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2020版高考數(shù)學新設(shè)計大一輪復習 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ第3節(jié) 函數(shù)的奇偶性與周期性習題 理(含解析)新人教A版

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1、第3節(jié) 函數(shù)的奇偶性與周期性 最新考綱 1.結(jié)合具體函數(shù),了解函數(shù)奇偶性的含義;2.會運用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性;3.了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義,會判斷、應用簡單函數(shù)的周期性. 知 識 梳 理 1.函數(shù)的奇偶性 奇偶性 定義 圖象特點 偶函數(shù) 如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x,都有f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù) 關(guān)于y軸對稱 奇函數(shù) 如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x,都有f(-x)=-f(x),那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù) 關(guān)于原點對稱 2.函數(shù)的周期性 (1)周期函數(shù):對于函數(shù)y=f(x),如果存在一個非零常數(shù)T,使

2、得當x取定義域內(nèi)的任何值時,都有f(x+T)=f(x),那么就稱函數(shù)y=f(x)為周期函數(shù),稱T為這個函數(shù)的周期. (2)最小正周期:如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù),那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期. [微點提醒] 1.(1)如果一個奇函數(shù)f(x)在原點處有定義,即f(0)有意義,那么一定有f(0)=0. (2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù),那么f(x)=f(|x|). 2.奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性. 3.函數(shù)周期性常用結(jié)論 對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x: (1)若f(x+a)=-f(x

3、),則T=2a(a>0). (2)若f(x+a)=,則T=2a(a>0). (3)若f(x+a)=-,則T=2a(a>0). 4.對稱性的三個常用結(jié)論 (1)若函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱. (2)若對于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),則y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱. (3)若函數(shù)y=f(x+b)是奇函數(shù),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(b,0)中心對稱. 基 礎(chǔ) 自 測 1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”) (1)函數(shù)y=x2在x∈(0,+∞)時是偶函數(shù).(  ) (

4、2)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù),則一定有f(0)=0.(  ) (3)若T是函數(shù)的一個周期,則nT(n∈Z,n≠0)也是函數(shù)的周期.(  ) (4)若函數(shù)y=f(x+b)是奇函數(shù),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(b,0)中心對稱.(  ) 解析 (1)由于偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱,故y=x2在(0,+∞)上不具有奇偶性,(1)錯. (2)由奇函數(shù)定義可知,若f(x)為奇函數(shù),其在x=0處有意義時才滿足f(0)=0,(2)錯. (3)由周期函數(shù)的定義,(3)正確. (4)由于y=f(x+b)的圖象關(guān)于(0,0)對稱,根據(jù)圖象平移變換,知y=f(x)的圖象關(guān)于(b,0)對稱,正確. 答

5、案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ 2.(必修1P35例5改編)下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是(  ) A.y=x2sin x B.y=x2cos x C.y=|ln x| D.y=2-x 解析 根據(jù)偶函數(shù)的定義知偶函數(shù)滿足f(-x)=f(x)且定義域關(guān)于原點對稱,A選項為奇函數(shù);B選項為偶函數(shù);C選項定義域為(0,+∞),不具有奇偶性;D選項既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù). 答案 B 3.(必修4P46A10改編)設(shè)f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù),當x∈[-1,1)時,f(x)=則f=________. 解析 由題意得,f=f=-4×+2=1. 答案 1

6、 4.(2019·衡水模擬)下列函數(shù)既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是(  ) A.y=x3 B.y=x C.y=|x| D.y=|tan x| 解析 對于A,y=x3為奇函數(shù),不符合題意; 對于B,y=x是非奇非偶函數(shù),不符合題意; 對于D,y=|tan x|是偶函數(shù),但在區(qū)間(0,+∞)上不單調(diào)遞增. 答案 C 5.(2017·全國Ⅱ卷)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x∈(-∞,0)時,f(x)=2x3+x2,則f(2)=________. 解析 ∵x∈(-∞,0)時,f(x)=2x3+x2,且f(x)在R上為奇函數(shù), ∴f(2)=-f(

