(2019·河南豫北豫南名校精英聯賽)已知cos=,則cos x+cos =( )
A. B.
C. D.
解析:cos x+c
5、os =cos+cos=2coscos=,故選D.
答案:D
7.(2019·吉林梅河口五中月考)若tan(α+80°)=4sin 420°,則tan(α+20°)的值為( )
A.- B.
C. D.
解析:由tan(α+80°)=4sin 420°=4sin 60°=2,得tan(α+20°)=tan[(α+80°)-60°]===.故選D.
答案:D
8.(2019·蕪湖校級二模)已知△ABC的三個內角,A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若2cos Bsin Asin C=sin2B,則( )
A.a,b,c成等差數列
B.,,成等比數列
C.a2,b2,c2成
6、等差數列
D.a2,b2,c2成等比數列
解析:由題意知,2cos Bsin Asin C=sin2B,
根據正弦、余弦定理得,2··a·c=b2,
化簡可得,a2+c2-b2=b2,即a2+c2=2b2,
所以a2、b2、c2成等差數列,
故選C.
答案:C
9.(2019·中山市校級模擬)已知△ABC中,角A、B、C的對邊分別是a、b、c,若+=2c,則△ABC是( )
A.等邊三角形 B.銳角三角形
C.等腰直角三角形 D.鈍角三角形
解析:∵+=2c,
∴由正弦定理可得:+=2sin C,而+≥2=2,
當且僅當sin A=sin B時取等號.
∴2sin
7、 C≥2,即sin C≥1,又sin C≤1,故可得:sin C=1,∴∠C=90°.
又∵sin A=sin B,可得A=B,
故三角形為等腰直角三角形.
故選C.
答案:C
10.(2019·江西臨川第二中學月考)已知cos=,則sin的值為( )
A. B.-
C. D.-
解析:sin=sin
=cos=cos
=2cos2-1=2×2-1=-.故選B.
答案:B
11.(2019·懷化一模)△ABC的面積為S,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若2S=(a+b)2-c2,則tan C的值是( )
A. B.-
C. D.-
解析:∵S△ABC=ab
8、sin C,由余弦定理:c2=a2+b2-2abcos C,
∴由2S=(a+b)2-c2,可得:absin C=(a+b)2-(a2+b2-2abcos C),
整理得sin C-2cos C=2,
∴(sin C-2cos C)2=4,
∴=4,
∴3tan2C+4tan C=0,
∵C∈(0°,180°),∴tan C=-.
故選B.
答案:B
12.(2019·河南模擬)已知△ABC的三邊長分別為a,b,c,面積為S,且a2+b2-c2=4S,c=1,則b-a的最大值為( )
A. B.2
C.3 D.
解析:∵△ABC中,S=absin C,cos C=,且
9、a2+b2-c2=4S,
∴2abcos C=4××absin C,解得:tan C=,
∵C∈(0,π),
∴C=,
∵c=1,
∴===2,可得:a=2sin A,b=2sin B=2sin,
∴b-a=2sin B-2sin A=2sin-2sin A=2-2sin A
=cos A+sin A=2sin≤2.
可得b-a的最大值為2.
故選B.
答案:B
13.(2019·廣東廣州一模)已知sin 10°+mcos 10°=2cos 140°,則m=________.
解析:由sin 10°+mcos 10°=2cos 140°可得,
m==
===-.
10、答案:-
14.(2019·茂名一模)《九章算術》中記載了一個“折竹抵地”問題,今年超強臺風“山竹”登陸時再現了這一現象(如圖所示),不少大樹被大風折斷某路邊樹干被臺風吹斷后(沒有完全斷開),樹干與地面成75°角,折斷部分與地面成45°角,樹干底部與樹尖著地處相距10米,則大樹原來的高度是________米(結果保留根號).
解析:設樹根部為O,折斷處為A,樹梢為B,則∠AOB=75°,∠ABO=45°,所以∠OAB=60°.OB=10.
由正弦定理知,==,
所以OA=(米),AB=(米),
∴OA+AB=5+5(米).
答案:5+5
15.(2019·高考全國卷Ⅱ)△ABC的
11、內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若b=6,a=2c,B=,則△ABC的面積為________.
解析:由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B.
又∵b=6,a=2c,B=,
∴36=4c2+c2-2×2c2×,
∴c=2,a=4,
∴S△ABC=acsin B=×4×2×=6.
答案:6
16.(2019·瀘州模擬)已知銳角△ABC的外接圓的半徑為1,A=,則△ABC的面積的取值范圍為________.
解析:∵銳角△ABC的外接圓的半徑為1,A=,
∴由正弦定理可得:===2,可得:b=2sin B,c=2sin ,
∴S△ABC=bcsin A
=×2sin B×2sin×
=sin B(cos B+sin B)
=sin+,
∵B,C為銳角,可得: