8、＋4－＝8.
答案 (1)π (2)8
規(guī)律方法 運用微積分基本定理求定積分時要注意以下幾點：
(1)對被積函數(shù)要先化簡，再求積分；
(2)若被積函數(shù)為分段函數(shù)的定積分，依據(jù)定積分“對區(qū)間的可加性”，先分段積分再求和；
(3)對于含有絕對值符號的被積函數(shù)，要先去掉絕對值符號再求積分.
【訓練1】 (1)設f(x)＝則f(x)dx等于( )
A. B. C. D.不存在
(2)定積分(x2＋sin x)dx＝________.
解析 (1)如圖，
f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx＝x3＋＝＋＝.
(2)(x2＋sin x)dx＝x2dx＋sin xdx＝2
9、x2dx＝2·＝.
答案 (1)C (2)
考點二 定積分的幾何意義 多維探究
角度1 利用定積分的幾何意義計算定積分
【例2－1】 (1)計算：(2x＋)dx＝________.
(2)若 dx＝，則m＝________.
解析 (1)由定積分的幾何意義知， dx表示以原點為圓心，以1為半徑的圓的面積的，所以 dx＝，又2xdx＝x2＝1，所以(2x＋)dx＝＋1.
(2)根據(jù)定積分的幾何意義 dx表示圓(x＋1)2＋y2＝1和直線x＝－2，x＝m和y＝0圍成的圖形的面積，又 dx＝為四分之一圓的面積，結(jié)合圖形知m＝－1.
答案 (1)＋1 (2)－1
角度2 利用定積分計
10、算平面圖形的面積
【例2－2】 (一題多解)由拋物線y2＝2x與直線y＝x－4圍成的平面圖形的面積為________.
解析 如圖所示，解方程組得兩交點為(2，－2)，(8，4).
法一 選取橫坐標x為積分變量，則圖中陰影部分的面積S可看作兩部分面積之和，即S＝2dx＋(－x＋4)dx＝18.
法二 選取縱坐標y為積分變量，則圖中陰影部分的面積S＝dy＝18.
答案 18
規(guī)律方法 1.運用定積分的幾何意義求定積分，當被積函數(shù)的原函數(shù)不易找到時常用此方法求定積分.
2.利用定積分求曲邊梯形面積的基本步驟：畫草圖、解方程得積分上、下限，把面積表示為已知函數(shù)的定積分(注意：兩曲線
11、的上、下位置關(guān)系，分段表示的面積之間的關(guān)系).
【訓練2】 (1)計算： dx＝________.
(2)已知曲線y＝x2與直線y＝kx(k>0)所圍成的曲邊圖形的面積為，則k＝________.
解析 (1)由定積分的幾何意義知， dx表示圓(x－1)2＋y2＝4和x＝1，x＝3，y＝0圍成的圖形的面積，∴ dx＝×π×4＝π.
(2)由得或則曲線y＝x2與直線y＝kx(k>0)所圍成的曲邊梯形的面積為(kx－x2)dx＝＝－k3＝，則k3＝8，∴k＝2.
答案 (1)π (2)2
考點三 定積分在物理中的應用
【例3】 (1)物體A以v＝3t2＋1(m/s)的速度在一直線l上
12、運動，物體B在直線l上，且在物體A的正前方5 m處，同時以v＝10t(m/s)的速度與A同向運動，出發(fā)后，物體A追上物體B所用的時間t(s)為( )
A.3 B.4 C.5 D.6
(2)設變力F(x)作用在質(zhì)點M上，使M沿x軸正向從x＝1運動到x＝10，已知F(x)＝x2＋1且方向和x軸正向相同，則變力F(x)對質(zhì)點M所做的功為________ J(x的單位：m，力的單位：N).
解析 (1)因為物體A在t秒內(nèi)行駛的路程為(3t2＋1)dt，物體B在t秒內(nèi)行駛的路程為10tdt.
所以(3t2＋1－10t)dt＝(t3＋t－5t2)＝t3＋t－5t2＝5.
整理得(t
13、－5)(t2＋1)＝0，解得t＝5.
(2)變力F(x)＝x2＋1使質(zhì)點M沿x軸正向從x＝1運動到x＝10所做的功為
W＝F(x)dx＝(x2＋1)dx＝＝342(J).
答案 (1)C (2)342
規(guī)律方法 定積分在物理中的兩個應用
(1)變速直線運動的位移：如果變速直線運動物體的速度為v＝v(t)，那么從時刻t＝a到t＝b所經(jīng)過的位移s＝v(t)dt.
(2)變力做功：一物體在變力F(x)的作用下，沿著與F(x)相同方向從x＝a移動到x＝b時，力F(x)所做的功是W＝F(x)dx.
【訓練3】 一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車，以速度v(t)＝7－3t＋(t
14、的單位：s，v的單位：m/s)行駛至停止.在此期間汽車繼續(xù)行駛的距離(單位：m)是( )
A.1＋25ln 5 B.8＋25ln
C.4＋25ln 5 D.4＋50ln 2
解析 令v(t)＝0，得t＝4或t＝－(舍去)，
∴汽車行駛距離s＝dt
＝
＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5(m).
答案 C
[思維升華]
1.定積分是一個數(shù)值(極限值)，它的值僅僅取決于被積函數(shù)與積分的上、下限，而與積分變量用什么字母表示無關(guān).
