《2020版高考數(shù)學(xué)新設(shè)計(jì)大一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 第3節(jié) 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式習(xí)題 理（含解析）新人教A版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)新設(shè)計(jì)大一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 第3節(jié) 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式習(xí)題 理（含解析）新人教A版（16頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第3節(jié)　兩角和與差的正弦、余弦和正切公式 最新考綱　1.會(huì)用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式；2.能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式；3.能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式，導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系；4.能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換(包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但對(duì)這三組公式不要求記憶). 知 識(shí) 梳 理 1.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β. cos(α?β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β. tan(α±β)

2、＝. 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin__αcos__α. cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. tan 2α＝. 3.函數(shù)f(α)＝asin α＋bcos α(a，b為常數(shù))，可以化為f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝·cos(α－φ). [微點(diǎn)提醒] 1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β). 2.cos2α＝，sin2α＝. 3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝sin. 基 礎(chǔ) 自

3、 測(cè) 1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”) (1)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.(　　) (2)存在實(shí)數(shù)α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.(　　) (3)公式tan(α＋β)＝可以變形為tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－ tan αtan β)，且對(duì)任意角α，β都成立.(　　) (4)存在實(shí)數(shù)α，使tan 2α＝2tan α.(　　) 解析　(3)變形可以，但不是對(duì)任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠＋kπ(k∈Z). 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2.(必修4P127T2改編)若co

4、s α＝－，α是第三象限的角，則sin等于(　　) A.－ B. C.－ D. 解析　∵α是第三象限的角， ∴sin α＝－＝－， ∴sin＝－×＋×＝－. 答案　C 3.(必修4P146A4(2)改編)tan 20°＋tan 40°＋tan 20°·tan 40°＝________. 解析　∵tan 60°＝tan(20°＋40°)＝， ∴tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°) ＝－tan 20°tan 40°， ∴原式＝－tan 20°tan 40°＋tan 20°tan 40°＝. 答案　 4.(2018

5、·全國Ⅲ卷)若sin α＝，則cos 2α＝(　　) A. B. C.－ D.－ 解析　因?yàn)閟in α＝，cos 2α＝1－2sin2α， 所以cos 2α＝1－2×＝1－＝. 答案　B 5.(2019·南昌一模)已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(sin 47°，cos 47°)，則sin(α－13°)＝(　　) A. B. C.－ D.－ 解析　由三角函數(shù)定義，sin α＝cos 47°，cos α＝sin 47°， 則sin(α－13°)＝sin αcos 13°－cos αsin 13° ＝cos 47°cos 13°－sin 47°sin 13° ＝cos

6、(47°＋13°)＝cos 60°＝. 答案　A 6.(2018·全國Ⅱ卷)已知tan＝，則tan α＝____________. 解析　tan＝＝＝， 解得tan α＝. 答案　 考點(diǎn)一　三角函數(shù)式的化簡(jiǎn) 【例1】 (1)化簡(jiǎn)：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝________. (2)化簡(jiǎn)：(0<α<π)＝________. 解析　(1)sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ) ＝sin(α＋β)cos (β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ) ＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ).

7、 (2)原式＝ ＝＝. 因?yàn)?<α<π，所以0<<，所以cos>0，所以原式＝cos α. 答案　(1)sin(α＋γ)　(2)cos α 規(guī)律方法　1.三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看”原則：一看角之間的差別與聯(lián)系，把角進(jìn)行合理的拆分，正確使用公式；二看函數(shù)名稱之間的差異，確定使用的公式，常見的有“切化弦”；三看結(jié)構(gòu)特征，找到變形的方向，常見的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升冪”等. 2.化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的常見方法有弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪與升冪等. 【訓(xùn)練1】 (1)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝(　　) A.sin(α＋2β)

8、 B.sin α C.cos(α＋2β) D.cos α (2)化簡(jiǎn)：＝________. 解析　(1)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝cos[(α＋β)－β]＝cos α. (2)原式＝ ＝＝ ＝＝cos 2α. 答案　(1)D　(2)cos 2α 考點(diǎn)二　三角函數(shù)式的求值　多維探究 角度1　給角(值)求值 【例2－1】 (1)計(jì)算：＝________. 解析?。剑剑剑? 答案　 (2)(2018·江蘇卷)已知α，β為銳角，tan α＝，cos(α＋β)＝－. ①求cos 2α的值； ②求tan(α－β)的值. 解　①因?yàn)閠an

