《2020版高考數(shù)學新設(shè)計大一輪復習 第四章 三角函數(shù)、解三角形 第2節(jié) 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式與誘導公式習題 理（含解析）新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學新設(shè)計大一輪復習 第四章 三角函數(shù)、解三角形 第2節(jié) 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式與誘導公式習題 理（含解析）新人教A版（12頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第2節(jié)　同角三角函數(shù)基本關(guān)系式與誘導公式 最新考綱　1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α；2.能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導出±α，π±α的正弦、余弦、正切的誘導公式. 知 識 梳 理 1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 (1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商數(shù)關(guān)系：＝tan__α. 2.三角函數(shù)的誘導公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin__α －sin__α sin__α cos__α cos__α

2、余弦 cos α －cos__α cos__α －cos__α sin__α －sin__α 正切 tan α tan__α －tan__α －tan__α 口訣 函數(shù)名不變，符號看象限 函數(shù)名改變，符號看象限 [微點提醒] 1.同角三角函數(shù)關(guān)系式的常用變形 (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α. 2.誘導公式的記憶口訣 “奇變偶不變，符號看象限”，其中的奇、偶是指的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱的變化. 3.在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時，若開方，要特別注意判斷符號. 基 礎(chǔ) 自

3、測 1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”) (1)sin(π＋α)＝－sin α成立的條件是α為銳角.(　　) (2)六組誘導公式中的角α可以是任意角.(　　) (3)若α∈R，則tan α＝恒成立.(　　) (4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，則sin α＝.(　　) 解析　(1)中對于任意α∈R，恒有sin(π＋α)＝－sin α. (3)中當α的終邊落在y軸上，商數(shù)關(guān)系不成立. (4)當k為奇數(shù)時，sin α＝， 當k為偶數(shù)時，sin α＝－. 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2.(必修4P21A12改編)已知tan α＝－3，則

4、cos2α－sin2α＝(　　) A. B.－ C. D.－ 解析　由同角三角函數(shù)關(guān)系得cos2α－sin2α＝＝＝＝－. 答案　B 3.(必修4P29B2改編)已知α為銳角，且sin α＝，則cos (π＋α)＝(　　) A.－ B. C.－ D. 解析　因為α為銳角，所以cos α＝＝， 故cos(π＋α)＝－cos α＝－. 答案　A 4.(2017·全國Ⅲ卷)已知sin α－cos α＝，則sin 2α＝(　　) A.－ B.－ C. D. 解析　∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α，

5、 ∴sin 2α＝1－＝－. 答案　A 5.(2019·濟南質(zhì)檢)若sin α＝－，且α為第四象限角，則tan α＝(　　) A. B.－ C. D.－ 解析　∵sin α＝－，α為第四象限角， ∴cos α＝＝，因此tan α＝＝－. 答案　D 6.(2018·成都月考)化簡：＝________. 解析　原式＝＝＝1. 答案　1 考點一　同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應用 【例1】 (1)(2018·蘭州測試)已知sin αcos α＝，且<α<，則cos α－sin α＝(　　) A.－ B. C.－ D. (2)(2019·平頂山聯(lián)考)已

6、知＝5，則cos2α＋sin 2α＝(　　) A. B.－ C.－3 D.3 解析　(1)∵<α<， ∴cos α<0，sin α<0且cos α>sin α， ∴cos α－sin α>0. 又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝， ∴cos α－sin α＝. (2)由＝5得＝5，可得tan α＝2， 則cos2α＋sin 2α＝cos2α＋sin αcos α＝＝＝. 答案　(1)B　(2)A 規(guī)律方法　1.利用sin2α＋cos2α＝1可以實現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以實現(xiàn)角α的弦切互化. 2.應用公式

7、時注意方程思想的應用：對于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α這三個式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二. 3.注意公式逆用及變形應用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. 【訓練1】 (1)若3sin α＋cos α＝0，則的值為(　　) A. B. C. D.－2 (2)(2018·全國Ⅱ卷)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，則sin(α＋β)＝________. 解析　(1)3sin α＋cos α＝0?cos α≠0