7、-2)=-[2×(-2)3+(-2)2]=12. 答案 12 6.(2019·上海崇明二模)設(shè)f(x)是定義在R上以2為周期的偶函數(shù),當x∈[0,1]時,f(x)=log2(x+1),則當x∈[1,2]時,f(x)=________. 解析 當x∈[1,2]時,x-2∈[-1,0],2-x∈[0,1], 又f(x)在R上是以2為周期的偶函數(shù), ∴f(x)=f(x-2)=f(2-x)=log2(2-x+1)=log2(3-x). 答案 log2(3-x) 考點一 判斷函數(shù)的奇偶性 【例1】 判斷下列函數(shù)的奇偶性: (1)f(x)=+; (2)f(x)=; (3)f(x)

8、= 解 (1)由得x2=3,解得x=±, 即函數(shù)f(x)的定義域為{-,}, 從而f(x)=+=0. 因此f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x), ∴函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù). (2)由得定義域為(-1,0)∪(0,1),關(guān)于原點對稱. ∴x-2<0,∴|x-2|-2=-x,∴f(x)=. 又∵f(-x)==-=-f(x), ∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù). (3)顯然函數(shù)f(x)的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),關(guān)于原點對稱. ∵當x<0時,-x>0, 則f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x); 當x>0時,-x<0, 則f(-x)=(-x

9、)2-x=x2-x=-f(x); 綜上可知:對于定義域內(nèi)的任意x,總有f(-x)=-f(x)成立,∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù). 規(guī)律方法 判斷函數(shù)的奇偶性,其中包括兩個必備條件: (1)定義域關(guān)于原點對稱,這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件,所以首先考慮定義域; (2)判斷f(x)與f(-x)是否具有等量關(guān)系,在判斷奇偶性的運算中,可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價等量關(guān)系式(f(x)+f(-x)=0(奇函數(shù))或f(x)-f(-x)=0(偶函數(shù)))是否成立. 【訓練1】 (1)下列函數(shù)中,既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù)的是(  ) A.y=x+sin 2x B.y=x2-cos x C.y

10、=2x+ D.y=x2+sin x (2)已知f(x)=,g(x)=,則下列結(jié)論正確的是(  ) A.f(x)+g(x)是偶函數(shù) B.f(x)+g(x)是奇函數(shù) C.f(x)g(x)是奇函數(shù) D.f(x)g(x)是偶函數(shù) 解析 (1)對于A,定義域為R,f(-x)=-x+sin 2(-x)=-(x+sin 2x)=-f(x),為奇函數(shù);對于B,定義域為R,f(-x)=(-x)2-cos(-x)=x2-cos x=f(x),為偶函數(shù);對于C,定義域為R,f(-x)=2-x+=2x+=f(x),為偶函數(shù);對于D,y=x2+sin x既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù). (2)令h(x

11、)=f(x)+g(x), 因為f(x)=,g(x)=, 所以h(x)=+=, 定義域為(-∞,0)∪(0,+∞). 因為h(-x)===h(x), 所以h(x)=f(x)+g(x)是偶函數(shù), 令F(x)=f(x)g(x)=, 定義域為(-∞,0)∪(0,+∞). 所以F(-x)==, 因為F(-x)≠F(x)且F(-x)≠-F(x), 所以F(x)=g(x)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù). 答案 (1)D (2)A 考點二 函數(shù)的周期性及其應用 【例2】 (1)(一題多解)(2018·全國Ⅱ卷)已知f(x)是定義域為(-∞,+∞)的奇函數(shù),滿足f(1-x)=f(1+

12、x).若f(1)=2,則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=(  ) A.-50 B.0 C.2 D.50 (2)已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù),且當0≤x<2時,f(x)=x3-x,則函數(shù)y=f(x)的圖象在區(qū)間[0,6]上與x軸的交點個數(shù)為________. 解析 (1)法一 ∵f(x)在R上是奇函數(shù),且f(1-x)=f(1+x). ∴f(x+1)=-f(x-1),即f(x+2)=-f(x). 因此f(x+4)=f(x),則函數(shù)f(x)是周期為4的函數(shù), 由于f(1-x)=f(1+x),f(1)=2, 故令x=1,得f(0)=f(2)=0

13、令x=2,得f(3)=f(-1)=-f(1)=-2, 令x=3,得f(4)=f(-2)=-f(2)=0, 故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0, 所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×0+f(1)+f(2)=2. 法二 取一個符合題意的函數(shù)f(x)=2sin,則結(jié)合該函數(shù)的圖象易知數(shù)列{f(n)}(n∈N*)是以4為周期的周期數(shù)列. 故f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)=12×[2+0+(-2)+0]+2+0=2. (2)因為當0≤x<2時,f(x)=x3-x.