9、α＝，tan α＝， 所以sin α＝cos α. 因?yàn)閟in2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝， 因此，cos 2α＝2cos2α－1＝－. ②因?yàn)棣粒聻殇J角，所以α＋β∈(0，π). 又因?yàn)閏os(α＋β)＝－， 所以sin(α＋β)＝＝， 因此tan(α＋β)＝－2. 因?yàn)閠an α＝，所以tan 2α＝＝－， 因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－. 角度2　給值求角 【例2－2】 (1)(2019·河南六市聯(lián)考)已知cos α＝，cos(α－β)＝，若0<β<α<，則β＝________. (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β

10、)＝，tan β＝－，則2α－β的值為________. 解析　(1)由cos α＝，0<α<， 得sin α＝＝＝. 由0<β<α<，得0<α－β<，又cos(α－β)＝， ∴sin(α－β)＝＝＝. 由β＝α－(α－β)得cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝. ∵β∈，∴β＝. (2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝>0， 又α∈(0，π)，∴0<α<， 又∵tan 2α＝＝＝>0， ∴0<2α<， ∴tan(2α－β)＝＝＝1. ∵tan β＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，

11、 ∴2α－β＝－. 答案　(1)　(2)－ 規(guī)律方法　1.“給角求值”、“給值求值”問題求解的關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系，借助角之間的聯(lián)系尋找轉(zhuǎn)化方法. 2.“給值求角”：實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，最后確定角.遵照以下原則：(1)已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；(2)已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)；若角的范圍是，選正、余弦皆可；若角的范圍是(0，π)，選余弦較好；若角的范圍為，選正弦較好. 【訓(xùn)練2】 (1)(2019·合肥模擬)tan 70°·cos 10°(tan 20°－1)等于(　　) A.1 B.2 C.－1

12、 D.－2 (2)已知α，β為銳角，cos α＝，且sin(α＋β)＝，則角β＝________. (3)若＝·sin 2θ，則sin 2θ＝(　　) A. B. C.－ D.－ 解析　(1)tan 70°·cos 10°(tan 20°－1) ＝·cos 10° ＝· ＝＝＝－1. (2)∵α為銳角，且cos α＝， ∴sin α＝＝. ∵α，β∈，∴0<α＋β<π. 又∵sin(α＋β)， ∴cos(α＋β)＝－. cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－×＋×＝＝.

13、 ∴β＝. (3)由題意知＝sin 2θ， ∴2(cos θ＋sin θ)＝sin 2θ，則4(1＋sin 2θ)＝3sin22θ， 因此sin 2θ＝－或sin 2θ＝2(舍). 答案　(1)C　(2)　(3)C 考點(diǎn)三　三角恒等變換的簡(jiǎn)單應(yīng)用 【例3】 (2019·鄭州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2sin ωxcos ωx＋λ的圖象關(guān)于直線x＝π對(duì)稱，其中ω，λ為常數(shù)，且ω∈. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期； (2)若y＝f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最值. 解　(1)f(x)＝sin2ωx＋2sin ωx·cos ωx－cos2

14、ωx＋λ ＝sin 2ωx－cos 2ωx＋λ ＝2sin＋λ. 因?yàn)閳D象關(guān)于直線x＝π對(duì)稱， 所以2πω－＝＋kπ(k∈Z)， 所以ω＝＋(k∈Z)，又ω∈， 令k＝1時(shí)，ω＝符合要求， 所以函數(shù)f(x)的最小正周期為＝. (2)因?yàn)閒＝0， 所以2sin＋λ＝0，則λ＝－. 所以f(x)＝2sin－. 由0≤x≤π，知－≤x－≤π， ∴當(dāng)x－＝－，即x＝0時(shí)，f(x)取最小值－1－. 當(dāng)x－＝，即x＝π時(shí)，f(x)取最大值2－. 規(guī)律方法　1.進(jìn)行三角恒等變換要抓?。鹤兘?、變函數(shù)名稱、變結(jié)構(gòu)，尤其是角之間的關(guān)系；注意公式的逆用和變形使用. 2.把形如y＝asi