8、?tan α＝－，＝＝ ＝＝. (2)由sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0， 兩式平方相加，得2＋2sin αcos β＋2cos αsin β＝1， 整理得sin(α＋β)＝－. 答案　(1)A　(2)－ 考點二　誘導公式的應用 【例2】 (1)(2019·衡水中學調(diào)研)若cos＝，則cos(π－2α)＝(　　) A. B. C.－ D.－ (2)設(shè)f(α)＝(1＋2sin α≠0)，則f＝________. 解析　(1)由cos＝，得sin α＝. ∴cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin2α)＝2sin2α－1＝2×－1

9、＝－. (2)∵f(α)＝ ＝＝＝， ∴f＝＝＝. 答案　(1)D　(2) 規(guī)律方法　1.誘導公式的兩個應用 (1)求值：負化正，大化小，化到銳角為終了. (2)化簡：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了. 2.含2π整數(shù)倍的誘導公式的應用 由終邊相同的角的關(guān)系可知，在計算含有2π的整數(shù)倍的三角函數(shù)式中可直接將2π的整數(shù)倍去掉后再進行運算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α. 【訓練2】 (1)(2017·北京卷)在平面直角坐標系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對稱.若sin α＝，則sin β＝________. (2)已知cos＝a，

10、則cos＋sin的值是________. 解析　(1)α與β的終邊關(guān)于y軸對稱，則α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，∴β＝π－α＋2kπ，k∈Z. ∴sin β＝sin(π－α＋2kπ)＝sin α＝. (2)∵cos＝cos＝－cos ＝－a， sin＝sin＝a， ∴cos＋sin＝－a＋a＝0. 答案　(1)　(2)0 考點三　同角三角函數(shù)基本關(guān)系式與誘導公式的活用 【例3】 (1)(2019·菏澤聯(lián)考)已知α∈，sin＝，則tan(π＋2α)＝(　　) A. B.± C.± D. (2)(2018·福州調(diào)研)已知α為銳角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝

11、0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，則sin α＝(　　) A. B. C. D. 解析　(1)∵α∈，sin＝， ∴cos α＝，sin α＝－，tan α＝＝－2. ∴tan(π＋2α)＝tan 2α＝＝＝. (2)由已知得 消去sin β，得tan α＝3， ∴sin α＝3cos α，代入sin2α＋cos2α＝1， 化簡得sin2α＝，則sin α＝(α為銳角). 答案　(1)A　(2)C (3)已知－π

12、＝， 兩邊平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2 x＝， 整理得2sin xcos x＝－. ∵(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝， 由－π0，∴sin x－cos x<0， 故sin x－cos x＝－. ②＝ ＝ ＝＝－. 規(guī)律方法　1.利用同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導公式求值或化簡時，關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系，靈活使用公式進行變形. 2.(1)注意角的范圍對三角函數(shù)值符號的影響，開方時先判斷三角函數(shù)值的符號； (2)熟記一些常見互補的角、互余的角，如

13、－α與＋α互余等. 【訓練3】 (1)(2019·湖北七州市聯(lián)考)已知α∈(0，π)，且cos α＝－，則sin·tan α＝(　　) A.－ B.－ C. D. (2)(2016·全國Ⅰ卷)已知θ是第四象限角，且sin＝，則tan＝________. 解析　(1)∵α∈(0，π)，且cos α＝－，∴sin α＝， 因此sin·tan α＝cos α·＝sin α＝. (2)由題意，得cos＝，∴tan＝. ∴tan＝tan＝－＝－. 答案　(1)C　(2)－ [思維升華] 1.同角三角函數(shù)基本關(guān)系可用于統(tǒng)一函數(shù)；誘導公式主要用于統(tǒng)一角，其主要作用是進行三

14、角函數(shù)的求值、化簡和證明. 2.三角函數(shù)求值、化簡的常用方法：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x＝進行切化弦或弦化切，如，asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x等類型可進行弦化切. (2)和積轉(zhuǎn)換法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的關(guān)系進行變形、轉(zhuǎn)化. (3)巧用“1”的變換：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ(1＋)＝tan 等. [易錯防范] 1.利用誘導公式進行化簡求值時，可利用公式化任意角的三角函數(shù)為銳角三角函數(shù)，其步驟：去負—脫周—化銳. 特別注意函數(shù)名稱和符號的確定. 2.注意求值與化