14、又f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù),且f(0)=0, 則f(6)=f(4)=f(2)=f(0)=0. 又f(1)=0,∴f(3)=f(5)=f(1)=0, 故函數(shù)y=f(x)的圖象在區(qū)間[0,6]上與x軸的交點有7個. 答案 (1)C (2)7 規(guī)律方法 1.根據(jù)函數(shù)的周期性和奇偶性求給定區(qū)間上的函數(shù)值或解析式時,應根據(jù)周期性或奇偶性,由待求區(qū)間轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間. 2.若f(x+a)=-f(x)(a是常數(shù),且a≠0),則2a為函數(shù)f(x)的一個周期.第(1)題法二是利用周期性構(gòu)造一個特殊函數(shù),優(yōu)化了解題過程. 【訓練2】 (1)(2018·南充二模)設(shè)f(x)是周期為4的奇函

15、數(shù),當0≤x≤1時,f(x)=x(1+x),則f=(  ) A.- B.- C. D. (2)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(x+4)=f(x-2).若當x∈[-3,0]時,f(x)=6-x,則f(919)=________. 解析 (1)∵f(x)是周期為4的奇函數(shù), ∴f=-f=-f, 又0≤x≤1時,f(x)=x(1+x), 故f=-f=-=-. (2)∵f(x+4)=f(x-2), ∴f[(x+2)+4]=f[(x+2)-2],即f(x+6)=f(x), ∴f(919)=f(153×6+1)=f(1), 又f(x)在R上是偶函數(shù), ∴f(1)=

16、f(-1)=6-(-1)=6,即f(919)=6. 答案 (1)A (2)6 考點三 函數(shù)性質(zhì)的綜合運用 多維探究 角度1 函數(shù)單調(diào)性與奇偶性 【例3-1】 (2019·石家莊模擬)設(shè)f(x)是定義在[-2b,3+b]上的偶函數(shù),且在[-2b,0]上為增函數(shù),則f(x-1)≥f(3)的解集為(  ) A.[-3,3] B.[-2,4] C.[-1,5] D.[0,6] 解析 因為f(x)是定義在[-2b,3+b]上的偶函數(shù), 所以有-2b+3+b=0,解得b=3, 由函數(shù)f(x)在[-6,0]上為增函數(shù),得f(x)在(0,6]上為減函數(shù).故f(x-1)≥f(3)?f

17、(|x-1|)≥f(3)?|x-1|≤3,故-2≤x≤4. 答案 B 規(guī)律方法 1.函數(shù)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合.注意函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的定義,以及奇、偶函數(shù)圖象的對稱性. 2.本題充分利用偶函數(shù)的性質(zhì)f(x)=f(|x|),避免了不必要的討論,簡化了解題過程. 角度2 函數(shù)的奇偶性與周期性 【例3-2】 (1)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+5)=f(x),且當x∈時,f(x)=x3-3x,則f(2 018)=(  ) A.2 B.-18 C.18 D.-2 (2)(2018·洛陽模擬)已知函數(shù)y=f(x)滿足y=f(-x)和y=f(x+2)是偶函數(shù),且f(1)

18、=,設(shè)F(x)=f(x)+f(-x),則F(3)=(  ) A. B. C.π D. 解析 (1)∵f(x)滿足f(x+5)=f(x), ∴f(x)是周期為5的函數(shù), ∴f(2 018)=f(403×5+3)=f(3)=f(5-2)=f(-2), ∵f(x)是奇函數(shù),且當x∈時,f(x)=x3-3x, ∴f(-2)=-f(2)=-(23-3×2)=-2,故f(2 018)=-2. (2)由y=f(-x)和y=f(x+2)是偶函數(shù)知f(-x)=f(x),且f(x+2)=f(-x+2),則f(x+2)=f(x-2). ∴f(x+4)=f(x),則y=f(x)的周期為4.

