《2020版高考數(shù)學(xué)新設(shè)計(jì)大一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 第6節(jié) 正弦定理和余弦定理習(xí)題 理（含解析）新人教A版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)新設(shè)計(jì)大一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 第6節(jié) 正弦定理和余弦定理習(xí)題 理（含解析）新人教A版（15頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第6節(jié)　正弦定理和余弦定理 最新考綱　掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題. 知 識 梳 理 1.正、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos__A；b2＝c2＋a2－2cacos__B； c2＝a2＋b2－2abcos__C 常見 變形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__

2、C； (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝； cos B＝； cos C＝ 2.S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計(jì)算R，r. 3.在△ABC中，已知a，b和A時(shí)，解的情況如下： A為銳角 A為鈍角或直角 圖形 關(guān)系式 a＝bsin A bsin Ab a≤b 解的個(gè)數(shù) 一解 兩解 一解 一解 無解 [微點(diǎn)提醒] 1.三角形中的三角函數(shù)關(guān)系 (1)sin(A

3、＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C； (3)sin＝cos；(4)cos＝sin. 2.三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. 3.在△ABC中，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，A>B?a>b?sin A> sin B?cos Asin B，則A>B.(　　) (3)在△ABC的六

4、個(gè)元素中，已知任意三個(gè)元素可求其他元素.(　　) (4)當(dāng)b2＋c2－a2>0時(shí)，△ABC為銳角三角形；當(dāng)b2＋c2－a2＝0時(shí)，△ABC為直角三角形；當(dāng)b2＋c2－a2<0時(shí)，△ABC為鈍角三角形.(　　) 解析　(1)三角形中三邊之比等于相應(yīng)的三個(gè)內(nèi)角的正弦值之比. (3)已知三角時(shí)，不可求三邊. (4)當(dāng)b2＋c2－a2>0時(shí)，三角形ABC不一定為銳角三角形. 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2.(必修5P10A4改編)在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，則∠BAC＝(　　) A. B. C. D. 解析　在△ABC中，設(shè)AB＝c＝5

5、，AC＝b＝3，BC＝a＝7，由余弦定理得cos∠BAC＝＝＝－， 由A∈(0，π)，得A＝，即∠BAC＝. 答案　C 3.(必修5P10B2改編)在△ABC中，acos A＝bcos B，則這個(gè)三角形的形狀為________. 解析　由正弦定理，得sin Acos A＝sin Bcos B， 即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B， 即A＝B或A＋B＝， 所以這個(gè)三角形為等腰三角形或直角三角形. 答案　等腰三角形或直角三角形 4.(2018·沈陽質(zhì)檢)已知△ABC中，A＝，B＝，a＝1，則b等于(　　) A.2 B.1 C. D.

6、解析　由正弦定理＝，得＝， ∴＝，∴b＝. 答案　D 5.(2018·全國Ⅱ卷)在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，則AB＝(　　) A.4 B. C. D.2 解析　由題意得cos C＝2cos2 －1＝2×－1＝－. 在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos C＝52＋12－2×5×1×＝32， 所以AB＝4. 答案　A 6.(2019·荊州一模)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a＝2，cos A＝，sin B＝2sin C，則△ABC的面積是________. 解析　由sin B＝2sin C，co

7、s A＝，A為△ABC一內(nèi)角 可得b＝2c，sin A＝＝， ∴由a2＝b2＋c2－2bccos A，可得8＝4c2＋c2－3c2， 解得c＝2(舍負(fù))，則b＝4. ∴S△ABC＝bcsin A＝×2×4×＝. 答案　 考點(diǎn)一　利用正、余弦定理解三角形 【例1】 (1)(2017·全國Ⅲ卷)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知C＝60°，b＝，c＝3，則A＝________. (2)(2019·棗莊二模)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若(a＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，則A＝(　　) A. B. C.