15、簡后的結(jié)果一般要盡可能有理化、整式化. 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時：30分鐘) 一、選擇題 1.sin 600°的值為(　　) A.－ B.－ C. D. 解析　sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240° ＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－. 答案　B 2.(2019·衡水模擬)已知直線2x－y－1＝0的傾斜角為α，則sin 2α－2cos2α＝(　　) A. B.－ C.－ D.－ 解析　由題意知tan α＝2， ∴sin 2α－2cos2α＝＝＝. 答案　A 3.＝(　　) A.sin 2－cos

16、 2 B.sin 2＋cos 2 C.±(sin 2－cos 2) D.cos 2－sin 2 解析　＝ ＝＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2. 答案　A 4.已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|<，則θ等于(　　) A.－ B.－ C. D. 解析　∵sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)， ∴－sin θ＝－cos θ， ∴tan θ＝，∵|θ|＜，∴θ＝. 答案　D 5.已知sin＝，則cos＝(　　) A. B. C.－ D.－ 解析　因為sin＝，所以cos＝sin＝sin＝. 答案　

17、B 6.向量a＝，b＝(cos α，1)，且a∥b，則cos＝(　　) A.－ B. C.－ D.－ 解析　∵a＝，b＝(cos α，1)，且a∥b， ∴×1－tan αcos α＝0，∴sin α＝， ∴cos＝－sin α＝－. 答案　A 7.已知函數(shù)f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，則f(2 020)的值為(　　) A.－1 B.1 C.3 D.－3 解析　∵f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)＝asin α＋bcos β＝3， ∴f(2 020)＝asin(2 020π＋α)＋bcos(2

18、020π＋β)＝asin α＋bcos β＝3. 答案　C 二、填空題 8.已知sin α＝－，且α為第三象限的角，則tan α＝______. 解析　∵sin α＝－，且α為第三象限的角， ∴cos α＝－＝－，∴tan α＝＝. 答案　 9.已知tan＝，則tan＝________. 解析　∵＋＝π， ∴tan＝tan＝－tan＝－. 答案?。? 10.已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，則sin θ－cos θ的值為________. 解析　∵sin θ＋cos θ＝，∴sin θcos θ＝. 又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，

19、又∵θ∈，∴sin θ－cos θ＝－. 答案?。? 11.已知tan θ＝3，則cos＝________. 解析　∵tan θ＝3，∴cos＝sin 2θ＝＝＝＝. 答案　 12.(2019·邯鄲一模)若sin(α＋β)＝3sin(π－α＋β)，且α，β∈，則＝________. 解析　由條件，得sin(α＋β)＝3sin(α－β)， ∴sin αcos β＝2cos αsin β，則tan α＝2tan β， 因此＝2. 答案　2 能力提升題組 (建議用時：20分鐘) 13.若sin θ，cos θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的兩根，則m的值為(　　) A.1＋

20、 B.1－ C.1± D.－1－ 解析　由題意知sin θ＋cos θ＝－，sin θ·cos θ＝. 又＝1＋2sin θcos θ， ∴＝1＋，解得m＝1±. 又Δ＝4m2－16m≥0，∴m≤0或m≥4，∴m＝1－. 答案　B 14.已知sincos＝，且0<α<，則sin α＝________，cos α＝________. 解析　sincos＝－cos α·(－sin α)＝sin αcos α＝. ∵0<α<，∴0

21、____. 解析　當k＝2n(n∈Z)時， 原式＝ ＝＝＝－1； 當k＝2n＋1(n∈Z)時， 原式＝ ＝＝＝－1. 綜上，原式＝－1. 答案?。? 16.是否存在α∈，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝cos， cos(－α)＝－cos(π＋β)同時成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，請說明理由. 解　假設(shè)存在角α，β滿足條件， 則由已知條件可得 由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2. ∴sin2α＝，∴sin α＝±. ∵α∈，∴α＝±. 當α＝時，由②式知cos β＝， 又β∈(0，π)，∴β＝，此時①式成立； 當α＝－時，由②式知cos β＝， 又β∈(0，π)，∴β＝，此時①式不成立，故舍去. ∴存在α＝，β＝滿足條件. 12