19、 所以F(3)=f(3)+f(-3)=2f(3)=2f(-1)=2f(1)=. 答案 (1)D (2)B 規(guī)律方法 周期性與奇偶性結(jié)合的問題多考查求值問題,常利用奇偶性及周期性進行交換,將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解.周期性、奇偶性與單調(diào)性結(jié)合.解決此類問題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間,然后利用奇偶性和單調(diào)性求解. 【訓練3】 (1)(2019·重慶九校模擬)已知奇函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=3對稱,當x∈[0,3]時,f(x)=-x,則f(-16)=________. (2)若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在區(qū)間[0,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù).

20、如果實數(shù)t滿足f(ln t)+f≤2f(1),那么t的取值范圍是________. 解析 (1)根據(jù)題意,函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=3對稱,則有f(x)=f(6-x), 又由函數(shù)為奇函數(shù),則f(-x)=-f(x), 則有f(x)=-f(6-x)=f(x-12), 則f(x)的最小正周期是12, 故f(-16)=f(-4)=-f(4)=-f(2)=-(-2)=2. (2)由于函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù), 所以f(ln t)=f, 由f(ln t)+f≤2f(1), 得f(ln t)≤f(1). 又函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù), 所以|ln t|≤

21、1,即-1≤ln t≤1,故≤t≤e. 答案 (1)2 (2) [思維升華] 1.判斷函數(shù)的奇偶性,首先應該判斷函數(shù)定義域是否關(guān)于原點對稱.定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件. 2.利用函數(shù)奇偶性可以解決以下問題: (1)求函數(shù)值;(2)求解析式;(3)求函數(shù)解析式中參數(shù)的值;(4)畫函數(shù)圖象,確定函數(shù)單調(diào)性. 3.在解決具體問題時,要注意結(jié)論“若T是函數(shù)的周期,則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期”的應用. [易錯防范] 1.f(0)=0既不是f(x)是奇函數(shù)的充分條件,也不是必要條件. 2.函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系f(a+x)=f(b-x)表明的是函數(shù)圖

22、象的對稱性,函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系f(a+x)=f(b+x)(a≠b)表明的是函數(shù)的周期性,在使用這兩個關(guān)系時不要混淆. 數(shù)學運算——活用函數(shù)性質(zhì)中“三個二級”結(jié)論 數(shù)學運算是解決數(shù)學問題的基本手段,通過運算能夠促進學生數(shù)學思維的發(fā)展.通過常見的“二維結(jié)論”解決數(shù)學問題,可優(yōu)化數(shù)學運算的過程,使學生逐步形成規(guī)范化、程序化的思維品質(zhì),養(yǎng)成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神. 類型1 奇函數(shù)的最值性質(zhì) 已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間D上的奇函數(shù),則對任意的x∈D,都有f(x)+f(-x)=0.特別地,若奇函數(shù)f(x)在D上有最值,則f(x)max+f(x)min=0,且若0∈D,則f(0)=0

23、. 【例1】 設(shè)函數(shù)f(x)=的最大值為M,最小值為m,則M+m=________. 解析 顯然函數(shù)f(x)的定義域為R, f(x)==1+, 設(shè)g(x)=,則g(-x)=-g(x), ∴g(x)為奇函數(shù), 由奇函數(shù)圖象的對稱性知g(x)max+g(x)min=0, ∴M+m=[g(x)+1]max+[g(x)+1]min=2+g(x)max+g(x)min=2. 答案 2 類型2 抽象函數(shù)的周期性 (1)如果f(x+a)=-f(x)(a≠0),那么f(x)是周期函數(shù),其中一個周期T=2a. (2)如果f(x+a)=(a≠0),那么f(x)是周期函數(shù),其中的一個周期T=2

24、a. (3)如果f(x+a)+f(x)=c(a≠0),那么f(x)是周期函數(shù),其中的一個周期T=2a. 【例2】 已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù),當x≥0時,有f(x+3)=-f(x),且當x∈(0,3)時,f(x)=x+1,則f(-2 017)+f(2 018)=(  ) A.3 B.2 C.1 D.0 解析 因為函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù), 所以f(-2 017)=-f(2 017), 因為當x≥0時,有f(x+3)=-f(x), 所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),即當x≥0時,自變量的值每增加6,對應函數(shù)值重復出現(xiàn)一次. 又當x∈(0,3