8、 D. (3)(2018·全國Ⅲ卷)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為，則C＝(　　) A. B. C. D. 解析　(1)由正弦定理，得sin B＝＝＝， 結(jié)合b

9、. 又C∈(0，π)，故C＝. 答案　(1)75°　(2)B　(3)C 規(guī)律方法　1.三角形解的個(gè)數(shù)的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進(jìn)行判斷. 2.已知三角形的兩邊和其中一邊的對角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理時(shí)，需判斷其解的個(gè)數(shù)，用余弦定理時(shí)，可根據(jù)一元二次方程根的情況判斷解的個(gè)數(shù). 【訓(xùn)練1】 (1)(2017·全國Ⅰ卷)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝，則C＝(　　

10、) A. B. C. D. (2)(2019·鄭州二模)在△ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c.若2cos2－cos 2C＝1，4sin B＝3sin A，a－b＝1，則c的值為(　　) A. B. C. D.6 (3)在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°，則滿足條件的三角形有(　　) A.1個(gè) B.2個(gè) C.0個(gè) D.無法確定 解析　(1)由題意得sin(A＋C)＋sin A(sin C－cos C)＝0， ∴sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C＝0， 則sin C(sin A

11、＋cos A)＝sin Csin＝0， 因?yàn)镃∈(0，π)，所以sin C≠0，所以sin＝0， 又因?yàn)锳∈(0，π)，所以A＋＝π，所以A＝. 由正弦定理＝，得＝， 則sin C＝，又C∈(0，π)，得C＝. (2)由2cos2－cos 2C＝1， 可得2cos2－1－cos 2C＝0， 則有cos 2C＋cos C＝0，即2cos2C＋cos C－1＝0， 解得cos C＝或cos C＝－1(舍)， 由4sin B＝3sin A，得4b＝3a，① 又a－b＝1，② 聯(lián)立①，②得a＝4，b＝3， 所以c2＝a2＋b2－2abcos C＝16＋9－12＝13，則c＝.

12、 (3)∵bsin A＝×＝，∴bsin A

13、B∈(0，π)，所以sin B>0， 所以sin C0，所以cos B<0， 即B為鈍角，所以△ABC為鈍角三角形. (2)由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A， ∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin A＝sin2A. ∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，即A＝， ∴△ABC為直角三角形. 答案　(1)A　(2)B 規(guī)律方法　1.判定三角形形狀的途徑：(1)化邊為角，通過三角變換找出角之間的關(guān)系

14、；(2)化角為邊，通過代數(shù)變形找出邊之間的關(guān)系，正(余)弦定理是轉(zhuǎn)化的橋梁. 2.無論使用哪種方法，都不要隨意約掉公因式，要移項(xiàng)提取公因式，否則會(huì)有漏掉一種形狀的可能.注意挖掘隱含條件，重視角的范圍對三角函數(shù)值的限制. 【訓(xùn)練2】 若將本例(2)中條件變?yōu)椤癱－acos B＝(2a－b)cos A”，判斷△ABC的形狀. 解　∵c－acos B＝(2a－b)cos A，C＝π－(A＋B)， ∴由正弦定理得sin C－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A， ∴sin Acos B＋cos Asin B－sin Acos B＝2sin Acos A－sin

15、Bcos A， ∴cos A(sin B－sin A)＝0， ∴cos A＝0或sin B＝sin A， ∴A＝或B＝A或B＝π－A(舍去)， ∴△ABC為等腰或直角三角形. 考點(diǎn)三　和三角形面積、周長有關(guān)的問題多維探究 角度1　與三角形面積有關(guān)的問題 【例3－1】 (2017·全國Ⅲ卷)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2. (1)求c； (2)設(shè)D為BC邊上一點(diǎn)，且AD⊥AC，求△ABD的面積. 解　(1)由sin A＋cos A＝0及cos A≠0， 得tan A＝－，又0

16、理，得28＝4＋c2－4c·cos . 即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)，c＝4. (2)由題設(shè)可得∠CAD＝，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝. 故△ABD與△ACD面積的比值為＝1. 又△ABC的面積為×4×2sin∠BAC＝2， 所以△ABD的面積為. 角度2　與三角形周長有關(guān)的問題 【例3－2】 (2018·大理模擬)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足asin B＝bcos A.若a＝4，則△ABC周長的最大值為________. 解析　由正弦定理＝， 可將asin B＝bcos A轉(zhuǎn)化為sin Asin B＝sin Bcos A