2.f(x)dx、|f(x)|dx與|f(x)dx|在幾何意義上有不同的含義，由于被積函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上可正
15、可負，也就是它的圖象可以在x軸上方、也可以在x軸下方、還可以在x軸的上下兩側(cè)，所以f(x)dx表示由x軸、函數(shù)f(x)的曲線及直線x＝a，x＝b(a≠b)之間各部分面積的代數(shù)和；而|f(x)|是非負的，所以|f(x)|dx表示在區(qū)間[a，b]上所有以|f(x)|為曲邊的正曲邊梯形的面積；而|f(x)dx|則是f(x)dx的絕對值，三者的值一般情況下是不相同的.
[易錯防范]
1.若定積分的被積函數(shù)是分段函數(shù)，應分段積分然后求和.
2.若積分式子中有幾個不同的參數(shù)，則必須先分清誰是被積變量.
3.定積分的幾何意義是曲邊梯形的面積，但要注意：面積非負，而定積分的結(jié)果可以為負.
基礎鞏
16、固題組
(建議用時：35分鐘)
一、選擇題
1.(2019·西安調(diào)研)定積分(2x＋ex)dx的值為( )
A.e＋2 B.e＋1
C.e D.e－1
解析 (2x＋ex)dx＝(x2＋ex))＝1＋e1－1＝e.
答案 C
2.已知dx＝，則m的值為( )
A. B. C.－ D.－1
解析 由微積分基本定理得dx＝(ln x－mx))＝m＋1－me，結(jié)合題意得m＋1－me＝，解得m＝.
答案 B
3.(2019·鄭州模擬)汽車以v＝(3t＋2) m/s做變速運動時，在第1 s至第2 s之間的1 s內(nèi)經(jīng)過的路程是( )
A. m B
17、.6 m C. m D.7 m
解析 s＝(3t＋2)dt＝＝×4＋4－＝10－＝(m).
答案 A
4.sin2dx等于( )
A.0 B.－
C.－ D.－1
解析 sin2dx＝dx＝＝－.
答案 B
5.定積分|x－1|dx等于( )
A.1 B.－1 C.0 D.2
解析 |x－1|dx＝|x－1|dx＋|x－1|dx
＝(1－x)dx＋(x－1)dx
＝＋
＝＋－＝1.
答案 A
6.如圖，指數(shù)函數(shù)的圖象過點E(2，9)，則圖中陰影部分的面積等于( )
A. B.8 C. D.9
解析 設指
18、數(shù)函數(shù)為y＝ax(a>0且a≠1)，因為其過點E(2，9)，所以a2＝9，解得a＝3，所以圖中陰影部分的面積S＝3xdx＝＝.
答案 A
7.若f(x)＝f[f(1)]＝1，則a的值為( )
A.1 B.2 C.－1 D.－2
解析 因為f(1)＝lg 1＝0，f(0)＝3t2dt＝t3＝a3，所以由f[f(1)]＝1，得a3＝1，a＝1.
答案 A
8.由y＝x2，y＝，y＝1所圍成的圖形的面積為( )
A. B. C.2 D.1
解析 如圖所示，陰影部分的面積為
S＝2
＝2
＝2＝.
答案 A
二、填空題
9.已知f(x)為偶函
19、數(shù)且f(x)dx＝8，則f(x)dx＝________.
解析 原式＝f(x)dx＋f(x)dx，
因為原函數(shù)為偶函數(shù)，所以在y軸兩側(cè)的圖象對稱，所以對應面積相等，即8×2＝16.
答案 16
10.如圖所示，函數(shù)y＝－x2＋2x＋1與y＝1相交形成一個閉合圖形(圖中的陰影部分)，則該閉合圖形的面積是________.
解析 由
解得x1＝0，x2＝2.
∴S＝(－x2＋2x＋1－1)dx＝(－x2＋2x)dx
＝＝－＋4＝.
答案
11.(2019·濟南模擬)設a>0，若曲線y＝與直線x＝a，y＝0所圍成封閉圖形的面積為a2，則a＝________.
解析 封閉圖
20、形如圖所示，則dx＝x＝a－0＝a2，解得a＝.
答案
12.(2019·廣州調(diào)研)設f(x)＝則f(x)dx的值為________.
解析 f(x)dx＝dx＋(x2－1)dx
＝π×12＋＝＋.
答案?。?
能力提升題組
(建議用時：15分鐘)
13.(一題多解)若S1＝x2dx，S2＝dx，S3＝exdx，則S1，S2，S3的大小關(guān)系為( )
A.S1
21、.59，
所以S2
22、為________ J.
解析 由題意知，力F(x)所做的功為
W＝F(x)dx＝5dx＋(3x＋4)dx
＝5×2＋
＝10＋＝36(J).
答案 36
16.(2019·長春模擬)在平面直角坐標系xOy中，將直線y＝x與直線x＝1及x軸所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個圓錐，圓錐的體積V圓錐＝πx2dx＝x3＝.據(jù)此類比：將曲線y＝2 ln x與直線y＝1及x軸、y軸所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個旋轉(zhuǎn)體，該旋轉(zhuǎn)體的體積V＝________.
解析 類比已知結(jié)論，將曲線y＝2ln x與直線y＝1及x軸、y軸所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到旋轉(zhuǎn)體的體積應為一定積分，被積函數(shù)為π(e)2＝πey，積分變量為y，積分區(qū)間為[0，1]，即V＝πeydy＝πey＝π(e－1).
答案 π(e－1)
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2020版高考數(shù)學新設計大一輪復習 第三章 導數(shù)及其表示 第3節(jié) 定積分與微積分基本定理習題 理（含解析）新人教A版