15、n x＋bcos x化為y＝sin(x＋φ)，可進(jìn)一步研究函數(shù)的周期、單調(diào)性、最值與對(duì)稱性. 【訓(xùn)練3】 (2017·北京卷)已知函數(shù)f(x)＝cos－2sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求證：當(dāng)x∈時(shí)，f(x)≥－. (1)解　f(x)＝cos－2sin xcos x ＝cos 2x＋sin 2x－sin 2x ＝sin 2x＋cos 2x＝sin， 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)證明　由(1)知f(x)＝sin . ∵x∈，∴2x＋∈， ∴當(dāng)2x＋＝－，即x＝－時(shí)，f(x)取得最小值－. ∴f(x)≥－成立. [思維升華]

16、 1.重視三角函數(shù)的“三變”：“三變”是指“變角、變名、變式”. (1)變角：對(duì)角的分拆要盡可能化成同角、特殊角；(2)變名：盡可能減少函數(shù)名稱；(3)變式：對(duì)式子變形一般要盡可能有理化、整式化、降低次數(shù)等. 2.在解決求值、化簡(jiǎn)、證明問題時(shí)，一般是觀察角、函數(shù)名、所求(或所證明)問題的整體形式中的差異，再選擇適當(dāng)?shù)娜枪胶愕茸冃? [易錯(cuò)防范] 1.運(yùn)用公式時(shí)要注意審查公式成立的條件，要注意和、差、倍角的相對(duì)性，要注意升冪、降冪的靈活運(yùn)用，要注意“1”的各種變通. 2.在(0，π)范圍內(nèi)，sin α＝所對(duì)應(yīng)的角α不是唯一的. 3.在三角求值時(shí)，往往要借助角的范圍確定三角函數(shù)值

17、的符號(hào)或所求角的三角函數(shù)的名稱. 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí)：40分鐘) 一、選擇題 1.(2016·全國Ⅲ卷)若tan θ＝－，則cos 2θ＝(　　) A.－ B.－ C. D. 解析　cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝＝＝. 答案　D 2.(2019·廣東省際名校聯(lián)考)若cos＝，則cos＝(　　) A. B.－ C. D.－ 解析　∵cos＝， ∴cos＝sin＝sin＝， ∴cos＝1－2sin2＝－. 答案　D 3.＝(　　) A. B. C. D.1 解析?。? ＝＝＝. 答案　A 4.(2019·信陽

18、一模)函數(shù)f(x)＝3sin cos ＋4cos2(x∈R)的最大值等于(　　) A.5 B. C. D.2 解析　由題意知f(x)＝sin x＋4× ＝sin x＋2cos x＋2 ＝sin(x＋φ)＋2， 又因?yàn)閤∈R，所以f(x)的最大值為. 答案　B 5.(2019·濟(jì)南模擬)若sin＝，A∈，則sin A的值為(　　) A. B. C.或 D. 解析　∵A∈，∴A＋∈， ∴cos<0， 且cos＝－＝－， ∴sin A＝sin ＝sincos －cossin ＝. 答案　B 二、填空題 6.(2017·江蘇卷)若tan＝，則ta

19、n α＝________. 解析　tan α＝tan＝ ＝＝. 答案　 7.化簡(jiǎn)：＝________. 解析　＝ ＝＝2sin α. 答案　2sin α 8.(2017·全國Ⅰ卷)已知α∈，tan α＝2，則cos＝________. 解析　由tan α＝2得sin α＝2 cos α， 又sin 2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝. 因?yàn)棣痢?，所以cos α＝，sin α＝. 因?yàn)閏os＝cos αcos ＋sin αsin ， 所以cos＝×＋×＝. 答案　 三、解答題 9.(2018·浙江卷)已知角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它的