17、. 又在△ABC中，sin B>0，∴sin A＝cos A， 即tan A＝. ∵0

18、BC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知(a＋2c)cos B＋bcos A＝0. (1)求B； (2)若b＝3，△ABC的周長為3＋2，求△ABC的面積. 解　(1)由已知及正弦定理得 (sin A＋2sin C)cos B＋sin Bcos A＝0， (sin Acos B＋sin Bcos A)＋2sin Ccos B＝0， sin(A＋B)＋2sin Ccos B＝0， 又sin(A＋B)＝sin C，且C∈(0，π)，sin C≠0， ∴cos B＝－，∵0

19、，則(a＋c)2－ac＝9. ∵a＋b＋c＝3＋2，b＝3，∴a＋c＝2， ∴ac＝3，∴S△ABC＝acsin B＝×3×＝. [思維升華] 1.正弦定理和余弦定理其主要作用是將已知條件中的邊、角關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系或邊的關(guān)系. 2.在已知關(guān)系式中，既含有邊又含有角，通常的解題思路是：先將角都化成邊或邊都化成角，再結(jié)合正弦定理、余弦定理即可求解. 3.在△ABC中，若a2＋b2

20、三角形內(nèi)角和定理起著重要作用，在解題中要注意根據(jù)這個(gè)定理確定角的范圍，確定三角函數(shù)值的符號，防止出現(xiàn)增解等擴(kuò)大范圍的現(xiàn)象. 2.在判斷三角形的形狀時(shí)，等式兩邊一般不要約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取公因式，以免漏解. 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí)：40分鐘) 一、選擇題 1.(2016·全國Ⅰ卷)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知a＝，c＝2，cos A＝，則b＝(　　) A. B. C.2 D.3 解析　由余弦定理，得5＝b2＋22－2×b×2×，解得b＝3. 答案　D 2.在△ABC中，cos2＝(a，b，c分別為角A，B，C的對邊)，則△ABC的形狀

21、為(　　) A.等邊三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 解析　因?yàn)閏os2＝， 所以2cos2－1＝－1，所以cos B＝， 所以＝，所以c2＝a2＋b2. 所以△ABC為直角三角形. 答案　B 3.(2019·石家莊一模)在△ABC中，AB＝2，C＝，則AC＋BC的最大值為(　　) A. B.2 C.3 D.4 解析　在△ABC中，AB＝2，C＝， 則＝＝＝4， 則AC＋BC＝4sin B＋4sin A ＝4sin＋4sin A＝2cos A＋6sin A ＝4sin(A＋θ)，(其中tan θ＝). 所以AC

22、＋BC的最大值為4. 答案　D 4.(2019·開封模擬)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若A＝，＝2sin Asin B，且b＝6，則c＝(　　) A.2 B.3 C.4 D.6 解析　在△ABC中，A＝，b＝6， ∴a2＝b2＋c2－2bccos A，即a2＝36＋c2－6c，① 又＝2sin Asin B，∴＝2ab， 即cos C＝＝，∴a2＋36＝4c2，② 由①②解得c＝4或c＝－6(不合題意，舍去).因此c＝4. 答案　C 5.(2018·全國Ⅰ卷改編)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知bsin C＋csin B

23、＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，則△ABC的面積為(　　) A. B. C. D. 解析　由bsin C＋csin B＝4asin Bsin C及正弦定理， 得2sin Bsin C＝4sin Asin Bsin C， 易知sin Bsin C≠0，∴sin A＝. 又b2＋c2－a2＝8， ∴cos A＝＝，則cos A>0. ∴cos A＝，即＝，則bc＝. ∴△ABC的面積S＝bcsin A＝××＝. 答案　B 二、填空題 6.(2018·浙江卷)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，則sin

24、B＝________，c＝________. 解析　由＝，得sin B＝sin A＝， 又a2＝b2＋c2－2bccos A， ∴c2－2c－3＝0，解得c＝3(c＝－1舍去). 答案　　3 7.(2019·合肥模擬)我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶發(fā)現(xiàn)了由三角形三邊求三角形面積的“三斜公式”，設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為S，則“三斜求積”公式為S＝.若a2sin C＝4sin A，(a＋c)2＝12＋b2，則用“三斜求積”公式求得△ABC的面積為________. 解析　根據(jù)正弦定理及a2sin C＝4sin A，可得ac＝4， 由(a＋c)2＝12＋b