25、)時,f(x)=x+1, ∴f(2 017)=f(336×6+1)=f(1)=2, f(2 018)=f(336×6+2)=f(2)=3. 故f(-2 017)+f(2 018)=-f(2 017)+3=1. 答案 C 類型3 抽象函數(shù)的對稱性 已知函數(shù)f(x)是定義在R上的函數(shù). (1)若f(a+x)=f(b-x)恒成立,則y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=對稱,特別地,若f(a+x)=f(a-x)恒成立,則y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱. (2)若函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)+f(a-x)=0,即f(x)=-f(2a-x),則f(x)的圖象關(guān)于點(a,0)對稱. 【

26、例3】 (2018·日照調(diào)研)函數(shù)y=f(x)對任意x∈R都有f(x+2)=f(-x)成立,且函數(shù)y=f(x-1)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱,f(1)=4,則f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)的值為________. 解析 因為函數(shù)y=f(x-1)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱, 所以函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于原點對稱, 所以f(x)是R上的奇函數(shù), f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)的周期為4. 所以f(2 017)=f(504×4+1)=f(1)=4, 所以f(2 016)+f(2 018)=-f(2 014)+f(2

27、 014+4)=-f(2 014)+f(2 014)=0, 所以f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)=4. 答案 4 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時:40分鐘) 一、選擇題 1.下列函數(shù)中,既是偶函數(shù),又在(0,1)上單調(diào)遞增的函數(shù)是(  ) A.y=|log3x| B.y=x3 C.y=e|x| D.y=cos |x| 解析 對于A選項,函數(shù)定義域是(0,+∞),故是非奇非偶函數(shù),顯然B項中,y=x3是奇函數(shù). 對于C選項,函數(shù)的定義域是R,是偶函數(shù),且當x∈(0,+∞)時,函數(shù)是增函數(shù),故在(0,1)上單調(diào)遞增,正確. 對于D選項,y=cos

28、 |x|在(0,1)上單調(diào)遞減. 答案 C 2.(一題多解)(2019·河北“五個一”名校聯(lián)盟二模)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且f(x)= 則g(-8)=(  ) A.-2 B.-3 C.2 D.3 解析 法一 當x<0時,-x>0,且f(x)為奇函數(shù), 則f(-x)=log3(1-x),所以f(x)=-log3(1-x). 因此g(x)=-log3(1-x),x<0, 故g(-8)=-log39=-2. 法二 由題意知,g(-8)=f(-8)=-f(8)=-log39=-2. 答案 A 3.已知f(x)在R上是奇函數(shù),且滿足f(x+4)=f(x),當

29、x∈(-2,0)時,f(x)=2x2,則f(2 019)等于(  ) A.-2 B.2 C.-98 D.98 解析 由f(x+4)=f(x)知,f(x)是周期為4的函數(shù), f(2 019)=f(504×4+3)=f(3), 又f(x+4)=f(x),∴f(3)=f(-1), 由-1∈(-2,0)得f(-1)=2, ∴f(2 019)=2. 答案 B 4.(一題多解)已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù),g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),則a,b,c的大小關(guān)系為(  ) A.a

30、log25.1>2>20.8,且a=g(-log25.1)=g(log25.1), ∴g(3)>g(log25.1)>g(20.8),則c>a>b. 法二 (特殊化)取f(x)=x,則g(x)=x2為偶函數(shù)且在(0,+∞)上單調(diào)遞增,又3>log25.1>20.8, 從而可得c>a>b. 答案 C 5.(2019·山東、湖北部分重點中學模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減,且f(x+

31、1)是偶函數(shù),不等式f(m+2)≥f(x-1)對任意的x∈[-1,0]恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是(  ) A.[-3,1] B.[-4,2] C.(-∞,-3]∪[1,+∞) D.(-∞,-4]∪[2,+∞) 解析 因為f(x+1)是偶函數(shù),所以f(-x+1)=f(x+1),所以f(x)的圖象關(guān)于x=1對稱,由f(m+2)≥f(x-1)得|(m+2)-1|≤|(x-1)-1|,即|m+1|≤|x-2|在x∈[-1,0]恒成立,所以|m+1|≤|x-2|min,所以|m+1|≤2,解得-3≤m≤1. 答案 A 二、填空題 6.若函數(shù)f(x)=xln(x+)為偶函數(shù),則a=