20、終邊過點(diǎn)P. (1)求sin(α＋π)的值； (2)若角β滿足sin(α＋β)＝，求cos β的值. 解　(1)由角α的終邊過點(diǎn)P， 得sin α＝－， 所以sin(α＋π)＝－sin α＝. (2)由角α的終邊過點(diǎn)P，得cos α＝－， 由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝±. 由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以cos β＝－或cos β＝. 10.已知函數(shù)f(x)＝(2cos2x－1)·sin 2x＋cos 4x. (1)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間； (2)若α∈(0，π)，且f＝，求ta

21、n的值. 解　(1)f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x ＝cos 2xsin 2x＋cos 4x ＝(sin 4x＋cos 4x)＝sin， ∴f(x)的最小正周期T＝. 令2kπ＋≤4x＋≤2kπ＋π(k∈Z)， 得＋≤x≤＋(k∈Z). ∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(k∈Z). (2)∵f＝，即sin＝1. 因?yàn)棣痢?0，π)，－<α－<， 所以α－＝，故α＝. 因此tan＝＝＝2－. 能力提升題組 (建議用時(shí)：20分鐘) 11.(2019·江西八所重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)若點(diǎn)(θ，0)是函數(shù)f(x)＝sin x＋2cos x圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，則co

22、s 2θ＋sin θcosθ＝(　　) A. B.－ C.1 D.－1 解析　∵點(diǎn)(θ，0)是函數(shù)f(x)＝sin x＋2cos x圖象的一個(gè)對(duì)稱中心， ∴sin θ＋2cos θ＝0，即tan θ＝－2. ∴cos 2θ＋sin θcos θ＝ ＝＝＝－1. 答案　D 12.(一題多解)(2019·河北百校聯(lián)盟聯(lián)考)已知θ是第四象限角，且sin＝，則tan＝(　　) A. B.－ C.－ D. 解析　法一　∵sin＝×(sin θ＋cos θ)＝， ∴sin θ＋cos θ＝，① ∴2sin θcos θ＝－. ∵θ是第四象限角，∴sin θ<

23、0，cos θ>0， ∴sin θ－cos θ＝－＝－，② 由①②得sin θ＝－，cos θ＝，∴tan θ＝－， ∴tan＝＝－. 法二　∵＋＝， ∴sin＝cos＝， 又2kπ－<θ<2kπ(k∈Z)， ∴2kπ－<θ＋<2kπ＋(k∈Z)， ∴cos＝，∴sin＝， ∴tan＝＝， ∴tan＝－tan＝－. 答案　B 13.(一題多解)設(shè)cos α＝－，tan β＝，π<α<，0<β<，則α－β＝________. 解析　法一　由cos α＝－，π<α<， 得sin α＝－，tan α＝2，又tan β＝， 于是tan(α－β)＝＝＝1. 又由π<α<，

24、0<β<可得－<－β<0，<α－β<，因此，α－β＝. 法二　由cos α＝－，π<α<得sin α＝－. 由tan β＝，0<β<得sin β＝，cos β＝. 所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝ －＝－. 又由π<α<，0<β<，得 －<－β<0，<α－β<，因此，α－β＝. 答案　 14.已知函數(shù)f(x)＝·cos(x＋θ)為奇函數(shù)，且f＝0，其中a∈R，θ∈(0，π). (1)求a，θ的值； (2)若α∈，f＋coscos 2α＝0，求cos α－sin α的值. 解　(1)因?yàn)閒(x)＝cos(x＋θ)是奇函數(shù)， 所以cos(x

25、＋θ)＝－cos， 化簡(jiǎn)、整理得，cos xcos θ＝0，則有cos θ＝0， 由θ∈(0，π)，得θ＝， 所以f(x)＝－sin x·. 由f＝0，得－(a＋1)＝0，即a＝－1. (2)由(1)知f(x)＝－sin 2x， f＋coscos 2α＝0?sin＝coscos 2α， 因?yàn)閏os 2α＝sin＝sin ＝2sincos， 所以sin＝cos2sin. 又α∈， 所以sin＝0或cos2＝. 由sin＝0?α＝， 所以cos α－sin α＝cos －sin ＝－； 由cos2＝，<α＋<， 得cos＝－?(cos α－sin α)＝－?cos α－sin α＝－. 綜上，cos α－sin α＝－或cos α－sin α＝－. 16