25、2，可得a2＋c2－b2＝4， 所以S△ABC＝＝＝. 答案　 8.在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對邊，且B為銳角，若＝，sin B＝，S△ABC＝，則b的值為________. 解析　由＝?＝?a＝c，① 由S△ABC＝acsin B＝且sin B＝得ac＝5，② 聯(lián)立①，②得a＝5，且c＝2. 由sin B＝且B為銳角知cos B＝， 由余弦定理知b2＝25＋4－2×5×2×＝14，b＝. 答案　 三、解答題 9.(2018·北京卷)在△ABC中，a＝7，b＝8，cos B＝－. (1)求∠A； (2)求AC邊上的高. 解　(1)在△ABC中，因

26、為cos B＝－， 所以sin B＝＝. 由正弦定理得sin A＝＝. 由題設(shè)知<∠B<π，所以0<∠A<. 所以∠A＝. (2)在△ABC中， 因?yàn)閟in C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝， 所以AC邊上的高為asin C＝7×＝. 10.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a2－ab－2b2＝0. (1)若B＝，求A，C； (2)若C＝，c＝14，求S△ABC. 解　(1)由已知B＝，a2－ab－2b2＝0結(jié)合正弦定理化簡整理得2sin2A－sin A－1＝0， 于是sin A＝1或sin A＝－(舍). 因?yàn)?<

27、A<π，所以A＝， 又A＋B＋C＝π， 所以C＝π－－＝. (2)由題意及余弦定理可知a2＋b2＋ab＝196，① 由a2－ab－2b2＝0得(a＋b)(a－2b)＝0， 因?yàn)閍＋b>0， 所以a－2b＝0，即a＝2b，② 聯(lián)立①②解得b＝2，a＝4. 所以S△ABC＝absin C＝14. 能力提升題組 (建議用時(shí)：20分鐘) 11.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cos C＝，bcos A＋ acos B＝2，則△ABC的外接圓面積為(　　) A.4π B.8π C.9π D.36π 解析　由題意及正弦定理得2Rsin Bcos A

28、＋2Rsin Acos B＝2Rsin(A＋B)＝2(R為△ABC的外接圓半徑).即2Rsin C＝2. 又cos C＝及C∈(0，π)，知sin C＝. ∴2R＝＝6，R＝3. 故△ABC外接圓面積S＝πR2＝9π. 答案　C 12.(2019·武漢模擬)在△ABC中，C＝，AB＝3，則△ABC的周長為(　　) A.6sin＋3 B.6sin＋3 C.2sin＋3 D.2sin＋3 解析　設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，則2R＝＝2，于是BC＝2Rsin A＝ 2sin A，AC＝2Rsin B＝2sin. 于是△ABC的周長為2＋3＝2sin＋3. 答案　C

29、13.(2019·長春一模)在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cos A＝sin Acos C，且a＝2，則△ABC面積的最大值為________. 解析　因?yàn)閏os A＝sin Acos C， 所以bcos A－sin Ccos A＝sin Acos C， 所以bcos A＝sin(A＋C)，所以bcos A＝sin B， 所以＝， 又＝，a＝2， 所以＝，得tan A＝， 又A∈(0，π)，則A＝， 由余弦定理得(2)2＝b2＋c2－2bc·＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc， 即bc≤12，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c＝2時(shí)取等號， 從而△ABC面積的最

30、大值為×12×＝3. 答案　3 14.(2018·天津卷)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知bsin A＝acos. (1)求角B的大小； (2)設(shè)a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值. 解　(1)在△ABC中，由正弦定理＝， 得bsin A＝asin B， 又由bsin A＝acos， 得asin B＝acos， 即sin B＝cos， 可得tan B＝. 又因?yàn)锽∈(0，π)，可得B＝. (2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝， 有b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故b＝. 由bsin A＝acos，可得sin A＝. 因?yàn)閍