32、________. 解析 f(x)為偶函數(shù),則y=ln(x+)為奇函數(shù), 所以ln(x+)+ln(-x+)=0, 則ln(a+x2-x2)=0,∴a=1. 答案 1 7.若函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù),當0

33、. 解析 由f(x)=ln(1+|x|)-,知f(x)為R上的偶函數(shù),于是f(x)>f(2x-1)即為f(|x|)>f(|2x-1|). 當x≥0時,f(x)=ln(1+x)-,所以f(x)為[0,+∞)上的增函數(shù),則由f(|x|)>f(|2x-1|)得|x|>|2x-1|,兩邊平方得3x2-4x+1<0,解得<x<1. 答案  三、解答題 9.已知函數(shù)f(x)=是奇函數(shù). (1)求實數(shù)m的值; (2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,a-2]上單調(diào)遞增,求實數(shù)a的取值范圍. 解 (1)設(shè)x<0,則-x>0, 所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x. 又f(x)為

34、奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x). 于是x<0時,f(x)=x2+2x=x2+mx, 所以m=2. (2)要使f(x)在[-1,a-2]上單調(diào)遞增, 結(jié)合f(x)的圖象知所以1

35、(x), 所以y=f(x)是周期函數(shù),且T=3是其一個周期. (2)因為f(x)為定義在R上的奇函數(shù),所以f(0)=0, 且f(-1)=-f(1)=-2,又T=3是y=f(x)的一個周期,所以f(2)+f(3)=f(-1)+f(0)=-2+0=-2. (3)因為y=|f(x)|·g(x)是偶函數(shù), 且|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|,所以|f(x)|為偶函數(shù). 故g(x)=x2+ax+3為偶函數(shù),即g(-x)=g(x)恒成立, 于是(-x)2+a(-x)+3=x2+ax+3恒成立. 于是2ax=0恒成立,所以a=0. 能力提升題組 (建議用時:20分鐘) 11

36、.(2019·石家莊模擬)已知奇函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且f(1)=0,若f(x-1)>0,則x的取值范圍為(  ) A.{x|02} B.{x|x<0或x>2} C.{x|x<0或x>3} D.{x|x<-1或x>1} 解析 由題意知函數(shù)f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增,且f(-1)=0, 不等式f(x-1)>0?f(x-1)>f(1)或f(x-1)>f(-1). ∴x-1>1或0>x-1>-1, 解之得x>2或0

37、則有(  ) A.f

38、數(shù)f(x)在(1,2)上是減函數(shù),在(2,3)上是增函數(shù); ③函數(shù)f(x)的最大值是1,最小值是0. 其中所有正確命題的序號是________. 解析 在f(x+1)=f(x-1)中,令x-1=t, 則有f(t+2)=f(t), 因此2是函數(shù)f(x)的周期,故①正確; 當x∈[0,1]時,f(x)=2x是增函數(shù), 根據(jù)函數(shù)的奇偶性知,f(x)在[-1,0]上是減函數(shù),根據(jù)函數(shù)的周期性知,函數(shù)f(x)在(1,2)上是減函數(shù),在(2,3)上是增函數(shù),故②正確; 由②知,f(x)在[0,2]上的最大值f(x)max=f(1)=2,f(x)的最小值f(x)min=f(0)=f(2)=2

39、0=1且f(x)是周期為2的周期函數(shù),∴f(x)的最大值是2,最小值是1,故③錯誤. 答案?、佗? 14.設(shè)f(x)是(-∞,+∞)上的奇函數(shù),f(x+2)=-f(x),當0≤x≤1時,f(x)=x. (1)求f(π)的值; (2)當-4≤x≤4時,求f(x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積. 解 (1)由f(x+2)=-f(x)得, f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x), 所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù), 所以f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4)=-f(4-π)=-(4-π)=π-4. (2)由f(x)是奇函數(shù)且f(x+2)=-f(x), 得f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)], 即f(1+x)=f(1-x). 故知函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱. 又當0≤x≤1時,f(x)=x,且f(x)的圖象關(guān)于原點成中心對稱,則f(x)的圖象如下圖所示. 當-4≤x≤4時,f(x)的圖象與x軸圍成的圖形面積為S, 則S=4S△OAB=4×=4. 17

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